Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 51
Текст из файла (страница 51)
~( )',~"')"'«(-";.'), и 2О~Ыиге Ы где Л„аиг( и Замечание. Равномерная оценка остатка ряда йи(я, ~) на отрезке 0 < х < ) может быть выполнена аналогично тому, как это было сделано в замечании на с. 286. Учитывая, что для корней рг < рг «... да < р,в г <... трансцендентного уравнения (2) будет иметь место неравенство — ега+! — гии 293 1'л. 1П.
Уравнения нвроболпчееноео тина 30. а) Решением краевой задачи ие = а~и„, О < х < 1, О < 1 < +со, и»(0, 1) — Н[и(0, 1) — (1»] = О, и (1, 1) + Н[и(1, 1) — 11»] = О, 0 <1 <+оо, (2) и(х., О) = 1'(х), О < х < 1, (3) является и(х, 1) = ш(х) + и(х, 1), 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, (4) где ( ) Н 1'» ~'з .
+ Н» + (1 з Н1)1 з 0 < . < 1 (е) и е(х, 1) = ~~ а„е " ~ ' (созЛнх+ — з1пЛнх), Л о=1 О« 1, 0<1<+ (б) Л„= —, »„положительные корни трансцендентного уравнения 1' с18» = — ( — — — ) . 11» 1НЛ 2(~1Н») (7) Собственные функции ~) Х„(х) = созЛ„х+ — з1пЛнх, п = 1, 2, 3, ..., Н Л„ (8) ортогональны на отрезке 0 < х < 1; квадрат нормы собственной функции Хн(х) равен Л» -ь и 1 -~- 2н ][Х ]] — ГХ„(х) е1х = Р" ), (9) о о =," ) [1(») — ш(»)] (соя Лн»+ — а1пЛо») е(». (10) 2Л„' г Н о б) Если температура среды на обоих концах одинакова, а начальная температура стержня равна нулю, то, принимая середину стержня за начало координат, мы получим, что температура в стержне являди ется четной функцией х, т.е. при х = 0 будет — = О.
Таким образом, дх можно рассматривать вместо всего стержня лишь его половину, причем для определения температуры получится краевая задача 29 (при этом 1 нужно заменить на — ) . 2 ') Подробнее см, решение задачи 111 гл. П; рассматриваемые там собственные функции получаются умножением собственных функций (8) Л, на, поэтому, знал квадрат нормы собственных функций, рассматоЛз -ь1з ' риваемых в задаче 111 гл. П, нетрудно получить квадрат нормы собственных функций (8).
294 Ответы, указания и решения 31. Решением краевой задачи иг = а и„— Ьи, 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, и [О, 1) — К[и[0, 1) — Уг[ = О, не[1, 1) + К[и[1, 1) — Уг[ = О, 0 < 1 < +со, [2) и[х.,О) =Дх), .0<х <1, [3) является и[х, С) = ю[х) + и[х, 1) О < х < 1, О < 1 < +ос, [4) где а а а а )) а т[х) = Н % 1' ей уг6 й6 '1 1[ уе6 Нг — — Уг Н вЬ вЂ” 1 — — сЬ вЂ” 1 сЬ вЂ” х + (Н -Ь вЂ”,) вЬ вЂ” ' а а а ) а +Н ! й6 й6 йй '1 1[ й6 Уг НсЬ вЂ” 1+ — вЬ вЂ” 1 + БгН вЬ вЂ” х 6 (Н' Я..
— '61 32. Решением краевой задачи иг = ази — 6[и — ио[, — я < х < я, 0 < 1 < +ею, и[х, О) = 1[х), — я < х < я, и[ — я,1) =и[я,.1), и [ — я,1) =не[я,1),. 0<1<+со,. [1) [2) [3) является и[х, 1) = ио+е и[х, 1), -Вес и[х, 1) = ~~~ [а„сових+ 6пвшпх)е п=е 1 ао = — / [У[х) — ив[ с1х, — 2.,/ [4) [5) где [6) 1 Г 1 а = — / [/[х) — ио)совихйх, 6„= — / [1[х) — ио[вшпхдх. [7) Если начальная температура кольца /[х) = иг = сопв1, то и[х, 1) = ио + е м[иг — гго[.
е — (и'л'.е-ь'гг [совЛ х+ в1пЛ х) Н Л„ п=г Н Лп, Хп,[х) = совЛпх+ — в1пЛпх и ап определяются так же, как в Л ответе предыдущей задачи. 295 Гл. 1П. Уравнения параболичевноео типа б) Задача теплопроводности с переменнымн ераничными условиями и свободными членами, зависяигими от х и 1. 33. Решением краевой задачи иг=а и„, 0<х<1, 0<1<+со, и(0, 1) = О, и(1, 1) = Ае, 0 < 1 < +со, и(х,О)=0, 0<х<1, (1) (2) (3) является и( 1) А 1+ Ах (хг 1з)+о( 1) 0« 1 0<1<+ (4) баг1 о(х, 1) = ~ ап ехр( —, 11 вш Р п=1 1 ап = —,, (е(е — 1 )вш де.
А 1 г з . гтг Заг1г 1 а (5) где (6) г г па п.х 34. и(х, 1) = ~ /Ф(т)ехр( — —,, (1 — г) г 11т вгп — + 1о -~- оо г +~а„ехр( —, 1~зш, 0<х<1, .0<1<+со, (1) где ( -~-оо О п.=1 ( -1-аа +1г1ио(-',Ез (-""„*'*( — о) " " )гр а а п=1 ап = — /1(Е) Згв дз. 1,1 1 (2) о У к а з а н и е. Частное решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям (см.
условие задачи), можно искать в виде т(х, 1) = ~р(1) вгп —, (3) где 1р(1) "- функция, подлежащая определению. 35. а) Решением краевой задачи иг — — а и„п+((х,1), 0<х<1, 0<1<+со, (1) и(0,1) =и(1,1) =О, 0<1<+со, (2) и(х, .О) = 1р(х), О < х < 1, (3) Р(х, е) где ((х, 1) = ', является ер 296 Ответы, указания а решения б) Решением краевой задачи иг = а и„ + — б(х — хв), О < х < С, О < С < +ос, (1) с2 ср и(0, С) = и(С, С) = О, 0 < С < +ос, и(х,о)=0, 0<х<С, является -еж 2Щ 1 гг и~я~а 1 Зг .
пах, пяхв и(х, С) = ~ —, 1 — ехр1 — С г вш гйп 'в. (4) сряеав пе )) н=Г 36. Решением краевой задачи иг — — а иае — Ьи+ — е б(х — иеС), 0 < х < С 2 .4 -ы. срп о<с< —, ао' и(0, с) = и(С, с) = О, О < с < —, ев' и(х,о)=0, 0<х<С, является пггх 2-4 — Ы ~ ' С ( ггяввг 'ввС пяввг вв11 вгв и(хгС) е г е в в — — соз + — ) срсС с ~ . пеявав г С пгг пгг / "=г "в + 12 37. Нужно решить краевую задачу Гяе = аэиаа + Д(Х, С), О < Х < С, О < С < +Ос, (1) и,(О, С) — Ьи(0, С) = угг(С), и,(С, С) + сги(С, С) = угз(С), 0 < С < +со, (2) (3) и(х,о)= р(х), О<х<С.
Если потребовать, чтобы функция гр(х, С) = (огх + Дг)грг(С) + (озх+ С2)угз(С), 0 < х < С, где и(х, С) новая искомая функция, а уз(х, С) уже определена. Для функции и(х, С) получаем краевую задачу иг — — а уев+У*(х. С), О < х < С, 0< С<+ос.
(7) и,(ог С) — гггг(0, С) = О, и,(Сг С) -Ь гге(С, С) = О, 0 < С < +со, (8) и(х,о)=гр'(х), 0<х<С, (9) О < С < +оог (4) удовлетворяла граничным условиям (2) краевой задачи (1), (2), (3), то коэффициенты ог, Д, оз, С1з определяются однозначно: 1 1ЬггС 1 1 ог=, Яг= 2 г ггС' ' (2-Ь ггС)ггг 2-Г- СгС' ' Ь(2 Ь 61) Решение краевой задачи (1), (2), (3) можно искать в виде и(х, С) =и(х,С)+уг(х, С), 0<х<С, 0<С<+со, (6) 297 1'л. 1П. Уровненсзя нороболичееноео типо где 1'*(х ') = 1'(х И) — (а х+ А)ф'(1) — ( '+ 11 М(') ср*(х) = ср(х) — (агх+ ®фг(0) — (агх+ ®сбг(0). Решение краевой задачи (7), (8), (9) будем искать в вице и(х, 1) = ~ и„(1)Хн(х), 0 < х < ~, 0 < 1 < +сю, (10) (11) (12) 2Л 0„(1) = ° Ч йг~)1 Ч- 25 |~ (г, 2)Хо(г) с я, (16) о и -~-ео ср'(х) = ~ а„Х„(х), 0 < х < с, и=1 2Лг, (18) о Подставляя (12) и (15) в уравнение (7) и предполагая равномерную сходимость получающихся производных рядов, получим (и'„(1) + а~Л~ио(1) — Он(1))Хн(х) = О, 0 < х < 1, 0 <1 < +сю.
где (17) где о=1 (19) Для выполнения равенства (19) достаточно, чтобы выполнялись равенства и„'(1) + а Л и„(1) = 0„(1), О < 1 < +со, п = 1, 2, 3,... (20) Так мы получаем дифференциальные уравнения для определения функций но(1). Полагая в (12) г = 0 и сравнивая с (17), мы в силу (9) получим Е оо ~(и„(0) — а„)Х„(х) = О, 0 < х < й (21) ') По поводу определения собственных значений Л, и нормы собственных функций Х„см. ответ к задаче 30, где Х„(х) собственные функции краевой задачи Хо(х)+Л'Х(х) =О, 0<х< 1, (13) Х'(0) — 1сХ(0) = О, Х'(1) + ЬХ(1) = 0 ). (14) Функции же ин(1) подлежат определению.
Функция и(х, 1) уже удовлетворяет граничным условиям (8). Если потребовать, чтобы и(х, 1) удовлетворяла также уравнению (7) и начальному условию (9), то отсюда определятся функции ен(1). Для этого разложим в ряд по собственным функциям Х„(х) правую часть уравнения (7) и ср'(х): 1*(х, 1) = ~ ~Он(2)Х„(х), 0 < х <1, 0 < 1 <+со, (15) 298 Ответы, указания и решения ин(1) — ~е ' л" 0 '~Он(т)йт+ а„е ' л"'.
(23) о Этим решение задачи заканчивается. 38. Решением краевой задачи (1), (2), (3) (см. условие) является и(х,1)=и(х,1)+ф(х.,1), 0<х<1, 0<1<+сю, (4) где ул(х, 1) имеет то же значение, что и в ответе к предыдущей задаче, а и(х, 4) = ~йт~~*(х, т)С(х, х,1 — т)сЬ+ ~~р*(х)С(х, х,1)сЬ, (5) в в ты С вЂ” [в л„-гИ0 — ] Х (х)Х (х) ]]Х.]]в ]]Хн]]~ и Лн имеют те же значения, что и в ответе к задаче 30, Г(х 1) = У(х, 1) — НФ(х, 1) — Мх, 1), д*(х) = ~р(х) — ф(х, О).
(6) (7) (8) А ]( еж*еп сов]й(х — 1) В- шв] -'; е "Мхо сов(й(х — 1) — шв] 2 ] сЬ 2И вЂ” сов 2И а) и(х, 1)— е ~ Юсов]й(х-т1) -~-шг] -~-е ~'~ ~сов(й(х т 1) — ш1] сЬ2И вЂ” сов 2И А (, еш' 'О*е' ' — е ~отп'еаа 4й ~ е"нв'Л -Ь е-лн"О' еыв-Π— .' е-Ян- М+ (1+2) емв — л ь е — Мл — л б) и(х, 1) = А Мле ) -~- ! — Мв-~- ) е 1 2 ((й(1-Ьг) — 6]слове' -Ь(й(1-Ь1) -Ьй]е "Пве' е ' ' — е М1- М- в -Мв-*1 -~ в ]й(1 — г) — й]е"0 О' -'г ]й(1 — 1) -~- Ь]е в) и(х, 1) вв 1 Гш ГДЕ й = —,,1 —.
ау 2 Указание. Решение краевой задачи в случае граничных условий а) при произвольном начальном условии, т. е. решение задачи ив=а и„, 0<х<1, 0<1<+ос, (1) Для выполнения равенства (21) достаточно выполнения равенств хв(0) = а„, п = 1, 2, 3,... (22) Решая дифференциальные уравнения (20) при начальных условиях (22), получим 299 уж 111. Уравнения нарабооичееноео типа и(0,1) = О, а(1,1) = Асовю1, 0 <1<+со, а(х, О) = д(х), О < х < 1, (2) (3) можно искать в виде и(х,1) =о(х,1)+и~(х,1), 0<х<1, 0<1<+ос, (4) где и(х, 1) -- частное решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2), а ю(х, 1) есть решение краевой задачи юе=а~юяя, 0<х<1, 0<1<+со, (Р) ю(0, 1) = ю(1.
1) = О, 0 < 1 < +со, (2') и)(х, .0) = ~р(х) — и(х, 0), 0 < х < 1. (3') Функция и(х, 1) может быть найдена как действительная часть частного решения краевой задачи 11е = а (у,е, (б) Г(0, 1) = О, 11(1, 1) = Ае'"', (6) которое без затруднений может быть найдено в виде Г(х, 1) = Х(х)е' '. (7) Таким образом, и(х, «) = — (Х(х)е'"''~ + Х(х)е ' '), (8) где черта над Х(х) является символом комплексного сопряжения. Согласно (8) и(т, 1) не содержит членов, стремящихся к нулю или к бесконечности при 1 — у +оо, и так как 11ш ю(х, 1) = О, то и(х, 1) Е-о-Еоо представляет асимптотические значения температуры при 1 э оо. В случае граничных условий б) или в) задача решается аналогично. оо 40. и(х., 1) = — е — + ~ ~е "' " ' сових нера ~ 2 о=-1 В точке, диаметрально противоположной источнику ), о=1 в) Задачи диффузии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
