Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Примечание. Если мгновенное выделение количества тепла ссс произошло не в момент времени 2 = О, а в момент времени 2 = т, то иСх, 2) = — С(х, С, у — т), — оо < х, С < +со, х ~ С,. т < 2 < +со, ~;> сСнт (3) (4) 68. Решение. Заменим в решении и(х, с) уравнения ис=а и,и+~(х,2) х и с на ( и т; заменим, далее, в функции источника С(х, с, с) = 1 с ~х — 6)г 3 ехрс —,, с с на 2 — т, О < т < а Функции иЯ, т) 2а исяг 4агС и С(х, с, 2 — т) удовлетворяют уравнениям и, = а исс + 7((, т), С, = — а Ссс, поэтому д г ~ дои, дгС) дт Интегрируя последнее равенство по С от — со до +со и по т от О до 2 — о, О < о < 2, получим (если предположить, что и и ее производные по С ограничены при ( — с хоо или стремятся к сю, но не слишком быстро): е с — а (Са) =' "дс = 1(Ссс)т=вдс+ 16т1Ю66 Р) Переходя к пределу в равенстве при о -о О, получим ~) и(х,2) = / ИОС(х,6 ~М1+~дт/ Ы,т)С<х,6 ~ — т)М (3) о 69.
Ответ дается формулой (3) решения предыдущей задачи, где под С(х, с., 2) нужно понимать функцию источника, найденную в решении задачи 67. ') Переход к пределу в левой части равенства (2) при о -о 0 выполняется аналогично тому, как это сделано в С7, с. 230-.233]. Гл. 1П. Уравнен(гя парабола (есново таина Указание. Задачу 69 можно роша.ть либо непосредственно, ли бо сведением к задаче 68 путем замены искомой функции и(х, 1) = = е Я'о(х 1) 2аг ' срз(2яс ~х О 1 Г ( 71. и(х, $) = — 11 ехрг( — Ьт— ср 2а о(я 1 1 яагт 1,/т о и(х) = „ехр~ — — (х~). Если поверхность стержня теплоизолирована,то 1(ш и(х, 1) = со.
тг. (,1(=о,((т ')-Ф(* ')(,, Ф((= — 1, сы( о есть так называемый интеграл ошибок, значения которого можно найти в (7), а также в табл. 1 приложений настоя(цей книги. А — т '*'г ~1 Ф (' "' аочг 74. и(х, 1) = Псе "' Ф вЂ” Ф Указание. Воспользоваться решением задачи 69, либо заменой искомой функции и(х, 1) = е о(и(х, 1) свести к задаче 72. (х — сот) ( ехр (х — оог-(- оотг 1 ~ о..( — ') 2асрч(я,/ огс о в частности, температура стержня под печкой равна гг(ио1, 1) = — Ф ( — ) . (ооИ сроо [ 2а г) ' Замечание.
Выражение для и(х, 1) получено при условии, что теплообмен на поверхности стержня, не соприкасающейся с печкой, пренебрежимо мал. б) Полупрялая. с)г —.р(-, *)), о „( ~, *о(, о 1 ~ . (о (..) 1 4"(1- )) В случае, если на поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю, то выражсние 312 Ответы, указания и решения для функции источника получается из (1) умножением на — н(Ф вЂ”..) (2) где Н вЂ” коэффициент теплообмена, входящий в уравнение ие а и„— Ни.
Указание. Выражение для температуры и(х, г) и для С(х, С, 1 — т) можно получить, рассматривая неограниченный стержень — оо < х < +со и предполагая, что в момент времени 1 = т в точке х = С выделилось мгновенно Я единиц тепла, а в точке х = — С выделилось мгновенно — Я единиц тепла, т.е., как иногда говорят, помещая в точку х = С мгновенный положительный источник мощности еу, а в точку х = — ( -..
мгновенный отрицательный источник мощности — (2 ~). +ехр~ —,, )1, 0<х,с<+со. т<1<+оо ху'=С. При наличии конвективного теплообмена на поверхности стержня функция источника получается из только что найденной умножением на е — н(е — т~ Указание. См. указание к предыдущей задаче; настоящая задача решается аналогично. е. о 0 < х, С < +со, х ф С, т < 1 < +со, где 6 есть коэффициент, входящий в граничное условие и,(0, е) — Ьи(0, е) = О.
При наличии конвективного теплообмена на поверхности стержня функция источника получается из только что найденной умножением на е л~~ "~, где Н -- коэффициент теплообмена, входящий в уравнение ие = ази„— Ни. У к а з а н и е. Использовать предложение, сформулированное в задаче 82. 79. и(х, 1) = (евв ~. )-' ео )-- )-';е Я ее+ о ') Функция источнике для полупрямой определяется аналогично функции источника для коночного отрезка; см. введение к решениям задач подпункта в) настоящего пункта.
315 Гл. 1П. Уравнения параболииееноео глина 2) если и(х, 1) есть решение уравнения не=а и,,„,+1(х,1), то н 11(х 1) = ~ А д и(х 1) является решением уравнения к д" Х(х, 1) д.' а=о и(х, 1) = СоФ 84. Скорость движения фронта температуры о11а, и = сопз1о О ( о ( 1, Рис.
34 Рнс. 33 бх ав. равна — = —, где й корень уравнения Ф(х) = о. Графики изобра- 41,Л' жены соответственно на рис. 33 и рис. 34. и(х, 1) = 11е 1 — Ф вЂ”, 2' = 85 где к корень уравнения Ф(х) = 1 — ос Указание. С помощью подстановки и(х, 1) = и(х, 1)-Ь11а задача сводится к предыдущей. 87. и1х,1) = 11оФ вЂ” +е"'ьь ' '11е 1 — Ф вЂ” '+айъ1г . (1) 11огрешность, допускаемая при пользовании формулой (4) условия, не превышает 1 3.3...(2п — 3) 1 (2) 2" ха — 1 ' 316 Ответы, указания и решения Чтобы погрешность, допускаемая при пользовании формулой (5) условия, не превышала е > О, достаточно, чтобы выполнялось неравенство з> оо 4„абабеб' Указание. Интегрируя последовательно по частям, можно получить равенство /е ллс= ) — — — + .
— +( — 1" + 2 1 е 2бб 2ояб 2о — Л обо — Л ео + (-1)" ' ' ' / алс (4) причем, очевидно, (5) стремится к нулю при каждом фиксированном и и е — б +ос. Ь' 88. и(х., Х) = 11о — б„,) + Ь а ел — йя 2аойо ) е + зле *+ 1 — Ф + аЛбьлу — е' ь лл'* 1 — ф ФайулЬ 89. лл(х, л) = 2ллдл~ — ехр1 —, у — дх ~1 — Ф ~ я 4а~с ~ лЛ 2а ЛлЛЛ/ 90. и<х., Ь) = аале+ (АЛЛО У2)е Ф + 1, 2а злеЛ/ "-)')~- ( П Замечание. Если частичную сумму, стоящую в фигурной скобке формулы (4), заменить бесконечным рядом, то получится расходящийся ряд, называемый асимптотическим. Оценка (5) показывает, что погрешность, которая допускается при отбрасывании в формуле (4) остаточного члена б2 )„1 3...
(2н — Ц /' е 2" Га. 1П. Уравнения нирабоаичееиоео тина 91. и(х, 1) = — 'е *~~~ 1 — Ф вЂ” — — — + Ео ' и Ф и ~~ Се где В, С, С сопротивление, емкость и утечка единицы длины провода. 92. и(х, ~) = Ай ехр( — — ' у/ — ) сов ( — З/à — — шг — 7) + 2 т о о ' Г 1К.=,"" (2) Первое слагаемое в правой части равенства (1) представляет собой затухающую с ростом х температурную волну, периодическую по й Второе же слагаемое бесконечно мало при 1 — 2 +ос. и(х, 1) = А ехр( — — )/ — ~ соз ( — )/: — 222)~.
Скорость распространения температурной волны с частотой и2 равна — = о 2/222. Ж Указание ) . Можно найти установившиеся температурные волны как действительную часть комплексного решения задачи Се — — а20, ае 0 ( х, 1(+оо2 71(0, 1) = Аее~', стремящегося к нулю при х -2 +ос. Это комплексное решение имеет 17(х, 1) = Х(х)е'~ . 94. и7х, 1) = Еое ' '/ло' 12 соз (221 — х т/ЛСм/2 )— — / «'гй /КСр 2Г,/ ьв2 + 2~2 ' о где Л и С сопротивление и емкость единицы длины провода. Указание. См. указание к предыдущей задаче.
') Подробнее о решении зада 2 без начальных условий см. [7, с. 241 -245]. 318 Ответы, указания и решении 95. — Лие(0, 1) = (((г) = — — „ / ~ о У к а з а н и с. Задача сводится к интегральному уравнению Абеля ) . 96. (,) 1 »1 г(»(, )((т 2а6 л»»к Ж У,/à — т ' о где 6 --. коэффициент теплообмена, входящий в граничное условие и.
(О, 1) = 6(и(0, 1) — »»з(»)). Л»1 » — л*(» — ( 97. (о1») = — — ~(»(т) ((т, о где 6* — коэффициент теплообмена, входящий в уравнение г и» = а иее — 6'и. 4 '„— л*( — ) 98. о где коэффициенты 6 и 6' имеют тот же смысл, что и в задачах 96 и 97. во оо ехр( — —,(х — оо() — —, Е) 99. и(х., 1) = 2аг /((т х 2а л»»к о г (»»о оо Д(«+ оот, т) ехр( —, « -(- — т) / ' (2а» 4аг (* - " - о* ) „„ ) (' - " »»» )~ »» ио( < х < +ос, 0 < 1 < +со.
Указание. Перейти к новым независимым переменным = х — ио(, 1=1 (это соответствует переходу к подвижной системе координат с началом в точке хо = иог) и новой искомой функции по формуле и(х» 1) = е"~~~ и(«, 1). » »о оо ехр( — — »(х — ооз) — —, 100. и»(х, 1) — / ехР( — г «)»»»(«) х о ) (. — .. - е ) „ ) (. — + »»' Я „, Указание. См. указание к предыдущей задаче.
') Об интегральном уравнении Абеля см. (2, том 11, З 79), а также указание к задаче 114. 319 Гя. ГП. Уравненггя нарабоончеаноео тина гго ва ехр( — — о(х — вое) — —, Г 1х — оое) 101. иГх, Г)— 4аг Х 2а агк Гà — т)а1г о Указание. См. указание к задаче 99.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
