А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 16
Текст из файла (страница 16)
«+1 ОΠ— ) Р«(совВ) = — ~ ( — ) Р„(совВ) = гто т 0 1' «=О гв 1 1'1 г = ! 1 — 2 — 'сов В+ — ', г, г,' т11 т т' т а Р о ~~ и ~ ~ ~ и ~ | ~ г т | и и г з, «+1 2« — Р„(сов В) = ~ — ( — ) Р„(совВ) = ««0 «=0 1 ~~"~ и+1 г' — ' — сов В + 1 — 2 — 'сов В+ — ', т т' 1 — сов В аз — ггосовВ+ гоК1 = 1и тто (1 — сов В) 1 а 1 1 1 — сов В о !и — + 4я го В1 41га гв — ' — совВ+ 1 — 2 — "'совВ+ь2 г т' гго(1 — сов В) аз — гто сов В + той1 1 а 1 1 1п + 4я го В1 4ка Таким образом, функция Грина внешней задачи Неймана для шара имеет зид 1 ~( 1 а 1 1 тго(1 — сов)3) С вЂ” — — +— + !и 2 4я ( Нввм, го ГОмм2 а аз — 2гго сов д+ гоРОмм2 где 11мм, = сов д = совйсовВо +01пйв!пВО сов(р — 020).
Получим теперь формулу для решения задачи Неймана вне шара: Ли=О, г>а, ди! — = -/(в, ~). дт1,, 1ЗО где В1 = Кыщ, = го+ г1 — 2гг1 совВ, М = (г„О,О) — точка, сопряженная точке Мо относительно сферы г = а. Следовательно, получаем Поскольку 1 (' 2 1 го(1 — сок,З) + 1и г=в 4к 1 Вмм, а а — россо)З+ Вмм, получаем г ди и(го,оо,1оо) = — ~ — глао= 7 дг 1,~ ( 2 1 га(1 — СООГЗ) 4~г,/ '1В а а — госсе1З+В! Формула (1.8) называется формулой Бьеркнеса. б. Функция Грина для полупроспгранспгеа.
Для полупространства к > 0 функция Грина для задачи Дирихле и для задачи Неймана строится методом электростатического отображения и имеет вид'1 1 ( 1 1 % г(М, Мо) = — ~ 4гг (Вмм, Вмм,) ' причем знак « — » берется для задачи Дирихле, знак «+» — для задачи Неймана, М = (я, у, к), Мо = (яо, уо, «о) Мг = (яо, уо, — ко). 5.
Если известны собственные функции оператора Лапласа для данной области, то функция Грина может быть построена в виде ряда. Рассмотрим этот метод построения функции Грина на примере внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Функция Грина оператора Лапласа для внутренней задачи Дирихле есть решение следующей краевой задачи: Ьи= — б(М,Мо) в Р, и) =О, (1.0) (1.10) Ар+Ли=О в Р, о! =О, Оо'0=1.
Сис Свешников А.Г., Боголюоов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по мктемкгицеекоа физике. Мс Изд-зо МГУ, 1999. где б(М, Мо) — дельта-функция. Пусть (Л„), и (о„(М))1 — полные наборы собственныхзначений и собственных функций оператора Лапласа для задачи Дирихле в области Р: Решение задачи (1.9), (1.10) будем искать в виде ряда по собственным функциям о»(М): и(М) = ~~~ а»о»(М). (1.11) »=1 Поскольку б(М, Мо) = ~~~ О»(М)о»(Мо), п»1 подставляя (1.11) в уравнение (1.9), получим Л»а»о»(М) = ~ о»(М)о»(Мо), »=1 »=1 Учитывая, что при всех и Л„~ О, отсюда получаем оп (МО) а» = Л„ Следовательно, функция Грина 0(М,МО) согласно (1.11) имеет вид ~ » о»(~)оп(~0) (1.12) п=1 Л« Ьо+Ло =О в В, — =О, поп=1, до причем Лп ф О при и = 1,..., со, Ло = О, нулевому собственному значению соответствует нормированная собственная функция где Р— объем области О.
Рассмотрим ряд, аналогичный (1.12): Оп (МО ) о» (М) Л„ (1.13) 132 Аналогичный вид имеет функция Грина для третьей краевой задачи. Рассмотрим подробнее случай второй краевой задачи (задачи Неймана). Пусть (Л»)о» и (о„(М))оп' — полные системы собственных значений и собственных функций задачи Неймана Функция С, как легко проверить подстановкой, является решением следующей краевой задачи: 1 ЬС = -б(М, Мо) + — в Р, дС вЂ” = О.
дп (1.14) (1.15) Функция С согласно определению функцией Грина оператора Лапла- са для внутренней задачи Неймана не является. Ее можно предста- вить в виде С= 1 +ю, 4яймм, (1.16) где и есть решение краевой задачи Ьв= — в Р, 1 р' дю 1 д 1 дп я 4к дпн Ягма рея (1.17) (1.18) Легко проверить, что условие разрешимости уравнений Пуассона с граничным условием Неймана Ли=О в Р, — =1(р)~з, ~1ЙЯ=О. дп Действительно, применяя формулу Грина, получим Г (Яп ЯС') Г 1 и(Мо) = ~ — С вЂ” и — бЯ+ / — и НУ = у ~дп дп)' 5 .О С(Р, М)ЯР) ИЯ+ сопаг.
хзз для краевой задачи (1.17), (1.18) выполнено. Функцию С, определенную соотношениями (1.14), (1.15), или (1.13), или (1.16)-(1.18), также можно использовать для построения решения внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа Заметим, что согласно (1.13) функция С(М, Мо) симметрична отно- сительно своих аргументов и удовлетворяет условию 0(М,Мо) Мам = 0 / гг 6. Функция Грина оператора Лапласа для задачи Дирихле в односвязной области на плоскости может быть построена методом конформного отображения.
Это делается следующим образом. Если функция ш =,Г(го, г) осуществляет конформное отображение области Р плоскости г на внутренность единичного круга ~ю~ < 1 плоскости го так, что точка го б Р переходит в центр ш = 0 этого круга, то функция 1 1 С(М, Мо) = О(...о) = — 1и 2л Щг, го)! является функцией Грина оператора Лапласа задачи Дирихле в области Р. Приведем простейшие примеры. Построим этим методом функцию Грина для полуплоскости: — оо < х < оо, у > О.
Функция У(хо, г) = г — уо где йо — точка, комплексно сопряженная го, отображает верхнюю полуплоскость (у > 0) на единичный круг, причем точка го переходит в центр круга. Следовательно, функция Грина имеет вид 1 г — го 1 (х — хо)г+ (у+ уо)г 2л г — го 4л (х — хо)г+(У вЂ” Уо)г Решение краевой задачи для уравнения Лапласа в верхней полуплос- кости (у > 0) с граничным условием , = У(х) имеет вид п(х,у) = ! — (х,у г.ЛИН) )о = — ! г г Рассмотрим конкретный случай: У(х) = сов х. Тогда 1 /' усов И~ 1 /' уед Н~ и(х,у) =— ( . г)г + уг л 1 (х л)г + уг = — Ке Этот интеграл вычислим при помощи теории вычетов, используя лемму Жордана*1 уец Н~, ( уец = 2гпВыч~ ««,х+гу = ггег* ".
Следовательно, и(х, у) = е "сов«. игг — нгг а -а гвг — га, отображает верхнюю полуплоскость плоскости игг на единичный круг ~га~ < 1 на плоскости пг, пРичем ига« пеРеходит в центР пг = О этого круга. Следовательно, функция, осуществляющая конформное отображение указанной полосы на единичный круг так, что «а переходит в центр круга, имеет вид Е* Еее г («а, «) = Поскольку (е' — еко) = е г,,г2 где « = х + гу, «а = ха + гуа, функцию Грина можно записать в виде 1 0(М,Ма) = — 1и 2х !У(«а, «И сЬ(х — ха) — сов(у + уа) (1.19) 1 = — !и 4гг ей(х — ха) — сов(у — уа) Смл Сееигннкое А.Г., То«оное А.Н. Теория функций комплексной переменной.
М.; Наука, 19«9. В качестве второго примера построим функцию Грина задачи Дирихле для полосы — оо < х < +со, О < у < х. Функция гвг = е' осуществляет отображение плоскости «на плоскостыог так, что прямые у = С плоскости «(О < С < 2гг) переходят в лучи а«к гаг = С на плоскости пгг. Поэтому полоса О < у < л плоскости «отображается на верхнюю полуплоскость (1ит вг > О) плоскости гиг. Точка «а пеРеходит в точкУ гаг, = е*'.
ФУнкциЯ Решение задачи Дирихле в полосе г2ги = О, — оо < х < +со, О < у < л, и! = ~г(х), и(, = уз(х) может быть записано в виде 1 /' агпУ~г(с) ~!4 1 /' агпУЛЫ) 'К~ 2гг ./ сЬ(х — () + сое у 2л,/ сЬ(х — ~) — сое у г'г(х) = О, Ь(х) = Из формулы (1.20) получаем сГо . / ггс и(х,у) = — 8гпу 2л .) сЬ(х — ~) + сову о ГГО8!Пу ! ГГЕ ГГ88!Пу 28 / сЬе+соеу л „г' !з+21соеу+1 — е е ГГ8 .
/ !+ у = — 8ГП У = — агсгк ,/ (Г+ со8У) + 81п У 8ШУ ее '+сову ! = — г — — агсгк гг (2 8ГП У (1.21) Из формулы (1.21) видно, что !Пп и(х, у) = (Г8 —, у ~-г+оа гг !Пп и(х,у) = О. Можно получить и более точное поведение решения при х -+ ~ос. Поскольку Е а+СО8У Л 8!П У агой~ = — — агой егпу 2 е-х ! со8У' гзе (эту формулу предлагаем читателю получить самостоятельно, используя явное выражение (1.19) для функции Грина).
Рассмотрим пример, когда при х — > — оо (е * -++со) е *+сову я е(пу агс16 яг —— ешу 2 е э+сову Следовательно, при х -+ †Пе егп у я е +сову При х -+ +со е = е * — г О, поэтому, разложив агсгй -'-;Я~ по формуле Тейлора и сохранив первые члены, получим е '+сову я агс16 ги — — у+ егпу 2 3' = — — у+ 2 е *егпу 1 — е г* + 2е * сое у + егп у 2(сЬ х + сое у) + Следовательно, при х -+ +со ие ~ ешу и(х,у) хг — у— я ( 2(сЬ*+соеу) Задачи для самостоятельного решения. 1. Построить функцию Грина внутренней задачи Дирихле для круга, 2.
Построить функцию Грина внутренней задачи Дирихле для полукруга. 3. Построить функцию Грина внешней задачи Дирихле для круга. 4. Построить функцию Грина внутренней задачи Неймана для круга. 5. Построить функцию Грина внутренней третьей краевой задачи длЯ кРУга (ее", + Ьи~, = О, Ь = сопег). 6. Построить функцию Грина внешней третьей краевой задачи для круга (ф — Ьи( = О, Й = сопеС). 7. Построить функцию Грина задачи Дирихле для кольца (а<г<Ь).
В. Построить функцию Грина для кольца при первом краевом условии на внутренней границе (г = а) и втором — на внешней (г = 6). 9. Построить функцию Грина задачи Дирихле для шаровой оболочки (а < г < 6). 10. Построить функцию Грина задачи Дирихле для прямоугольника (О < х < а, 0 < у < У). 11. Построить функцию Грина внутренней задачи Дирихле для полушара (хе+ уз + хз = аз, е > О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
