Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 56
Текст из файла (страница 56)
количество тепла, й' выделяющегося в единице объема в единицу времени, Й коэффициент теплопроводности. Краевое условие первого рода и~ означает,что на поверхности Х задана температура 1„ условие второго рода ди ди — зз~ или — й — зз сз з ззй)~ дп и дп в .. - на Н задан тепловой поток величины ~з; краевое условие третьего рода ди ди — — — — зз — + йи = Уз, или — й — = й~и — Уз), й = йй, уз — =, дп в дп й -- на Е происходит теплообмен по закону Ньютона со средой темпе.--.*7з. Необходимым условием существования стационарной температуры длЯ втоРой кРаевой задачи ЯвлЯетсЯ выполнение Равенства ~узйт = = О, т. с. суммарный поток тепла через поверхность Е должон быть равен нулю.
Неравномерное распределение температуры вызывает тепловой поток, величина которого по закону Фурье равна Я = — й игаса и. ди Проекция его на направление и, очевидно, равна с„„= — й —. дп' Гл. ! г. Уравнения эллиптического типа Решение. При выводе уравнения (1) следует написать условие теплового баланса для произвольного объема и затем воспользоваться формулой Остроградского.
Уравнение теплового баланса для объема Т с границей Е, очевидно, имеет вид (2) слева суммарный поток через Е, справа количество тепла, выделяющегося в объеме Т. Формула Остроградского дает / г(гк(а чае) и) Йт = — ~Е Йт, т т откуда в силу произвольности объема Т и постоянства Й получаем уравнение (1). 2. а) Уравнение диффузии в покоящейся среде есть ели = О, (1) где а(я, у, г) концентрация.
б) Если среда движется со скоростью и = (ел, ив, е,), причем йя и = О, то уравнение диффузии принимает вид ди ди ди 11гли — е, — — ея — — ев — = О, (2) * дя " ду дг где В коэффициент диффузии, е,, ев, ив проекции скорости и на координатные оси. Если с = и, ья — — ел = О, то уравнение (2) принимает вид д гли — — —, =О, 11 дя или ива+ива+ и.л — — и, = О (уравнение газовой атаки). У к а з а н и е.
диффузионный поток вещества при неравномерном распределении концентрации равен (4) Я = — Ррас1и. Кроме диффузионного потока надо учесть поток переноса (трансля- ционный поток), равный ии, так что суммарный поток равен —.0кгас1и+ ии. Лля вывода уравнений (1) и (2) следует воспользоваться законом сохранения вещества для произвольного объема и затем применить формулу Остроградского (см, решение задачи 1), 334 Отвесим, унвввния и решения Закон сохранения вещества для неподвижной поверхности Х запишется так: или / 1йч(Р 3гас1 и) — йч(ии)) с)т = О, т' откуда ввиду произвольности объема Т, а также условия йч и = О и следует уравнение (2). 3.
Уравнение для потенциала и электрического поля в пустоте имеет вид сйи = — 4яр, где р объемная плотность зарядов. Физический смысл краевых условий первого и второго рода: и ~ ~п ди задан потенпиал на поверхности Е, — = у — задана плот' дп и ность поверхностных зарядов. Р е ш е н и е. Уравнения, которым удовлетворяет поле стационар- ных распределенных зарядов, получаются из уравнений Максвелла, если все производные по времени положить равными нулю.
Лля элек- тростатического поля в непроводящсй среде получаем гоСЕ = О, <1) йчР = 4яр, Р = еЕ, 12) где е — диэлектрическая постоянная среды, р = р(М) .. объемная плотность зарядов в точке М. Из уравнения гос Е = О следует, что Е потенциальный вектор, и ее ставимый в ви е 1 д д Е = — 3гас1и, где и = и(М) потенциал поля. Уравнение (2) дает йч(е йгас1 и) = — 4яр. Если е = согсзс, то для и получаем уравнение сзи =— е в пустоте е = 1, и мы будем иметь Ьи = — 4яр.
Если имеются проводящие поверхности, то на них тангенциальная составляющая электрического поля должна быть равна нулю: д дв где — означает дифференцирование по тангенциальному направледв нию на поверхности. Отсюда следует, что на поверхности проводника потенциал постоянен: и = согсэС;. внутри проводника и = сопзс и Е = О. Гл. !'гг.
уравнения эллиптического типа Если проводник заземлен, то потенциал и = О. Плотность поверхностных зарядов вычисляется по формуле 1 е ди а = — — Р„= — — —, (3) 4п " 4п дп' д где — означает дифференцирование по нормали к поверхности. Зада давая распределение поверхностных зарядов на проводнике, мы полу- гаем условие ди 4яа — =Л, дпв ' е Однако такая постановка задачи является неестественной для элек- тростатики; обычно известен полный заряд е на поверхности.
Поэтому ищется решение уравнения Ьи = — 4яр при краевом условии и~ = ис, где ис опрсделяется из условия нормировки решения по заряду ди — р — аггг = 4яе, где е = )' рг1т (см, задачу 7). дгг 4. Вектор напряженности магнитного поля равен Н = — ягаг) вэ, потенциал го удовлетворяет уравнению Лапласа Лр= о. Р е шеи и е. Если магнитное поле не меняется во времени и токи отсутствуют, то оно должно определяться уравнениями госН =О, (1) (2) г11гН = О. Из уравнения (1) следует Н = — ягаг1уэ; подставляя это выражение в формулу (2) и учитывая однородность и изотропность среды (1г = сопз1), получаем уравнение Лапласа. 5.
Поскольку вектор электрического поля Е потенциален, то Ьи = О, а на заземленной идеально проводящей поверхности и! =О, на границе с диэлектриком — = О. дп, и Р еш ел и е. Будем исходить из уравнений Максвелла в проводящей среде в стационарном случае 4п . госН = — у', е гоС Е = О., г11г Е = 4яр, с11грН = О.
336 Отвесам, указания и решения Применяя операцию йу к первому уравнению, для плотности тока у получаем уравнение (2) йуу =О. Из уравнений го1 Е = О следует потенциальность вектора Е, Е = — ягас)и., где и = и(М) -- скалярный потенциал. Так как в силу дифференциального закона Ома ,у = ееЕ (и проводимость) (3) у = — пягае1и, то для однородной изотропной среды (и = сопзс) условие (2) дает ези = О. Из уравнений (1) и (3) следует, что р = О внутри проводника. 1) На заземленной идеально проводящей поверхности потенциал и = О (граничное условие первого рода). 2) Если проводник граничит с диэлектриком, то на границе раз- дела нормальная составляющая плотности тока должна быть равна нулю: ди у„= — о — = О, д.
т. е — =О ди (граничное условие второго рода). 6. Если уз — — потенциал скоростей стационарного потока несжимаемой жидкости, так что о = йгае1вз, то потенциал Зз удовлетворяет уравнению Лапласа Ьр=о. На поверхности твердого тела, движущегося с некоторой скоростью ое, должно выполняться условие = оса. ду ди Если тело покоится, то — = О. ди х Если среда простирается неограниченно, то на бесконечности при г †«оо потенциал вз должен удовлетворять обычному условию регулярности.
Рещение. Если жидкость несжимаема, то ее плотность р = = сопзФ. Из уравнения непрерывности (сохранения вещества) др 01 — и + йу(ро) = О получаем условие несжимаемости йуо = О. Гл. ! гг. уравнения эллиптизеаиого типа Так как по условию скорость жидкости имеет потенциал и = ягаг1оо, то г)1н ягаг1 оо = О или Ьгр = О. 7. Первая основная задача электростатики ставится как первая внешняя краевая задача. Требуется найти функцию гго, удовлетворяющую уравнению Лап- ласа гЛоэ = О всюду вне заданной системы проводников., обращающу- юся в нуль на бесконечности и принимающую заданные значения уэ, на поверхностях проводников: 'ваап = Фь Вторая основная задача электростатики ставится так. Требуется найти функцию уэ, удовлетворяющую уравнению Лап- ласа гзуоо = О вне заданной системы проводников, обращающукюя в нуль на бесконечности, принимающую на поверхностях проводников некоторые постоянные значения и удовлетворяющую интегральным соотношениям на поверхностях проводников д ~ — гХа = — 4яеп 'Р дп где е, — полный заряд г-го проводника.
Если задан один проводник То с поверхностью Ео., то решение второй задачи электростатики может быть представлено в виде гГэ = 9эоог(и; у г) где Ъ'(и, у, г) —.—. решение первой внешней краевой задачи для области, внешней к проводнику То, при условии Ъ' = 1 на Ео, множитель гоо определяется из условия нормировки — г1а = — 4огео ду дп йо и равен ео ео гро 1 др С' — / — о1а 1 где' где С = — — ~ — сЬ -"- емкость проводника.
4н .Г дп по 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа в неоднородных средах. 8. Стационарное распределение температуры удовлетворяет уравнению о11н(К бгаб и) = — г'(ЛХ), где й = Й(ЛХ) коэффициент теплопроводности, г'(ЛХ) плотность источников тепла в точке М. 22 Б.М. Будок и др. 338 Ответы, указания и решения Пусть Т некоторый объем с границей Х, на которой задана, например, температура и) ~(-6 — "") д = /Гд, (2) в г откуда в силу произвольности объема Т и следует уравнение йу(68гае1и) = г. Применяя (2) к цилиндру Т,, получим (рис.
38) ( ди) „( ди) ~ ( ди) зв т где Яг .--- левое, а Яг - - правое основание цилиндра, Яз -- его боковая поверхность. При предельном переходе 6 — ~ О интегралы исчезают, Рис. 38 Если коэффициент Й(т, у, г) кусочно-постоянен и терпит разры- вы на некоторой поверхности Хы так что Й=йг=сопз1 в Т,, 6 = 6г — сопзг в Тг (Т = Т1 + Тг), то на Хг должны выполняться условия сопряжения иг = иг, ди1 диг (1) 1 — г дп дп первое из которых означает непрерывность температуры, а второе непрерывность теплового потока на поверхности разрыва. Задача в этом случае ставится так; Р Лиг= — — в Т, 6) Г Лиг = — — в Тг, 6г и), =.1, и на Хг имеют место условия сопряжения для иг и иг.
Р е шеи и е. Уравнение выводится так же, как и в задаче 1. Первое условие сопряжения иг = иг очевидно; второе условие диг диг 61 — — йг можно получить, применяя уравнение баланса к бес- конечно малому цилиндру Т, высоты 26, построенному на элементе 4т поверхности Х1 по обе стороны от нее, и переходя затем к пределу при 6 — > О. Как ужо отмечалось в решении задачи 1, уравнение теплового баланса имеет вид Тл. !'гг. Уравиеиия эллиптического типа ди так как — и Г ограничены всюду. Предполагая существование левого дп ди и правого предельных значений — на Вг,получаем дп Й1 +йг =О, да1 диг дги дпг выбирая одно направление нормали гпг = — гпс = и, можно написать дис диг Й1 — йг на Х1.
дп дп 9. В неоднородном диэлектрике для потенциала электростатичес- КОГО пОля имеем ~ < ~ ) 4 Если на поверхности разрыва е(л, у, 2) нет поверхностных зарядов, то можно написать ис= из, ди, ди, на поверхности разрыва е, Ег = Ег где цифры 1 и 2 соответствуют значениям величин по разные стороны поверхности разрыва. Если е1 = сопзг в Т1, ег = сопзс в Т„ где Т, и Тг — области, разделенные поверхностью В1, то для потен- циала и1 в Т1, и= и2 в Т2 будем иметь дси1 — — — 41гр в Т1, Лиг = — 4яр в Тг, ис=иг, дис диг на д — е2 Второе условие сопряжения означает непрерывность нормальной составляющей вектора электрической индукции ди Р = — е 8гас! и, Р„= — е —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
