Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Функция точечного источника, помов ценного в точке Ре (г,, 9, ~) при граничном условии 356 Ответы, указания и решения где 1 /1 С = — ] — + —,] + и(х — С, у — О, г + ~). 4п [,тв те( [2) ди де Подставляя [2) в (1) и учитывая, что — = —, получаем д дй' с д 2 у 2к,/рг ~Се' Решая это уравнение и заменяя ~ на г + ~, получаем а — ее — е, ее)=— е+(+ т [3) или 1 ) 14 ) 4в 2к / /ргв вг ы-. (4) 40. и = изв[х, У; г; с, г1, Д) — изв(х, У, г; — с, .О, Д, где изв решение задачи 36, или в развернутом виде где [х — Я) г + [у — т1) г + [г — (2п1 + С)]г т~„= [х — Р)г+ [у — О)г+ [г — [2п1 — Д)]г., [2 ) Тп = (х — С)г + (у — т1)г + [г — [2п1+ Дг, т'„= (х — В)г 4 (у — т,)г + [г — [2п1 — Д)]г. 41.
Электрическое поле Е = — 3гае1и, где и = и[р, р, г) --- потенциал, определяемый формулой где = МР„= рг + вг — 2рв сов[ее — (ф+ 2ой)] + (г — 1,)г, т', = МР„' = рг+ вг — 2рвсофр — (2еей — ф)]+ (г — 1)г. то = (х с) + [у Ю + [г с) то = (х - Ог + [у — у)г + [г + ()г. Решение.
Источнике(Ре) исток — е[Ре) дают наплоскостиг = ди ди = О условие — = О при г = О. В нашей задаче — = — Ьи при де дг = О. Поэтому мы ищем решение в виде суммы членов, соответствующих е(Ра) и — е[Ра), и добавки вида и(х — С, у — у, г+ ~), полагая 1 л. !и.,Уравнения эллипти ~еенога типа М = М(р, оэ, г) точка наблюдения, Р = Р(л, 4э, Д точка, в которой расположен источник. Указание. Перейти к цилиндрическим координатам р, оэ, г, направив ось г вдоль ребра двугранного угла; при зеркальном отражении источник повторится 2п — 1 раз,поэтому искомый потенциал может быть получен путем суммирования потенциалов 2п зарядов. При отражении заряда в сторонах двугранного угла все его изображения будут находиться на окружности радиуса з, лежашей в плоскости г = (', по абсолютной величине они равны исходному заряду и чередуются по знакам.
Заряды +е находятся в точках Рь(о., 2оа+ эг, (); заряды — е находятся в точках Р„',(з, 2оа — уб Д, где 1г меняются в пределах от нуля до и — 1. Нетрудно видеть, что заряды противоположных знаков симметрично расположены относительно плоскостей оэ = О и оэ = еь В самом деле, заряду Ря (о» = 2ой+ф) соответствует заряд РР (оо = 2о(п — к) — э1э), симметричный относительно плоскости оэ = О; аналогично, заряду Ря (оэ = 2ой — эг) соответствует заряд РР (оэ = 2о(п — Й + Ц вЂ” уэ), симметричный относительно плоскости оэ = о. Заметим, что при о = я формула (1) дает решение задачи 35. 42. Потенциал заряда е дается суммой а — 1 и = ~ ]иге(р, Оэ, г; э, 2ег1г+эг, () — изо(р, оэ., г; о, 2сгй — уг, ~)], о = —, ь=о где изо -- решение задачи 36, выражение для которого в цилиндрической системе координат имеет вид /1 11 изг(М, Р) = изо(Р, Оэ, г; з, 4э, 0 = с ~, ] — — —,(, ],г г'„] причем гп = рг + оз — 2рэ соз(ээ — ф) + (г — (2п1 + ~)]з, г„' = рз + оз — 2рз соз(оэ — ф) + (г — (2эП вЂ” ~)]з.
При о = я получаем решение задачи 36, при 1 — э оо имеем и — 1 и = ~~',]пзз(Р, Оэ, г; з, 2ой+ Ф о,) — изз(Р, Оэ, з; з, 2ой — оэ)], е=-о где изз решение задачи 35. Указание. Отражая заряд в плоскостях г = О и г = 1, мы найдем потенциал заряда в слое О < г < 1, после чего в соответствии с решением задачи 41 производим отражение в гранях угла. 43. Стационарное распределение температуры в полярной системе координат дается формулой а=о 338 Ответы, указаиив и решения где ть = рз+во — 2рвсов[уз — (2оЬ+ ф)) + (я — До, рз + вз — 2рв сов(уе — (2ой — ф)) + (х — До мощность теплового источника, помещенного в точку Ма[в, ф, Д, М = М(р, р, з) точка наблюдений, сро теплоемкость единицы объема. Указание. Решение ищется в виде Е„> 1 и = — — + и.
то — — тмм = Рз + в' — 2Рв сов(Р— ф) + (г — ~)з, ер то где и всюду регулярная гармоническая функция; функция и удовлетворяет граничным условиям второго рода [-;)... =' Функция и ищется методом изображения по аналогии с задачей 41. 44. и(р, уе) = )г (1 — — ) . Указание. Следует найти функцию источника внутри угла о — 1 / Сз [р, уо; в, ф) = — ~ ~1п — в 2я тв ь=о (см. задачи 41. 43) и воспользоваться формулой Грина .ы,е) =-е1 [ — ',„;) о 45.
и(х, у) = г' [1 — — ьгс18 — ). у1 2я х) Указание. Построить функцию С[М, Р) для полуплоскости 'о С[х, у; е, у) = — 1п —. 2я. то Решение можно также получить из решения задачи 44, положив там о = я и перейдя к декартовым координатам х, у. 46. Если ось в направлена вдоль одного из ребер, так что перпендикулярное сечение лежит в плоскости (х, у),то потенциал равен где т„„, = [х — [2та+~))з+ [у — (2пЬ+е1)]о+ (з — ~)о, т' = [х — [2та — ~))з + [у — [2пЬ вЂ” ц))з + [з — З)з 7 „= [х — (2та+())з+ [у — [2пЬ вЂ” г1))з+ [х — ь)з т' = [х — [2та — Дз + [у — [2пЬ+ г1))з + (х — Дз где а и Ь стороны прямоугольника.
359 1 л. 1Ъ'. У)эабнения эллнптн ~еского типа где (ц Ьтп (з) ты п (з) Йтп ля) Ьп1п (5) ятп (б) Ып,п (г) п1пп [х — (2а)г+ С)]э + [у — (26т+ г))]г + [г — (2сп+ (')]г, [х — (2ай+ с)]г + [у — (26т+ т))]г + [г — (2сп — ()]г, [х — (2ой + с)]г + [у — (26т — г))]г + [г — (2сп — (,")]г, [х — (2ай+ с)]г + [у — (26т — г))]г + [г — (2сп + ()]г [х — (2ай — С)]я + [у — (26т — )1)]з + [г — (2сп+ Цз, [х — (2ай — с)]я + [у — (2Ьт -и )))]я + [г — (2сп+ (,)]з, [х — (2ай — с)]я + [у — (2Ьт+ 9)]з + [г — (2сп — ()]з Указание. Покрыть всю плоскость (х, у) прямоугольниками, получающимися из сечения данного цилиндра путем сдвига на вели- чину Ьп вдоль оси у и на величину ат вдоль оси х.
Объединяя четыре подобных прямоугольника, лежащих внутри области — а < х < а, — Ь < у < Ь, в одну группу и беря нечетные отражения во всех сто- ронах, мы получаем первое слагаемое суммы ряда. Перемещая затем всю группу по осям х и у на 2ат и 2Ьп, получим остальные члены ряда. 47. Направим ось х вдоль одного из катетов., поместив начало координат в вершину прямого угла. Тогда решение задачи можно за- писать в виде и(Х, У, г: ~, )),(,) т илб(Х., )У, г: С Г) Д вЂ” ибб(Х У~ г Э), С Ь) (О < х < а, у < х), где илб --- решение задачи 46 для цилиндра с квадратным сечением, причем сторона квадрата равна а. Указание.
Плоскость х = у делит цилиндр с квадратным сече- нием на два симметричных цилиндра с сечениями в виде прямоуголь- ных равнобедренных треугольников. точке (с, пь () (т) < с) одного цилиндра соответствует симметричная точка ()), С, Д другого ци- линдра. Беря решение задачи для цилиндра с квадратным сечением с полюсами в симметричных точках, мы получаем искомое решение задачи. 48. Решение и = и(х, у, г) имеет вид и = ибб(х, у, г' С: гй 0 — ибб(х у г' С, )) — ь) где илб(х, у, г; С, )), ~) решение задачи 46. Указание. На плоскости г = О выполняется граничное усло- вие и = О, т. е. отражение в этой плоскости должно быть нечетным. 49.
Потенциал в точке М(х, у, я) точечного заряда, помещенного в точке Р(Я, г), (,") внутри параллелепипеда со сторонами а, 6 и с, равен 1 1 1 1 (э) (3) (4) лт — со т=.— оо и= — оо Й я я я 1 1 1 (5) (б) (7) й~ ~ яп| я Збо Ответы, указания и решения г = (х — (2ак — С)]з + (у — (2дт — у)]з + (х — (2сп — (')]з а, д,. с измерения параллелепипеда, М(х, у, х) точканаблюдения, Р(С, у, ~) — точка, в которой находится заряд.
Указание. Выберем систему координат так, чтобы начало ее помещалось в одной из вершин параллелепипеда, а оси были направлены вдоль ребер. Покроем это пространство параллелепипедами, подобными данному, при помощи сдвигов по осям х, у и х на ак, дт и си соответственно, где а, д, с .— длины ребер вдоль осей х, у и х. Объединяя восемь подобных параллелепипедов, лежащих внутри области — а < х < а, — д < у < д, — с < х < с, в одну группу и беря нечетные отражения во всех гранях, мы получим одно слагаемое суммы, представляющей ответ. Перемещая затем всю группу зю осям х, у, х на расстояния 2ай, 2дт, 2сп, получим остальные слагаемые суммы. Решение этой задачи сходно с решением задачи 46.
2. Функция источника для областей со сферическими (круговыми) и плоскими границами. 50. Если обозначить а-радиус сферы, е величину заряда, Π— центр сферы, М вЂ” точку наблюдения, Мс — положение заряда (рис. 41), то решение ~о~~о написать в виде и=е где рс = ОМс, гс = гмзг„ = ММ, Рис. 41 Мз точка, лежащая на продолжении ОМс и полученная из Мс при помощи преобразования обратных радиусов-векторов. Р е ш е н и е. Задача состоит в отыскании функции, гармонической во всех внутренних точках сферы, кроме точки Мс, в окрестности которой она представима в виде а = — -~- п(М), Tя где а потенциал индуцированного поля, причем на поверхности сферы и = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
