Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 45
Текст из файла (страница 45)
П. Ураененнн енперболнчесноео типа является и(Х, 1) = ~ ип(8) Есн (4) где и„(1) = —" ~ те О 1сйпасп(1 — т) 41т, ого = „С~ — иг ), (5) о 2 1Ф(2) . танго пха а„= — 11 — есп — 41х, ш„= —. (О) 11 р о 155. Решением краевой задачи исс = а ия, — 2иис+ -Йх — хо)д(1), 0 < х <1, 2 1 р и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +со, а(х, О) = ис(х, О) = О, 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, (1) (2) (3) является .1-оо 21 ис х 1 .. тигхо .
пжх и(Х 1) = — Е " 22 — Зсцас 115П ЗШ п=1 (4) где алга сотс юа = Зттю~ — иг, (5) 156. и(х, 1) =— 2Р1 со~ 1 1 роаэс ~-4 пг агхгпг— п=с 2Р1з + — еш ~яяг л-с пг агссгтр — огр п=1 о пях . пяаС г ог~г Зсн — Сйл 12 + о пях . пггоо1 — есп, 0<1< —, оо 2Р14 1 1 2 2 рЯах4 2 пз агягпг — ссо212 п=1 — <1<+со. оо У к а з а н и е. Воспользоваться импульсной дельта-функцией. пяа ггг пттоо соя, С вЂ” соз(1-т )соС рльгг (и ягаг) 2 ( пяео г айп —. (и'я а') ( птгоос г ') Предполагается, что ас„> и при п = 1, 2, 3, ... Если ас„< и при достаточно малых значениях и, то решенно будет содержать члены с множителями з14 ос„С н член с множителем С.
248 Ответы, указания и решения г з 158.а)Приезда':,, п=1,2,3,..., а 2Я х- и'-(и4кзаг — Ч4) ППХо + в"~аз"?, 4 4 г 24в рЯ '? г п4к4аг — ш244 " п=г г г б) при ог= о „.2„2. п,,п..4.2 „Ч4) п=1 ейбПв 2,Н212 зй ~Я вш дП вЂ” хо) 2,9Ч~ вш Д з з ь)21'з) х) + 4 — яп Д(1 — х), х яп згхо 2)гзуз взп 131 О < х < хо, 21212 11'(х, 1) — х агк4рЯ <), а хо < х ПКХО Е яп — яп (ше+ уг„) (п4хзаг — ш224)2 -Ь 4игшгзз п=1 2РР 159.
и(х, 1) = рЯ 2иш агг."пз — шЧ4 ' 1ШХ вш, где а и -- «коэффициент трения», входящий в пггхо рЯ 2 г П42.4а2 ш214 п=1 ПОПО гге . ПОКХО ° ° ПонХ 1 О поххо, понг + „вш япог1вш — 1совш1вш В|П вЂ”. ряшг С Е рЯш Х Е Неограниченное возрастание амплитуды вынужденных колебапго к за ний с частотой ео = будет иметь место лишь в том случае, 12 ПО11ХО когда яп у': О, т.е. точка приложения силы не совпадает ни с поп одним из узлов гармоники, соответствующей числу Л„, = Указание.
См. указание к задаче 149. Замечание. Вынужденные колебания с частотой аг могут быть найдены в замкнутой форме, аналогично тому, как это было сделано в решении задач 134 и 139. п ха При аг у'.", и = 1, 2,..., для колебаний с частотой аг, таким образом, получается следующее выражение: 249 Тл, 1й Уравнения еиперболипееиоео тигга уравнение дги г д и ди дев дхл де 1л„а 2Е 1з ~~ 1 — сов 1 п=1 где Х„(х) = (сЬ Рп + соЯ Рп) (вЬ Рп — — гйп Р„х ) "1 "1~ х хз — 1ЯЬ Рп + вйп Р„) (сЬ Рп — — соЯ Р„-), рп --.
положительные корни уравнения сЬр совр = — 1. (2) (3) Х„(х) = яЬ рп яш и" — яш р„яЬ и" р„--- положительные корни уравнения 1яр = ФЬр (рг < рг < ...). 4. Колебания при неоднородности сред и других условиях, приводящих к уравнениям с переменными коэффициентами; учет сосредоточенных сил и масс. 164. Решение. 11родольное смещение и(х, 1) точек стержня является решением краевой задачи р(х)ии — — (Е(х)ип)п, 0 < х < хо, хо < х < 1, 0 < 1 < +со, (1) и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +ос, 12) и(хо — О, 1) = и1хо+О, 1), Е(хо — 0)иЯсо — О, 1) = Е1хо-'пО)илаха+О, 1), (2') 161. Для 1 < Т ответ совпадает с ответом предыдущей задачи.
Для 1) Т г г г г 2Е 11 сов ", (1 — Т) — сов п=1 где рп и Хп(х) имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче. р„а р„а 2Ео1а~ Х (х) вн' р,1г 162. и(х, 1)— г г г и (вЬРп Ьв11'Рп) Хр а ) и=-1 1 ог11 где р, и Х„(х) имеют тот же смысл, что и в задаче 160.
163. и1х, 1) = г г г .~-оо р„а р„а г г в!и — 1 — —, гйпоЛ 1О1 а Х ВЬрп — 2СЬрпяПрп -'ЕВШр„р Хр г Хп 1х) огЕЗ ~-г Рг вЬг Рп гйпг Р„ п=1 ' р„аг 250 Ответы, указания и решения 5 х хв ЬЦ вЂ” х) с — хв и(х, 0) = ср(х) = 0 < х < хо, хо < х < с, ис]х,О)=ф]х)=0, 0<х<с, (Е, Е]х) = ~= Е 0 < х < хо, Г Р, 0 < т < хо, Р(х) = ~ ., <х<, Ь хо <х<1 (4) Р Р. Е) Е' - — константы.
Частные решения краевой задачи ]1), (2), (4) ищем в виде и]х, 1) = Х(х)ТЯ. ]5) Подставляя (5) в (1), (2) после разделения переменных, получим ТнЯ + ас~Т(4) = О, .0 < 1 < +ос, ]6) (Е]х)Х'(х))'+ св'р(х)Х(х) = О, 0 < х < с, ]7) Х]0) = Х()) = О., Х(хо — 0) = Х]хо+ 0), .]7') ЕХ'(хо — 0) =ЕХ'(хо + 0).
(7н) Из общей теории известно с), что краевая задача ]7'), (7н) имеет бесконечную последовательность собственных частот свс < шз « ° ° ° шп < и соответствующих им собственных функций Х1(х) Х2(х) .. Хсс(с) ортогональных с весом р(х) на отрезке 0 < х < й Решение уравнения (7), удовлетворяюсцее условиям (7'), имеет вид вс вцс — х а вс сйсс — хо а вс сйп = Д вЂ” х) а ]Е при О < х < хо, а = сс —, Р (8) Х(х) = — Е при хо<х<1, а= ш зсп = П вЂ” хо) а Удовлетворяя условию ]7е), получим трансцендентное уравнение оК = хо = — ся й (хо — с) ]9) ,,/ЕР а ~ а ') См. ]7, с. 422, 423].
для определения собственных частот ос„. Полагая в (8) ас = шн, получим собственные функции нашей краевой задачи 251 1"л. 11. Уравнения еиперболичееного гпипа ш яп — х при 0<х<хо, яп — хо а Х„(х) = (10) яп = (1 — х) а при хо<х<Ь ш вш = 0 — хо) а Квадрат нормы собственной функции равен 1 "яп — "х '. вш ="(1 — х) 2 Ш„ , ш„ иХ и2 ~р1х)Х2( ))х — р/' а,1 + — р/ а о о вш2 — ха а ло япв = ~Д вЂ” ха) и рхо + р0 — хо) 2 Шн .,ш 2вш — ао 2япо = (хо — 0 а а -гол и(х, 1) = ~~~ анХн1х) совшн1, а=1 1 Ь 1 Е Е о 165.
и(х, 1) = Х(х) япш1, ш вш — х а ш яп — хо а при 0<х<хо., Х(х) = ш ш =сов=Д вЂ” х) гровш=(х — хо) а а а при хо < х <1. ш ш = сов = Д вЂ” хо) а а ш яп — х а при 0<х<хо, ш„ вш — хо а Х„(х) = ш ш ш„ = сов = (1 — х) -~- Ь вш = 0 — х) а а а при хо<х<), ш ш шн = сов = 0 — хо) + Ьвш = (~ — хо) а а а ш, — — положительные корни трансцендентного уравнения где с— Р==~ Ч= +: Ьа а а 166. и(х, 1) = ~(опсовш„1+ Ь„япш„1)Ха(х), и=1 р(х)р(х)Хи(х) е)х, Ьп =,, р(х)ф(х)Хи(х) е)х, 'ОХ„О2 е ~„~~Х„~~~ ~ о о Гл. 11. Уравнения гиперболического типа корни уравнения Б з) Е Р с$К =" ха — Я Лг(Е Р ФК =" (1 — ха) = Маг„, а а х е1х+, р(х) соя = (1 — х) Йх оР г гы саяг ="(1 — ха), а о Бр аго ог(х) ягп я1п — "ха а 1~Х !Р аго Яр г' 2 гоа — халяв-,„~ор(х) сова = (1 — и) е1х - =.(-*.).~ а а аг„!!Хо !12 2я1пг — "ха 2совг ='(1 — ха) а а 169.
Решением краевой задачи иго =а и,, 0<х <1, 0<1<+ос, и(0, 1) = О, игг(1г 1) = — с ил(1г 1), 0 <1 <+ею, и(х, 0) = гр(х)г иг(х, 0) = 2)г(х), 0 < х <1, где КС 2 КС М ',1 является и(х, 1) = ~(а„соя аЛ„1+ Ь„я1п аЛ„1) я1п Л„х; Л„собственные значения краевой задачи являются корнями авнения ур М с6КЛ„1 = — Л„, (5) а собственные функции Х„(х) = гйп Л„х удовлетворяют условию ортогональностиг) МХт(1)Хи(1) + /,УХоа(х)Хп(х) е)х = О, пг г- и, (6) а Маг(1)Х Я + ~Угр(х)Х (и) г1х а аи— МХ,,(1)+ /УХ2( ) б а ') См, указание к задаче 167.
Яр о Р /~() 2 ягпг — ха ' а Ь (1) (2) (3) 254 Ответы, указания и решения МьсьЯХ„Я -~- ~3~~(х)Х (х) л4х ь о (8) и— с мл.ььь )лх,ь.ь '~.. о Н-1 А ол 170. и(х, 1)— з1п — х в1ллал1. 1 . оь а — сов — 1 -ь сйп — 1 а а Н вЂ” 1 а о=с о ьр(х) = и(хь О), .~о(х)ь .лл(х) функции Бесселя нулевого и первого порядка первого рода, ра — — положительные корни уравнения ,~,(д) = 0. и(х, 1) = ~ (ан сов аЛьь1 + Ьсь з1п аЛо1)зо (сто ~Я 1Улсфл„) ./ о а1Л„з,о(р,) о сл„ю уз(х) = лл(х, О), 4з(х) = ссс(х, О), Ло = 41 а'' р„имеют те же значения, что и в ответе к предыдущей задаче.
ьть. (, ) = Е Ь,нз„, 2„(2 — ь),ь+ о=с +ь,ь ьс Ьь — 1Ь ь]'е —,( — ), где а = ~уоЫ)Р— (-,) л)6 о ь = ь )сьев 1ь)ль, Р (х) = — — ~(х — 1) ~ — полиномы Лежандра, 1 сь о 2" и! л1х" лр(х) = и(х, О), уь(х) = ис(х, О). 255 1оп 11. Уравнения гиперболического типа 2 4. Метод интегральных представлений причем « (х) = — ~ «Л в«Л / «(с)е'Ц*' ~~в«с, (2) т. е.
возможно дифференцирование интеграла по параметру под зна- ком интег ала и Р где г'(х) первообразная для «(х). Решение уравнения г им=а ива, (4) — оо < х < +ос, О < «< +со, можно искать в виде и(х, «) = — «4Л / 11(с, «)е' ~~ Е~г«с. 2ц 1 Подстановка (5) в (4) дает е — дЛ «' ~ + ЯЛ'«1 *да-Е~ Кб=о. 2к,1 ( д«в Для выполнения равенства (6) достаточно, чтобы равенство дг«; +а Л 11=0, д« (5) (6) выполнялось (7) откуда нахоцим Ц(~ «) А(Цеюалв + Вде — «ам (8) где А(с) и В(с) . произвольные функции параметра с. Подстановка полученного выражения в (5) согласно (1) дает известное решение в виде суммы распространяюгцихся волн и(х, «) = 1 ( в«Л 1 (Аде'«Цаво — Е + В(б)е Ц вЂ” ы — «~) в«~ 2я,/ = А(х + а«) + В(х — а«).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
