Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 58
Текст из файла (страница 58)
а) и = и(г) = -(гг — а ) — — ай(а+ Б) ( — — -); 6 6 а г А г г В б) и = и(г1 = — (гг — аг) + — (г — а) — аЬ >1 — (Ь+ а) + — ~ ( — — -), 6 2 16 2~ (а г)' при А = 1, В = О получаем первое выражение. У к аз ание. Решение обладает сферической симметрией и = и(г). 3 3. Функция источника Функция влияния точечного источника или просто функция источника С(М, Р) первой краевой задачи для уравнения Аги = — 4яр определяется в трехмерном случае ) следующими условиями: С(М, Р) = — + и(М, Р), (1) 4я гмг где гзгр —— (т — с)г + (У вЂ” >1)г + (г — Ч)г ---.
РасстоЯние междУ точкой наблюдения М(т, у, г) и источником в точке Р(г„>1, г,), а и(М, Р) функция, регулярная и гармоническая всюду в рассматриваемой области Т с границей Е. На границе Е функция С удовлетворяет С(, =О. (2) Таким образом построение функции источника С в некоторой области Т сводится к решения> первой краевой задачи для уравнения Лапласа 21и=О в при специальном граничном условии (3) Электростатическая интерпретация функции источника С(М, Р) очевидна; это потенциал в точке М электростатического поля, созда- 1 ваемого внутри объема Т зарядом величины е = —, сосредоточенным 4>г ' в точке Р, если граничная поверхность Е области Т является идеально проводящей и поддерживается при нулевом потенциале, т.
е. заземле- 1 1 на; здесь — — — — потенциал заряда в неограниченном пространстве, 4>г г а и потенциал поля, индуцированного зарядами на Е. ') См. (7> гл. 1Ч> 2 4). 349 Гл. !Ъ~. Уравнения эллиптического типа при условии на границе и! (5) может быть найдено в интегральной форме и(М) = — ~((Р) е1етр + (' С(М, Р)Р(Р)е1тр, (6) дС где — -- производная функции С на границе Е, взятая по направледп нию внешней нормали к Х. Большинство задач настоящего параграфа взято из электростатики.
Обычно помимо потенциала поля интересуются поверхностной плотностью зарядов, индуцированных на проводниках, а также емкостью проводников. Введем необходимые понятия. Поверхностная плотность зарядов на проводнике с поверхностью Я, помещенном в среду с диэлектрической постоянной г, равна где и внешняя нормаль к поверхности Я. Полный заряд, распределенный на Я, дается интегралом Емкость проводника Я определяется по формуле С= —,, где Г -.потенциал проводника Я. Лля двумерной области Р с границей Л функция источника С(М, Р) определяется аналогично С(М, Р) = — 1п + (М., Р), (7) 2я гл,р П См. (7, гл. 1Ъ', ~ 4). Для ряда простых областей (полупространство, слой, сфера и др.) индуцированное поле может быть найдено с помощью так называемого метода отражений, сущность которого заключается в том, что вне рассматриваемой области по определенному закону помещаются заряды.
Эти заряды называются изображениями, или «образами», исходного заряда относительно данной границы. В случае плоской границы «образы» являются зеркальными изображениями оригинала в плоскости или плоскостях, если область ограничена несколькими плоскостями. В случае сферических границ для построения изображения применяется преобразование обратных радиусов (инверсия) ~). В настоящем параграфе помещены лишь те задачи, которые могут быть решены методом изображения. Если функция источника С(М, Р) известна, то решение первой краевой задачи для уравнения эли= — Р в Т (4) 350 Ответы, указания и решения а), =О. (8) где о1М, Р) регулярная в В гармоническая функция, т.с.
в этом случае функция С имеет логарифмическую особенность в источнике. 1. Функция источника для областей с плоскими границами. 35. Потенциал точечного заряда е равен и=е( — — — ), где о=МР= (х-~)з+(у — ц)з+( -Оз го;=о г1 е=о н ~ — ' — — ') =О, т. е. заряды е(Р) и — е(Рг) компенсируют друг друга на плоскости з = = О. Поэтому, пользуясь принципом суперпозиции, для искомого потенциала будем иметь и=е( — — — ). =мР = 1* — с)'+Ь вЂ” 1)'+1 +О' М(хц у, з) точка наблюдения, РЯ, гь () точка, в которой находится заряд, а Рз(~, и, — с) --- его изображение в плоскости з = О. Плотность поверхностных зарядов 1 1 да 1 е 4я 1, де / е=о 2я ~(х — б) + (у П) + Лн~ Полный заряд, распределенный на плоскости е = О, равен е' = О и дх ду = -е. Функция источника первой краевой задачи для уравнения Лапласа в полупространстве, очевидно, равна 4 (т г)' (2) а решение первой краевой задачи в полупространстве з > О дается формулой Р е шеи и е.
Отражая зеркально в плоскости е = О заряд е, помещенный в точке РЯ, е1, ~), получим в точке Ро(С, О, — С) заряд велие чиной — е; его потенциал в неограниченном пространстве равен — —. ге Нетрудно заметить, что 1 1 1 Гл. ! т. Уравнения эллиптинееного типа 1 Функция источника С[М, Р) соответствует е = —.
Вычисляя затем 4н нормальную производную с дС[ 2г У~( 4 [[ не)г+[ )г+ г]зг и пользуясь формулой [6), на с. 35Т, получаем решение первой краевой задачи ли=о [ >О), ]л,=У[я, р). 36. Потенциал заряда е[Ре) равен и = 4леС, С(М, Р) = — ~~~ ] — — —, ] /1 4и ~, т„т„') и= — ~О где т = (х — ~)г+ (р — г1)г+ [г — (2п1 + ~)]г, т'„= [т — ~)г + [р — г1)г + [г — [2гг1 — ~)]г, заряд находится в точке Ре(с, г1, Д, М[х, р, г) — точка наблюдения. Ряд [1), а также ряды, получаюьциеся почленным дифференцированием ряда [1), сходятся равномерно и абсолютно в области О < г < й Решение. Для построения ряда [1) надо производить последовательные отражения в плоскостях г = О и г = 1 [рис.
39) и найти Рис. 39 Оат2 Ответы, указания и решения положение изображений — — «источников» и «стоков». Произведя отра- жение в плоскости з = О, получим функцию ив =с которая удовлетворяет граничному условию и = О при е = О и не удов- летворяет условию и = О при з = 1; производя затем отражение в плос- кости з = 1, .получим пз — — е — — —, + так что из — — О при я = 1 и из ф. О при з = О.
Продолжая этот процесс поочередного отражения в плоскостях з = О и з = 1, мы приходим к ряду (1). Имея в виду, что при каждом отражении заряд е переходит в за- ряд — е и обратно, нетрудно установить, что координаты изображений выражаются формулой -~-е ~„= 2п1 в- ~, — е в,,' = 2п1 — в,", где и — целые числа, принимающие значения в пределах от — со до +со.
Пользуясь принципом суперпозиции и суммируя действие всех изображений е(Рп) и — е(РР) и реального заряда е(Р), получаем ряд (1). Докажем, что этот ряд равномерно сходится. Для этого рассмотрим его п;й член 1 1 а и т„' Пользуясь теоремой о среднем значении, будем иметь ~ д в 1 ~~ ~~~ — (Ы+ ~*)) ( откуда следует 21 2 — = б„, так как ~* < Р« — ~*~ < 1 и, следовательно, т„= (л — яз + (у — 'О)з+ )е — (2п1+ ~*)]з ) (2п — 1)1. Полученная оценка показывает, что ряд 2 а„сходится равное= — са мерно и абсолютно, так как мажорантный ряд 2 ба сходится. Докажем теперь равномерную сходимость в слое О < е < 1 рядов, полученных одно- и двукратным почленным дифференцированием ряда (1).
Оценим производные; д У 1 1 1 в — (2п1 +~) 1 е — 12п1+Ч) < —,, так как <1, т.' ' т„ Гл. ! о. Уравнения эллиптического типа д ! 11 1 г — (2п1 — () 1 < —,, так как гйг ' г — (2п! — Д <1, е'„ З(г — (2п1 Ч- Д 1 дг 1 д 1 г (2 ! л С) т„ г Tи дг' (и„) дг д 1 3 1 4 неравенства г > (и(1, г'„ > [п[1, получаем = Ь~'1, Учитывая, далее, д пг!г и ~ дгг ог!г даи откуда и следует абсолютная и равномерная сходимость рядов и=- — оо дг и 2,", поскольку ряды 2 , 'Ь„и ~„Ь„сходятся.
АналоОО 1г! и=-оо и= — со и= — оо гично доказывается равномерная сходимость рядов и=--~-со сииз-ж и=--1-со . и=-~-оо д ' г~г, д,„' г~~лл дгг ' г~г(, д„г ' Таким образом ряд (1) можно дифференцировать дважды. 1 Поэтому ряц (1) без члена — всюду в слое О < г < ! удовлетворяго ет уравнению Лапласа, поскольку все его слагаемые удовлетворяют 1 этому уравнению. Первый член — даст нужную особенность в неточно нике.
37. Прямоугольные составляющие электрического поля равны (2) 23 Б.М. Будок и др. где и проводимость среды, 1 мощность источника тока, ги = (и — ~)г + (у — О!)г + [г — (2п1+ ~))г, г~ = (г — ~)г + (у — г!)г + [г — (2п! — Д)г. Ряды для компонент поля Ег, Е,, Ел сходятся равномерно и абсолют- но и представляют функции дважды дифференцируемые, следователь- но, удовлетворяющие уравнению лги = О всюду, кроме точки го = О (г = с, у = ЬЬ г = (), в которой они имеют нужную особенность Е =-, — ( — )+...
(З) 354 Ответы, указания и решения Указание. Каждая из компонент поля Ет, Е„, Е. удовлетворяет уравнению Лапласа, так что ЬЕ = О, и имеет требуемую особенность (3) в источнике. При г = О должно выполняться условие Ее =О. (4) Помещая источники мощности 1 в точках За = 2п1 — З' и = 2п1 -~- ~, суммируя поля от этих источников Е = — — ~ ~йгас1 ~ — + —, т1 (5) 4ка 1т„т' / а= — ~ Граничное условие (4) будет выполнено, так как д / 1 ) д ( 1 ) — (2п1 -~- С') дг 1т,1 =а дг 1 т'„) ==а ((я — Я)г+ (у — г1)г+ (2п1+ а)г)г!г Равномерная и абсолютная сходимость ряда (5) не вызывает сомнения,поскольку « вЂ”вЂ” д /1з г — (2п1ЬД 1 А дг ~~ гг -т4 где А — — некоторая постоянная.
Если суммировать не поля отдельных источников, а их потенциалы, то получается ряд (6) который расходится, так как его члены положительны и имеют порядок 1/и. Почленное дифференцирование ряда (6) возможно,так как при этом получаются равномерно и абсолютно сходящиеся ряды. 38. Ищется рещение краевой задачи гаи = О внутри слоя О < я < 1, при условии, что в точке Р(я = ~, т = С, у = О) потенциал и имеет особенность 1 1 и 4ка та ' та = (т — Д)г + (У вЂ” О)г + (Я вЂ” ~)г. Метод изображений дает [а, т) =,' где (и — 5)г+ (у — О)г+ [ — (2п1+ ( — 1)"О)г — 1 е)г + ( )г + [ 12п1 1 1)акт)1г Гл. 11г.
Уравнения эллиптического типа г = 2! ( — +Ьи) =О, дается формулой С(т,р,г;69 0= — — — + —, — 2/. с ье)г .~ (9 п)э -~-(г -~- в) рис. 40 Указание. Источники 1 и стоки — 1 находятся соответственно в точках (рис. 40) т = С, д = ц, г = ~„= 2п1 + ( — 1) а~, т = С у = ц, г = ~„' = 2п1 — ( — 1)и~. Сходимость и дифференцируемость ряда (1) доказывается по аналогии с задачей 36. 39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
