Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Однородные изотропные среды. Уравнения с постоянными коэффициентами. а) Задачи теплопроводности с постоянными граничными условиялт и свободнымп членами. 22. а) Решением краевой задачи ие=аги„, а = —, 0<х<1, 0<1<+ос, (1) ср и(0. 1) = и(1, 1) = О, .О < 1 < +со, (2) и1х, 0) = 1 1х), 0 < х < +ос, (3) 21.
Краевая задача о нагревании стержня 0 < х < Р с теплоизолированной боковой поверхностью 1задача 1) д ' д — = а', й = —, 0 < х' <1', 0 <1' <+ос, 11) дд дх'г ' ср' и'(О, 1') = Го: и',,11', 1') = О, 0 < Р < +со, (2) и~(х', .0) = О, 0 < х~ < 1', (3) аналогична сформулированной в условии краевой задачи о распространении плоского электромагнитного поля в проводящем слое 0 ( хо < Г (задаче П) П вЂ” — — 0 < хо < Г, О < 1в < +со, 11') дсв 4пор дхвг ' ио(х", О) = О, 0 < хо < 1в. (3') Для того чтобы первая задача была подобна второй с заданными коэффициентами подобия к„1еы кю необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения Ос=кто: г (5) к,= — „. (б) 286 Ответы, указания и регаения является и(х, () = ~ аа ехр~ —, () з(п, О < л < (, О < ( < +ос, о=1 где а„= — / Г" 1С) зп» в г(С.
о б) Если Дл) = ((о = сопзС, то 4Уо т=~ 1 ( (2й~-')~кои~1 (2й-~-')кя я. Х-г 2й -1-1 »=о О < х < (, О < ( < +со. (4) В точке и = — имеем 2 (1 ) 4бо ч~-~ ( — 1)» ( (2й+ 1)зкаа» ) (5) 4((о Е- ( — Ц ~ (2й+ Ц за »=нег ( (2п -1- 3)~кзае 4(г ех1'1 к 2и+ 3 Оценим, наконец, отношение суммы всех членов ряда 15), начиная со второго, к первому члену этого ряда. В силу (6) имеем ~-' ) 4(го ( к~а~() 3 Р ехр1 —, ) (3 и г Р > при ( > (' = —, 1пЗе», (7) 3к'а' где е > Π— произвольное, наперед заданное положительное число.
Замечание. Лля оценки погрешности, допускаемой при замене суммы ряда 14) его частичной суммой в других точках х ~ 1,(2, можно воспользоваться признаком Абеля. Однако оценка остатка ряда по признаку Абеля при приближении к концам интервала О < х < ( становится негодной. Можно указать способ, дающий равномерную оценку остатка ряда на всем интервале О < х < (: н(лг )~ ( гг +1 у=нег Так как ряд, стоящий в правой части последнего равенства, удов- летворяет условиям теоремы Лейбница о знакопеременных рядах, то остаток ряда 15) не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов, т.
е. 287 ГА. 10. Уравненггя парабови гееново типа < 411о ~ 1 ( (212+ 1) я а' 1~ ехр ~— < я ~~ 212+1 1 Р Ь=н;-1 о А„ (2п -Ь 1)яа2Л где А„= Интегрируя по частям, получаем 2 2 сг 2А2 г' А А гг 1 ег ь /ег 2Аг' А А Поэтому А2 2112 е А" (2п+ Цвай п ~ я 42 и(х 1) — е11 + (е12 е11) + Х~' ((е'О е'1)[1 ( Ц ) + х 2 1 я п п=1 г г г (-)и"((.— (2))-.(-""' ~ .— "* (4) Р 1 1 Установившаяся температура в стержне равна и(х) = 11ш и(х, 1) = 111 + (112 — Ь1) —. 2 — 2 во Т (3) Указание. Решение уравнения (3) при начальном условии (1) и граничных условиях (2) можно искать в виде и(х, 1) = О(х, 1) + и(х), (6) где функция и(х) определяется как стационарное решение уравне- ния (3), удовлетворяющее граничным условиям (2), т.е.
Н и(х) =О, О<х<1, й(0) = П1, й(1) = Пг, откуда и(х) = (11 + ((12 — (11) —, 23. Решением уравнения д „гди О „, ( д,< (3) д1 дх2' при начальном условии (1) и граничных условиях (2) (см. условие задачи) является 288 Ответы, указания и решения 24. Решением краевой зада ги л иг = а иав — Лси — иО) а ер л= — р, ера 0<х<1, 0<1<+ос, и(0, С) = 5гг, и1,1, 1) = Ого, 0 < 1 < +со, сс1х, 0) =у1х), .0<х < с, (1) (2) (3) является и1х, 1) = ив+ ш1х) + и1х, 4), О < х < 1, 0 < 1 < +оог 14) где % ггггг — ве) в1с — сг1 — х) В сгггг — ив) в1г — х ис1х) = а а ь'Л а 0<х<с, 15) -~-ее в с и1х, 1) = в А„ехр( — ( + л)1) вш — ' е=с 0 < х < 1, 0 < 1 < +ос, 16) Ав = — С ~Я) — исЯ вЂ” иО1 Вйл СГС.
2 г ия5 1,/ в (7) В частности, если Уг = Ув = 0 и 71х) Л вЬ вЂ” 11 — х) -В ш1х) = — ио 1в% в1г— а =О, то ,% в1г — х а (5') О<и<1, 12в — 1) сгх 461сие у~ вгсг (х 1) г во 7 яав ~-~ Г2в — 1)С12в — 1)вязав -В 51в) х в.=г х ех1)( — [, + 611). (6') т. е. йс(х) есть предел, к которому стремится температура в стержне при 1 — с +со. Функция в(х, 1) будет удовлетворять уравнению 13) и условиям в(х, 0) = Уо — й(х), 17) и(0, 1) = сс(1, 4) = О, (8) т.е. и1х, 1) является решением первой краевой задачи с нулевыми граничными условиями. Такая задача была уже рассмотрена 1см, задачу 22).
289 Гв. 1П. Уровненглд поробови леоново типа 25. Решением краевой задачи иг — — али,, 0<х<1, 0<С<+оог (1) (2) (3) и, (О, С) = и (С, С) = О, О < С < +оо, гл(т, 0) = Г"(х), 0 < х < С, является -~-оо Г ао х Г ггап З пггх и(х, С) = — + 22 а„ехрл —, С) соз— 0 < х < С, 0 < С < +со, (4) где а„= — / С'(2) соз гСя, тл = О, 1, 2г 3, о (5) (1) (2) (3) — Лети (О, С) = г11, Лгтии(С, С) = г12, 0 < С <+оо, и(х, 0) = Г(х), 0 < х < С, является и(х, С) = иг(х) + о(х, С), (4) где % ите.
02 — 01 с11 — 1 ттд иг(х) = а (,)~ в12 х+ а сЬ вЂ” х, ,/Ь ' о,/К,Д ' а — 212 — 1 0<х<С, (5) а а 01 — Гв)2— Дг 92 Лгг Ла (6) -г-со 2 2 2 и(х, С) = — е м+ ~ ~апехр( — ( + Ь)С) соз п=1 0<х<1, 0<С<+, (7) 2 Г гтв2 ап = -11 Г1(я) — ю(з)] соз — г(2, и = О, 1, 2, 3, ... о,— С/ о Ука.зание. См. решение задачи 23. 27. Решением краевой задачи иг — — а ик„О < х < 1, 0 < С < +оог и(0, С) = ГГог Лети,(С, С) = гГо, 0 < С < +со, и(х, .О) = Г(х), О < х < С, (8) (1) (2) (3) 19 Б.М, Будок и др.
Чтобы получить температуру в случае теплообмена на боковой поверхности, нужно умножить правую часть (4) на е "г, где 6 имеет тот же смысл, что и в предыдущей задаче. 26. Решением краевой задачи ил — — ази„,— Ьи, 0<х<С, 0<С<+со, 290 Ответы, укаваиия и уегаепия является 4 (2п -Ь Циаме 4-( — Ц"21Яв ) х ггг (2п -Ь Цг гг=а (- (2п-~Ц я а 1 .
(2п+Цггх (4) х ехр — 11зш где (го = —, а = -/ у(я) гйп 2 г . (2~+ Цгге Ла 1 21 г)я, в а и — площадь поперечного сечения стержня. Если Яв = О, ((х) г— и О, то 4Уе с 1 ( (21гг)гягаг ) . (21+ Цях и(т, 1) = ~о — ~ ~ехр.~ ~—,, 1г згп 0 < х < 1, 0 < 1 < +ею. (6) В точке х = 1 имеем и((, 1) = Уо — ~ ехр1 —, 2~, 0 <1<+ос. (7) 4Ув ( — Ц Г (2й -~- Ц гггаг х 2ве-1 я=о По теореме Лейбница о знакопеременных рядах получаем оценку для остатка ряда (7) 4Ув ~~~ ( — Ц" ( (2Л+ Ц ига ) < л 2Й-Ь1 я=и-~-г 2 3 я а ехр~ — — 1).
В силу (8) 41г Оценим, наконец, отношение Ва(1г 1) к— 4Ув г < — ехр~ — 1~ < е 1г 1) 1* = —, )пЗш (9) при и(х,О)=0, 0<х<1, 3 а м е ч а н и е. Нетрудно получить равномерную оценку для остатка Л„(х, 1) ряда на отрезке О < х < 1 способом, указанным в замечании к ответу задачи 22 настоягцего параграфа. 28. Решением краевой задачи иг —— а и, 0<х<1г 0<1<+ос, (Ц и (0,1) =О, ия(Ц1) = ~~ =(у, 0<1<+со, (2) где Л вЂ” коэффициент теплопроводности, и — площадь поперечного сечения, 291 Га.
1П. Уг)авненг)я парабола гееноео типа является ггг аге 3хг 1г 21 ехР( — г ~1 апх и(х,1) =(.,) — + + —,~ ( — 1)" соз 61 ггг 1 я=1 (4) В точке х = О имеем агг 1 21 ( — 1)Я ' ) /ггяга )в, ) =Π— — — г —.г Р(-, 1)), 0 г —:— ь=г (5) По признаку Лейбница для остатка ряда получаем опенку я=п-)-г < ехрг —,, 1), О <1 < +со. (6) 2(И 1 (и + Цг.ггаг )гг(п+ цг Р Указание. Чтобы получить (4), можно свести краевую задачу ди(х, 1) (1), (2), (3) к первой краевой задаче путем замены и(х, 1) = дх решить краевую задачу для и, а затем проинтегрировать и по х; при этом появится произвольная слагаемая функция времени.
Вычисляя количество тепла в стержне двумя способами (см. указание к ответу задачи настоящей главы), можно определить эту функцию. Замечание. По поводу равномерной оценки остатка Яп(х, 1) на отрезке О < х < 1 см. замечание к ответу предыдущей задачи. 29. -)-оо г )м) д о,=г где гг -- коэффициент теплообмена, входящий в граничное условие и,(1, 1) + 6[и(1, 1) — (19] = О, а ра положительные корни трансцендентного уравнения саяр = — р, 1 И (2) образующие последовательность, монотонно стремящуюся к +ос. В точке х = О имеем Нетрудно проверить, что ряд (3) удовлетворяет условиям теоремы Лейбница о знакопеременных рядах; поэтому для остатка ряда (3) получаем оценку 19' 292 Ответы, указания и решении в=и-~-1 ~еювуюр+д„ гл гг((Ы)г -~- (Ы) -~- гг,"'аы] В В силу (4) имеем )Вг(0, г)) < ге,и ,и,(Ы)г+(Ы)+д') ' '( (>4г + угу + Н2 -' (Ы)г+ Ы+,г г г ехр~ — ("',"' г( < е (5) ~г при (Ы) г -~- Ы -~-,и~ (Ы) г -~- Ы -~- дг ~г (ул~ ~— улг~)аг получим ° -;ит;;.*,(-"," г) ~~и(.: ~) ~ < 2 еЫ Е,Ы),"„Ы), 'г) < я=-и-~-1 рви '((ы) ~ ~( у .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
