А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В В. ЗАДАЧИ ДЛЯ в'РАБНЕНИЯ ТЕПЛОПРОБОДНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ Рассмотрим начальную задачу на бесконечной прямой В~ для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Введем обозначения П = йг х (О, +со), П— : мг х [О, +оо) . Начальная задача ставится следующим образом: ио =а и, +У(х,г), (х,г) б П, и(х, 0) = ог(х) х б м'. (3.1) Классическим решением задачи (3.1) для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой называется функции а(х,г), непрерывная в замкнутой области й, имеющая непрерывные поизводные первого порядка по 1 и второго порядка по х в открытой области П, удовлетворяющая в й уравнению теплопроводности и при 1 -+ 0 начальному условию.
Если функция 1о(х) непрерывна и ограничена в Вг, а функция /(х,г) непрерывна по совокупности аргументов и ограничена в Й, то задача (3.1) имеет единственное классическое решение. В случае менее гладких функций 1о(х) и /(х, 1) задача (3.1) может иметь обобщенное решение. Для решения начальной задачи (3.1) удобно использовать метод интегрального преобразования Фурье. Общая схема применения метода интегрального преобразования Фурье к решению начальных задач на бесконечной прямой приведена в гл. 1. В качестве примера в данном параграфе с помощью преобразования Фурье рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой и запишем для ее решения формулу Пуассона.
Для решения задачи (3.1) применим преобразование Фурье с ядром е с"х. Обозначим через (С(Л,С), Г(Л,С) и Ф(Л) образы Фурье функций и(х, С), С(х, С) и у(х) соответственно (С(Л,С) = — и(Я,С)с и' Н4, 1 ъ'2~г ./ Г(Л, С) = — / Дб, С)е ц' Иб, 1 Г ~/2я,/ Ф(л) = — / ~р(б)е ц'и». 1 Г ~/2~г / Будем предполагать, что выполняются условия существования интеграла Фурье (это заведомо выполнимо для классического решения задачи (3.1)) и что функция и(х, С) и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при х -+ ~ос.
Предположим также, что интеграл для СС(Л, С) можно дифференцировать по переменной С под знаком интеграла. Умножим уравнение теплопроводности и начальное условие на -4-е с~~ и проинтегрируем по х от — оо до +со. Проинтегрировав ~г затем полученный в правой части интеграл дважды по частям и учитывая, что подстановки на ~ос обратятся в нуль, получим следующую задачу Коши в пространстве образов: (С, + азЛССС = Р, с > О, о'и=о = Ф(Л).
Решение этой задачи записывается с помощью импульсной функции в следующем виде: о'(Л,С) = е ' Р ')г(Л,г)йт+ Ф(Л)е ' " '. а Подставим выражения для образов Фурье Р(Л, С) и Ф(Л) и вернемся к оригиналу, используя формулу обратного преобразования Фурье. 170 Меняя порядок интегрирования, получим и(х, С) = — / СС(Л,С)е'лкгСЛ = 1 С' ,/2к,l г оо оо / / — 'л'Сг- 1+глСе-б),СЛ сг(с ) С С + 2к,С О -оо — со е — е*л*г+'лСе-б),СЛ „(б),СВ „С ~2к ОС Обозначим С(х,б,С) = — 1 е л г+'лСк С1гСЛ 2к „С Используя интеграл' ) /" г Е ~+С~ОЫЛгк ~ Е о будем иметь 1 Са-..)Лг- 0(х,б,С) = е 2ал/кС (3.2) Функция С(х, б, С), определяемая формулой (3.2), называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.
Итак, решение задачи (3.1) представляется формулой МО=/С оц,гж- )дг, )гег:,/о<,ггг(г)ге. (гг) О -со Отметим, что в силу линейности задачи (3.1) решение (3.3) предста- вляет сумму решений двух задач. Функция г оо и(х, С) = / / 6(х,б, С вЂ” т)Я,т) сЦгСт О -оо (3.4) Смл Сеешкиков А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции ио математической физике. Мл Изд-ио МГУ, 1999. дает решение начальной задачи для неоднородного уравнения тепло- проводности с однородным начальным условием (р(х) = О), а функ- ция и(х, 1) = С(х, б, 1)у(б) о(б (3.5) (г.
*> . Начальной задачей, описывающей процесс остывания стержня, явля- ется задача для однородного уравнения теплопроводности ио = а и„, (х,1) Е Й и), = у(х) . Решение. Воспользуемся формулой (3.5) и сделаем замену =Иу: и(х,о) = — / е ~.о р(б)ас = 2а~Ля 2 Л сО = — '/ "" — '1 — ОО т,+т, 7; т,-Р2 ~е*оЬ— о / *- *5*. о Учтем теперь, что имеет место формула (интеграл Пуассона) 1-" =Ф, о 172 — решение задачи для однородного уравнения теплопроводности (о(х, о) = О) с неоднородным начальным условием. Интеграл (3.5) называется интегралом Пуассона.
Рассмотрим примеры решения начальных задач для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой. 1. Решить задачу об остывании однородного бесконечного стержня, если тепловой режим определяется кусочно-постоянной начальной функцией следующего вида: и введем функцию ошибок Ф(ш) = — / е ' Нг. о (3.6) Очевидно, Ф(0) = О, Ф(+со) = 1.
Легко показать, что функция Ф(ш) нечетнаи: — м я 2 /',е 2 /' — — — е ' Н( — х) = — — е ' еЬ= — Ф(ш). Т1 + Тг Тг — Тг и(х,!) = 2 2 1,2а~у! г) (3.7) Отметим, что начальная функции гг(х) не является непрерывной, а претерпевает разрыв в точке х = О. В этом случае решение задачи Коши, представимое интегралом Пуассона (3.5), уже не будет классическим, а имеет особую точку х = О. Проанализируем поведение решения задачи Коши для уравнении теплопроводности в особой точке, используя формулу (3.7).
Пусть х > О. Тогда, переходя к пределу при ! -+ О, получим, что — ~ -+ +ос, Ф( — У~.) -+ 1 и 1!гпо+о е>ои(х,!) = Тг. Пусть х < О. Тогда — ~~7 — ~ — оо, Ф( — *~;) -+ — 1 и !пп, +о к<о и = Ть ПеРейдем в формуле (3.7) к пределу сначала при х -+ О, а затем при ! -+ О. В результате будем иметь 1пп, +о е +о и(х, !) = -гхг-г. Из приведенных т т рассуждений вытекает, что значение решения задачи Коши в особой точке х = 0 в начальный момент времени г = 0 зависит от способа перехода к пределу: !пп и = Тг, !пп и = Тг, 1пп и = Тг + Тг г +о ' е-+о ' -~о 2 -~о+о е-+о-о о-+о Более того, если рассмотреть одновременный переход к пределу при х -+ О, ! -+ 0 вдоль кривой — * = ш, где ш Е Йг, то с помощью ге>'1 формулы (3.7) получим Тг+Тг Тг — Тг х 1пп и(х,!) = — Ф(ш), — = ш -~о ' 2 2 2а~Л е-~о Отсюда Ф(-оо) = — 1. С помощью функции ошибок Ф ответ задачи можно записать в виде Можно показать, что если функция 1а(х) — кусочно-непрерывная и ограниченная на примой х Е Й~ функция с конечным числом точек разрыва, то формула (3.7) определяет решение однородного уравнения теплопроводности при х Е й', С Е (О,Т), ограниченное при С Е (О,Т) и непрерывно примыкающее к функции Са(х) в точках ее непрерывности.
2. Решить задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности: иг — — -и„, х Е 31, С > О, 1 1 4 **' и! =е * вшх. и=а Решение. Воспользуемся формулой (3.5) при о = с; С. и(х,С) = — / е ~ е в(пбНб. нЯ / Для выполнения интеграла в правой части формулы рассмотрим ин- теграл Сехггг 1= е ~ С СИСИС Имеем г (х — б) г . ) 1+С 2х+СС ( Сг — с4хС+4хгС С ~ 1 Ч С 2,/Цг+ 1) ) 4С(1+ С) откуда, обозначая 1+ С 2х+ СС 2~/ф+ 1) получим / 1= — е "гм 1+1 а ~ хС Е-.заксен 1+1 Таким образом, и(х, С) = — 1гпХ = е ' '+'~ вш †.
(3.8) ъ~кФ Я+ С 1+ С 174 и при и Е йс получим любое значение, заключенное в пределах от Тс до Тг, поскольку — 1 ( Ф(ю) ( 1. Заметим, что в отличие от предыдущей задачи начальная функция р(х) = е * е1п х является непрерывной всюду на бесконечной прямой 21. Формула (3.8) представляет собой классическое решение задачи, непрерывно примыкающее к начальной функции: ° ьм е пг+ > х э 1пп и(х, 1) = 1пп еш — = е * ьйп х. г-+о ' с-~а,/1 4. Г 1+ М 3. Найти процесс изменения температуры однородного бесконечного стержня с равномерно распределенными источниками, мощность которых изменяется во времени по закону Я) = ешг. Начальная температура стержня равна у(х) = е Решение.
Процесс изменения температуры стержня описывается следующей начальной задачей: и,=а и„+ашг, ябан~, 8)0, и(х,0) = е Ее решение дается формулой (3.3): и(х,г) = С(х,б,г — г)з(пгЫбИг+ С(х,б,г)е 4 Иб, < -о~ где С(х, б, г) = — '- е " — фундаментальное решение уравнения з,:с теплопроводностй.
Подсчитаем интеграл 11 —— 2а1/яг Поскольку г (х — б)г ~ 1 + 4агг х ~ хг 1 -'; 4 получаем х 2 ОО е +гггг 4агг / е'Иа= 2а1/хг 1+ 4агг „1 е )+4 лт 1/Г+ 4агг 175 где обозначено 1 + 4881 х 8 = 4 Посчитаем второй интеграл. Положив 8 = *, будем иметь 88 ~г-8 ' с СО 18= / / е <.о-ес)~й= 28~/х./ ф — 7,/ о — / 81п7 от / е 88= 1 — со81, о ОЭ Таким образом окончательно получим е '+"" и(х,1) = 1 — со81 + ~(Г~ 4а81 ' 4. Решить задачу Коши для уравнения параболического типа на бесконечной прямой: ис =а~и„— Ли, хаий', 1>0, и(8,0) = 18(х), где Л > 0 — некоторая постоянная. Решение. Сделаем замену функции и(8,1) = е 8(х,1). Тогда и8 — — — Ли+ е ~~8~ и для функции 8(х, 1) получается следуюШая задача Коши: 8~ — — а 888, халес, 1>0, 8(8,0) = у(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
