А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 15
Текст из файла (страница 15)
»б д) у+ сопвй 7. 8) ' 81пхсову+ ' ' 81п2хсо82у »Ь гггб 4 к к [(-1)" — 1][( — 1)"' — 1] ( 8Ь л/Лвкп,г ГГП, кпг — г~ ~ вгп — х 81П вЂ” у+ ПГП г1 8Ь 1/Лв»впгс а Ь 8Ь Л/Лп»ГХ . ГГП, ГГП1 8Ь Л/Л~,~,у, ГГП, КГП + вгп — г вгп — у+ 8!и — х 81п — г Л»у (»и) + (ггпг) Луб ( гггг ) 1 ( гпп ) Л»б (»и) + (гпп) в) 1+ г*. 8. То. б) Гп Г,* 1 ', — Г,— — Г,ГУГ,Г...2», Ль — 1»-й корень уравнения,Уг(ал/Л) = О; (гпгг1 гл 1-11"+' М л 1 .
г л Гл„г»(ул ") Г (» ») 8»гГЛ »Ь Л Л Г Л где Лв — корень уравнения .Уу(л/Ла) = О; г) 1+ 2 (-;) сов 218. 16. а) й ~ (1 — 1 1) 1(к)»в по гг= 1 „+, Г»гп 1 б) ~~ ~ (:-) — -'-'-,— "„д). 81П вЂ” '"' сов 2ггг; ) 2~ /»»»2»1»г/Лб) бвгУЛ»г у ( /Л- ) Згг и )ул гп < л1 ь/лбв зУг кг 81П г, где Л» — корень уравнения .Узуг(л/Ла) = О; 121 глава 4' ФУНКЦИЯ ГРИНА ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА В предыдущих главах рассматривался метод разделения переменных для решения краевой задачи для уравнения Лапласа.
Решение краевой задачи можно представить в интегральной форме через соответствуюшую функцию Грина. В этом параграфе рассмотрены примеры построения функции Грина оператора Лапласа. Сначала напомним основные теоретические положения. Определение. Функция 01(М, Мо) называется функцией Грина оператора Лапласа для внутренней задачи Дирихле в области Р, если она удовлетворяет условиям: 1 1) 01(М,Мо)= + о, где о — гармоническая всюду в Р 4хЛмм, функция; 2) бд(М,Мо)!мех О. Если поверхность 5 является поверхностью Ляпунова, то функция Грина существует и единственна, а решение краевой задачи Ьи= — Р вР, и! определяется формулой и(М) = — у(Р) — (Р,М) о1Яр+ г"(ц)01(1 >, М) ой~а. а.
Функция Грина для внутренней третьей краевой задачи определяется аналогично. Для внутренней задачи Неймана функция Грина определяется несколько иначе. Определение. Функция Со(М, Мо) называется функцией Грина внутренней задачи Неймана в области Р, если она удовлетворяет условиям: 1 1) О2М Мо) = + о, где о — гармоническая всюду в Р 4хймм, функция; дСг! 1 2) — ~ = — —, где Яо — площадь поверхности Я, и — едидпм моя Яо ничная нормаль к поверхности Я, внешняя по отношению к области П. Так определенная функция Грина Сг(М,Мо) неоднозначна.
Она определена с точностью до постоянной (зависящей от точки Мо). Для определения этой постоянной на функцию Сг(М,Мо) можно наложить условие Сг(Р, Мо) ~Ыг = О. Решение краевой задачи гги=О вО; при выполнении условия разрешимости у у пЯ = О определяется формулой и(М) = ~ Сг(Р, М) У(Р) Ыдр + С, (1.1) Я где С вЂ” произвольная постоянная.
Если условие разрешимости не выполнено, то формула (1.1) дает решение задачи Ьи=О в.0; ди ~з Г) В двумерном случае (на плоскости) для внутренних краевых задач функция Грина определяется аналогично с заменой фундаментального решения х на фундаментальное решение уравнения Лапласа 1 на плоскости: — 1и ~ — —. 1 1 мм0 Перейдем к внешним задачам. В трехмерном случае функция Грина определяется единообразно для всех трех внешних краевых задач. Внешняя задача Неймана в трехмерном случае имеет единственное решение и осложнений не вызывает.
Для примера напомним определение функции Грина для внешней задачи Дирихле. Определение. Функция С(М, Мо) называется функцией Грина внешней задачи Дирихле, если она удовлетворяет условиям: 1 1) 0(М,Мо) = + и, где и — гармоническая всюду в Р, 4яЯмм, функция; 2) 0(М,МО)/м з — — 0; 3) 0(М, Мо) 2 0 при М -+ оо. Аналогичным образом определяется функция Грина для других внешних краевых задач в трехмерном случае. Рассмотрим теперь примеры построения функции Грина для некоторых областей. Примеры. 1.
Функция Грина задачи Дирикле для шара. Для построения функции Грина задачи Дирихле для шара 1 01 —— +О 4яЯмм, достаточно найти гармоническую функцию О, которая определяется как решение краевой задачи: ЬО = 0 в шаре 0 < г < а, 1 !г»а 4яЯммо мех. (1.2) Для решения этой задачи введем сферическую систему координат (г, В, 1О) с началом в центре шара, а ось х проведем через точку Мо.
Тогда полюс функции Грина — точка Мо — будет иметь координаты (го, 0,0), 0 < го < а. Поскольку граничное условие не зависит от угла 1О, и решение задачи (1.2) от 1О зависеть не будет. Поэтому решение задачи (1.2) можно представить в виде ряда О = ~~~ А„( — ) Р„(соэВ), »=О коэффициенты А„которого определяются из граничною условия. 1 Разложим функцию — в ряд по полиномам Лежаццра; Лмм, 1 1 1 1 гомм, 2+ г — 2ггосоеВ г . 2г, г,' 1 — 2 — соэВ+ —, г г' ( — ) Р„(соя В) при го< г г »=О 0О »О О~ = ~ ~А„Р„(соо В) = — — У У( — ) Р„(соо В). »»О »=О (использовано выражение для производящей функции полиномов Ле- жандра, см.
приложение, О 5). Следовательно, Отсюда находим Таким образом, функция о имеет вид о = — — „"| ( — ) Р„(сое О). 4ла аз Используя опять же выражение для производящей функции полиномов Лежандра, полученный ряд можно просуммировать. Пусть гг — — а~/го. Точка М(гг, О, 0) есть точка, сопряженная точке Мо относительно сферы г = а. Тогда о = — — ) ~ — ) Р„(соей) 4ла ~гг) 1 1 4ла г г ~ 1 — 2 — соед+ —, г'1 г,' 1гг1 4л а Вг' где Вг —— = Вм,м — расстояние между точками М и Мг.
Поскольку гг/а = а/го, 1 а 1 о = — — — —. 4гг го Вг Следовательно, функция Грина имеет вид 1~'1 а 1 О(М,Мо) =— 4л 1. Вмм, го Вмм, бз(М,Мо) = + и, 1 4лВмм, (1.3) где и есть решение следующей краевой задачи: Ьо=О в шаре, ди 1 д 1 1 да в 4лдп Вмм, мел до Введем сферическую систему координат (г, д, р) с началом в центре шара. Ось е проведем через точку Мо. Тогда задача для о принимает вид гол=О, 0(г<а, до 1 д 1 1 1 дг,, 4л дг Вмм, 1,—, 4лаз ' 126 е. Функция Грина внутренней задачи Кеймана для шара. Функция Грина внутренней задачи Неймана представима в виде Поскольку при т ) то 1 1 1 1 1 — 2 — 'совВ+ — ', гп — Рп(сов В), ,. +1 »=О получим д 1 (и+ 1)гоп дг ВММв впп ап+ Подставляя найденное разложение в граничное условие, получим «=1 п=о Отсюда находим Ап = — (и+1) ( — ), в=1,2,.
Следовательно, функция о имеет вид 1 и+1 гго о = ~~в — — ( — 2) Р„(совВ) +Ао, »»1 (1.5) где Ао — произвольная постоянная. Преобразуем выражение (1.5): — ( — ) Р„((~В) + — ~в — ( — ) Рп(совВ). »=1 »=1 Пусть г1 = ав/го. Тогда (т(г1 ( 1): 2 ( — ",) в„1 .в) =2'( — ) а( .в1= «=1 »=1 1 , =1 /::" 1 — 2г совВ+ —, гвв а 1 = — — — 1, то В1 127 Решение этой задачи не зависит от угла 1О и может быть записано в виде 00 тп о = ~~в Ап Рп(сов В) + Ао. (14) »=1 где В2 = Вмм, = г2 + г~~ — 2гг1 сов В, М1 — — (гы О, 0) — точка, со- пряженная точке Мо относительно сферы г = а, аю — ( — ) Р«(соь9) = ~ ~— ( — ) Р«(совВ) = и а2 и Г2 «=1 «ац = — !и — 1 — — совВ+ 1 — 2 — совВ+ —, 2~ г1 г 2а = 1п а — гго сов В + го Я1 (см.
приложение, 2 3). Следовательно, 1 а 1 1 2а о = — — — + — 1п + сопв1. 4я го Я2 4«а а2 — гго сов В+ гоа«а2 Таким образом, функция Грина внутренней задачи Неймана для ша- ра имеет вид 1(( 1 а 1 1 2а2 62 — — + — — + — 1п +сопв1. (1.6) 4я 1 Лмм, го А2 а а — ггосовВ+ гоЯ2 ) При г= а В1 ~ = го+ гв — 2гг1 сов В и=а = — Нмм, го '~ =а 1 1па) — — 1п(а — го сов В + В) + — 2 + сопят . а а го а.
=,— '(-„' Поэтому решение краевой задачи Ьиаа О, может быть записано в виде и(го, Во,~ро) = = — ~ ( — — — 1п(а — го сов В+ Вмм,) ДВ, р) аБ+ С, 4я в' ( Ямма а где 2тмм, = совр = совВсовВо + в1пВв(пВо сов(1о — 1оо). Эта формула называется формулой Неймана. 128 Я. Функция Грина внешней задачи Неймана для шара. Для построения функции Грина внешней задачи Неймана для шара достаточно решить задачу /ав = О вне шара, дв1д1 дп в 4лдпВмм, мвв О =2 О на бесконечности. (1.7) ОО а»+г О = ~~/ А», Р»(сов д). »=О При г < гв — 'г 8" /.( /), «=О Вмм, д 1 1 т» — п — »Р»(сов 0). дт Вмм тв О те д 1 Подставляя в граничное условие, получим »-1 А»Р»(сову) = — — ~ п — »Р»(сову).
4лто» го дв дт „, »=О Отсюда находим »-1 АΠ—- О, А = — и — „, и>1. 4/гго га Следовательно, ОО 7 2»+1 и 7 а О = — ~~ ~ — ) Р»(сову) = 4ла и+1 ~ гта) //=О 1 у гч»+1 1 2 в»+1 = — ~~'~ — ') Р»( .В)- — ~' ~ — ') 1»(, В).
4ла ~1 ага) 4ла и+ 1 ~,тгв) 129 В сферической системе координат (т, д, /р), начало которой расположено в центре сферы, а ось е проходит через точку МО, решение задачи (1.7) (учитывая ее осевую симметрию) можно записать в виде Полученные ряды можно просуммировать (см. приложение 1 3). Пусть т1 — — аз/го. Тогда (т1/г < 1): с з .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
