Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 55
Текст из файла (страница 55)
(5) Замечание. Неравенства (1), (2), (4) позволяют при задан- ном ог найти такое 1*, чтобы выполнялись соотношения (3) и (5). 107. а) Если йг удовлетворяет неравенствам г а зги/ (2) то для остатка ряда (1) задачи 104 выполняется неравенство (Ям(х, ~, 1)( < е при 0 < х, ~ < 1, 0 < 1 < 1*.
б) Если ог удовлетворяет неравенству Ф > 1 — сиаь'Р, то для остатка ряда (6) задачи 104 выполняется неравенство ~Ягя(х, б, 1)~ < с при 0 < х, с < 1, 1' < 1 < +со. 108. Представления для функций источника получаются из представлений, найденных в решении задач 103, 104, 105, умножением на е ьг, где й коэффициент теплообмена, входящий в уравнение ие — — а иа, — Ьи,.
г 326 Ответы, указания и решения 109. Решение. Заменим в решении и(х, 1) уравнения ие — — ег~ггея + Д(х,. Х), О < х < 1, О < 1 < +ос, (1) х и 2 на 6 и т; заменим, далее, в функции источника С(х, 6, 1) 1 на 1 — т,О<т<й Интегрируя равенство дг дгС вЂ” (Си) =С вЂ” +и — =оз С вЂ” и +С/ ) дт дт дт ~ дбг дбг ) по 6 от нуля до !и по т от нуля до 1 — о, 0 < о < с,получим 1('.=-а" =/(С".= " ' о о г+ /((а — ) — ( — ) )г + /г /огго. $2) о о о Переходя в равенстве (2) к пределу при о — г 0 з), получим интегральную формулу + ~г/т~С/Я т) о/6.
(3) а о Эта интегральная формула имеет общее значение для функций источника, удовлетворяющих различным условиям. Если теперь воспользоваться начальными и граничными условиями для и и(0, т) = уг(т), и(1, т) = О, О < т < +ос, (4) и(6, 0) = /(~), О < 6 < 1, (6) и граничными условиями для С(х, с, 1 — т) С(х,.0,1 — т)=0, С(х.,1,1 — т)=0, 0<х<1, О< т<1, (6) то из интегральной формулы (6) получится следующее представление решения краевой задачи с помощью функции источника ( 2) /,/(~)С( 6 г) <+ з/ ( ) дС(х,0,1 — т) ггт+ о а + ~Йт ~/Ц, т)С(х, 6, 1 — т) ггс. о а ) Это равенство получается так же, как равенство (1) решения задачи 68.
з) Предельный переход в левой части равенства (2) может быть выполнен с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в (7, с. 230 — 233]. г и. 1П. Уравнения иарабоии гееноео тина Используя два различных представления для функции источника С(х! С, 1 — т) (см. решение задачи 103), получим два различных пред- ставления для решения нашей краевой задачи; а) и(х, 1) оо х 1 2а з/ие „) <е!( Е (, ( !'-!+!.а*), ( о~!+и!>*)))г!, о 1. и= — оо о и= — оо ( Еоо о и=1 З-оо ( г 2па Г и а а иих + —,~~ и 1 !р(т)ехр( —, (1 — т)1 дт зш — + 1г '~/ 1г п=ог О ( Еоо +'-1" 1г!е, )(Е (-" !1-.!)'."''. ") !.
а а п=! Представление а), вообще говоря, выгоднее при малых 1, представление б) при больших й ! 110. и(х, 1) = ~~(С)С(х! С, 1)е1С вЂ” а ~уг(т)С(х., О, 1 — т)е1т + о а + ~е1т~~Я, т)С(х, с, 1 — т)е1с, (1) о о где С(х, с, 1 — т) функция источника, полученная в решении задачи 104. Если в равенство (1) подставить два различных представления для функции источника, то получается два, различных представления для решения нашей краевой задачи. 111. и(х! 1) = 11о 2 1 — Ф з1яп(х+ 2и1) 112. и(х, 1) = =! г (2 1) — *р( —, ) — !ь!2 !!4! — Ф( ' ))). и= — оо 328 Ответы, уиазаиия и решения 3.
Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с кусочно постоянными коэффициентами и усло- вия сопряжения. 113. Гго+(ГГо сгг)Ф иг- г, — оо < х < О, 'г 2аг уй/ и(х, е) = еего + (гео — Нг)Ф ', О < т < +ос, 'г,2аг йв/ ' йг йг ГЕг — 4- Ог— аг аг ив аг аг У к аз а н и е. Задачу можно решить с помощью следующего ис- кусственного приема. Нужно продолжить левый стержень неограниченно вправо так, чтобы получился неограниченный однородный стержень из того же материала, что и левый полуограниченный стержень.
Затем нужно найти температуру полученного неограниченного стержня при усло- вии, что его начальная температура равна ГГг при — оо < х < 0 и ГГг* при 0 < х < +ею, где ГГг* —.— пока неопределенная константа. Аналоги г- но нужно поступить с правым полуограниченным стержнем. Констан- ты ГГ* и Гг"* находятся из граничных условий (условий сопряжения) в 0<4<+со точке х = 0 Г иг(х, 4) г — оо < х < О 1 114. и(х, 4) = ~ ) 0 < 4 < Ч-оо, иг(х, 4), 0 < х < -)-со, в Г гх зе)г г в е )гег)( (-' Р') -.(-",ге))ггв г аг г" срГ,т) ~ х Йг уеи У гУ4 — т ~ 4агН вЂ” т) 3 в а сг в(в=~.',)гееи ( —,', )ггв о — Ггеа.*,)-,', *)гг~, '„ аг а 329 )'л. 1П.
Уравненггя нарабоаичееиоео тина Указание. Функции иг(х, 1) и иг(х, 1) должны быть соответственно решениями уравнений теплопроводности им — — агиг, г и им = агигаа и удовлетворять условиям сопряжения г иг(0, 8) = иг(0, 1), йгиге(0, 1) = йгига(0, 1). Полагая у(1) = йгиы(0, 1) = )сгига(0, Ц) и решая задачу теплопроводности с заданным граничным условием второго рода для полуограниченного стержня — оо < т < 0 и для полуограннченного стержня 0 < х < -1-со, мы выразим иг(х, г) и иг1х, 1) через начальные условия и через пока еще неизвестную функцию уг1г). Используя первое условие сопряжения иг(0, 1) = иг(0, г), мы получим интегральное уравнение Абеля для определения функции Зг(8): Решением этого уравнения является г) о Если Ф'(г) существует и непрерывна г) при 0 < я < +со, то, выполняя в правой части последнего равенства сначала интегрирование по частям, а затем дифференцирование, получим о Эта формула может быть применена, в частности, если Ф(я) = соцец В этом случае Ф'(я) = 0 и со(т) = Ф1+0) я;гт 115.
Решением краевой задачи дСг г д'Сг = а,, — оо < х < О, 0 < 1 < +ос, (1) дг 1 дхг дСг яд Сг =аг,, 0<х<+оо, 0<1<+со, дггдг Сг — — Сг, Лг =Лг при х=О, 0<1<+ею, (2) дСг дСг дх да 1пп Сг — — О, — со < х < О, Р) г — ево 11ш Сг = О, 0 < х < +со, х ~ С; в точке х = ( при 1 — г 0 Сг имеет е- о ') См., напримор, 12, т. 11, З 79]. г) При надлежащих ограничениях на )г н уг это будет выполнено.
Ответы, указания и решения особенность ехр 2аг угу 1 40~( l ' является 2— а(*6)=Л "Л схр аг аг при — со<х<0, 14) + с)г Сгсх, С, () = 2«2 чг 7 аг аг при 0 < х <+ос. 14') Решение. Перейдем к безразмерным величинам 1см. решение задачи 18 настоящей главы), причем так, чтобы уравнение теплопроводности для правого и левого стержней имело вид ие — — а ие(. Мы 2 имеемх=д(, — ос<4<0, х=Г4, 0<4 <+со, 1= т, ('=ам 10 =аз ~). Граничные условия (2) принимают вид иг10, т) = иг(0, т), 15) Лг диггсб,т) Лг диг(б,т) аг дб аг д4 Будем искать решение при — оо < с < 0 как «преломленную» на гра- 1 ( К вЂ” бо)2 1 нице раздела ~ = 0 функцию схрг — г, т.е.
как функ— Г цию, имеющую вид с )г 17) 1 ( Ы вЂ” го)2 1 а решение при 0 < с < +ос --- как сумму ехр) — г и сла- 2;/ят С 4т гаемого, представляющего собой результат «отражения» на границе 1 ( К вЂ” 40)2 1 раздела с = 0 функции ехр~ — г, т.с. в виде 2 унт 1 4т ( 2 4 )г Подставляя 17) и (8) в 100) и 16), найдем аг и ог, что и приведет к отвагу 1если вернуться к прежним единицам измерения). 116.
Решением краевой задачи ис = а иг„О < х, 1 < +оо, соис10, () = Лди, 10, (), 0 < ( < +со, и(х, О) = 1(х), О < х < +сю, ') Речь идет о численном равенстве, а не о совпадении размерностей. Гв. 1П. Уравнеплля папанова леоново типа является г и(х, 1) = / г'(С) ехр( — ) ллс, где ) У(х) при — оо<х<О, (~(х) при О < х <+ос, г У (+0)+У(+0)+16~ 111~ ( Ье) + О Лг ( — С))Е о о ЛЯ агСо Л коэффициент теплопроводности стержня, Я площадь поперечного сечения, а —.- коэффициент температуропроводности стержня.
У к а з а н и е. Воспользоваться утверждением, сформулированным в задаче 82. 117. Решением краевой задачи = агг,, О < х < с(л), дЛ дхг ' дги дл - д.гг иг(с(1), 2) = из(с(1), 1), иг(0, Ц) = 0г, 0<1<+со, (1) из(+ос, 2) = 11з, (2) является А„+ Вгф Аг + Вг4г (2 ) иг(х л) = (4) (4') ия(х, л) = где 1г'г (2 ) (5) В '( —;.,) Аг = слг корень трансцендентного уравнения г Йг1Лг ехр( — —. ~ ЙгГггехр) — —, '( 1 4..г) г сэр — . (О) гггх 2 (2аг) а ~ (2 ) где температура замерзания принята за нуль, х = С(л) -.
координаты фронта промерзания ( '"' - '"') = = Т дх дт / о=в лег лй скрытая теплота плавления, р плотность массы жидкости, глг(х, 0) = 7Уз, 0 < х < +со, (3) Глава 1Ъ' УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИс1ЕСКОГО ТИПА З 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа, и постановка краевых задач 1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде. 1. Уравнение для температуры стационарного теплового поля в однородной изотропной среде имеет вид Ьи = — ~(х, у, з), (1) Р где ) = —, г" плотность источников тепла, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
