Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 41
Текст из файла (страница 41)
на Х(х, .Л), вы- читанием результатов и последующим интегрированием по частям. При вычислении интеграла (16) или правой части равенства (18) необходимо воспользоваться граничным условием (6). 218 Ответы, указание и решения является -~-ее и(х, 1) = ~(ан совал„1+ Ьн зппп ал„1) зш(л„х+ Звн), (4) н=1 где Л„собственные значения краевой задачи Х"(х)+Л Х(х) =О, О« 1, (5) Х'(0) — 6зх(0) = О, Х'(1) + 6зх(1) = О, (б) Собственные значения являются корнями уравнения Ле — 6е6з собл1 = а Хн(х) = яп(лнх + ~р„) соответствующие собственные функции, где Л„ ев„= агстк — ".
(8) н— (7) Замечание. Уравнение (7) может быть переписано в виде 8Л„1 = (19) При 6 -+ 0 (свободные концы) из (19) получим 1пп 18 Л„1 = О. ь — ~о Из (14') и (14) найдем 1ш1 ув„= —, 1пп Хн(х) = зш 1 Лнх + — 1, следак — ео 2' ь — ео ~" 2г' вательно, е Хн(х) = соз ~™, и = 0,1,2,... Этот результат был получен непосредственно при решении зада- чи 105. При 6 — ~ оо (концы фиксированы) из (19) получим 1пп 18Л„1=0.
Л вЂ” еее Из (14') и (14) найдем 1пп ув„= О, 1пп яп(лнх-~-ув„) = япл„х. Следовательно, Л„= —, п=1,2,3,..., Х„(х) = яп —. Этот результат был также получен непосредственно при решении за- дачи 97. 112. Решением краевой задачи ии — — ази, 0<х<1, 0<1<+со, и,(0,1) — 61и(0, 1) = О, и,(1, 1) + 6зи(1, 1) = О,. 0 < 1 < +ос, и(х, 0) = Зв(х), ие(х, 0) = ер(х), 0 < х < 1, 219 Рл. В. Уттавненин еипеттболинееноео типа Квадрат нормы собственной функции равен ОХ 8 )'Хз(х)лх ' 1 (Л +" " )(" + "а) (9) ./ " 2 ~( (Л-'„8- Ьтт)(Лт -ь Ьтт) о 113. Решением краевой задачи иге=а и„т 0<х<1, О<1<+ос, 1=2яВ, и(0,1)=и(1,1), их(0,1)=и (1,1), 0<1<+сот и(х, 0) = От(х), ит(х, 0) = фт(х)т 0 < х < Е, (1) (2) (3) является -еж и(х, 1) — ~~ а. 808 + 6 81п со8 + 2ипа1 т .
2япао Л 2тгпх о=о -8 во и-» Г о 2япае „. 2ипа1'г . 2иттх + ло (а СО8 и 1 и +Ь 81п ) 81п —, о=г 2Г 2 .е и 2Г . 2 по ао = — ~тГт(х)сов ' г)х, и = — ~ та(х)81п — г)х, и = 1, 2, 3 О 1/ '' 1: и 1/ о о "о = тто(х) гтх 1,г о 6'„= 1 тГт(х) сов ггя, тига / 'о пяа,/ о в граничные условия Х(0) = Х(1), Х'(0) = Х'(1) и приравнивая нулю определитель полученной системы уравнений относительно А и В, найдем трансцендентное уравнение для определения собственных значений.
Собственными значениями оказываются 2ип Л„ = , причем подстановка в уравнения для определения А и В и значения Л„обращает эти уравнения в тождества при любых А и В. Следовательно, каждому собственному значению Ло соответствуют ДВЕ ЛИНЕЙНО НЕЗаВИСИМЫЕ СОбСтВЕННЫЕ ФУНКЦИИ СООЛпХ И 8ШЛаХ; 2нп так как Л„= —, то все собственные функции ортогональны на от- о Указание. ПодставляяобщеерешениеХ(х) = АсозЛх+ВвшЛх уРавнения Х" (х) + Л'Х( ) = О 220 Ответы, указания и решении (см.
[7, с. 28)). Выражая энергию полного колебания струны е .(, 1) = ~~ П„(х, 1) = ~ Т„(1)Хн( ), н.=л о.=.л где Х„(х) собственные функции соответствующей краевой зада- чи, используя ортоногональность собственных функций, а также гра- ничные условия, нетрудно показать, что в случае граничных условий первого, второго и третьего рода Е(1) = ~~~ Е„(1), а=1 где в случае граничных условий первого и второго рода Ен(1) = -'~(тои„',(х, 1)+ ри„',(х, 1)) е, о а.в случае граничных условий третьего рода 1 Е„(1) = - / (ТоЮ~,. (х, 1) + р(7~ (я, 1) ) лЬ -|- — Я~(1, 1) + 1лз(0, 1) ) . о 115. Решениями краевых задач исс+а и„„=О, 0<х<1, 0<1<+ос, м(х, 0) = ул(х), нл(х, 0) = лр(х), 0 < 1 < +со, и(0, 1) = и(1, 1) = и„(0, 1) = иее(1, 1) = О, 0 < 1 < +ею, п(0, 1) = и(1,, 1) = лл (О, 1) = ие(1, 1) = О,.
0 < 1 < +оо, (1) (2) (За) (Зб) Ч Юртогональность собственных функций, соответствующих различным собственным значениям, вытекает из обшей теории, а ортогонвльность 2ппх 2ипх соз — и вллл — иа отрезке 0 < х < 1 проверяется непосредственным вычислением интеграла. резке 0 < и < 1 ').
В случае, когда одному и тому же собственному значению соответствуют и линейно независимых собственных функций, это собственное значение называется й-кратным. Таким образом все собственные значения рассматриваемой задачи двукратны. 114. Указание. Полная энергия струны 0 < х <1 в случае граничных условий третьего рода и,(0, 1) — лли(0, 1) = О, и (1, 1) + + йп(1, 1) = 0 выражается следуклщим образом (проверьте это): Е(1) = — ~(Тоно(х, 1) + рллз(е, 1)уев+ ™ (нз(1. 1) + ллз(0, 1)). о В случае граничных условий первого и второго рода Е(1) = — ~(Талл (х, 1) + ри, (я, 1) ) л1х 221 !"л.
Н. Уравнения еиперболичееиого типа и,,(0, !) = и,, (1, !) = и и,(0, !) = и,л(1, !) = О, О < ! < +со (Зв) соответственно являются: п"яоа! . г) я~а! ) . иях .) (*, Е = е,' ( . , г г. в , ) ° — ', ... и=-1 2 г . кпе 2! г . пяе а„= -у! (р(г) зш — г!х, !)„=, ~ г(г(я) яш — г!з, азиза о о и = 1, 2, 3, б) и(х, !) = ~~) ((аисоваЛ~!+ Ьиз1паЛз!)Х (х), где п=1 Х„(х) = (зЬЛ„! — зшЛ„!)(СЬЛ„х — созЛих)— — (сЬ Л„! — соз Л„!) (зЬ Л„х — з1п Л„х), а Л„являются неотрицательными корнями уравнения сЬ Л! соз Л! = 1, в) и(х, !) = ~~) (а„сояаЛз!+ Ь, зшаЛ~!)Хи(х), где п=-1 Хи(х) = (зЬЛ„! — я)ПЛ„!)(СЬЛих+созЛих)— — (сЬ Ло ! — сов Ли!) (вЬ Л, х + зш Л, х), а Л„являются неотрицательными корнями трансцендентного уравнения сЬ Л! соз Л! = 1.
Лл„— Л'„' откуда непосредственно следует равенство /Х (х)Хи(х) г!х = О, в ггг ф п, при граничных условиях (За), (Зб), (Зв) или получающихся комбинированием (За) на одном конце и (Зб) на другом и т.д. 2) Для вычисления квадрата нормы собственной функции Хи(х) можно поступать аналогично тому, как это было сделано в указании к задаче 111; тогда получится следующая формула') (аналогичная г) Смл Нрвтов А.Н. Собрание трудов. Т. Н1, ч. 2. — Мл Изд. АН СССР, 1949. --.
С. 202-203. 3 а м е ч а н и е. 1) Ортогональность собственных функций устанавливается следующим образом. Умножая уравнение Хо'(х) — Л4 Хи(х) = = 0 на Х„,(х), а уравнение Х"'(х) — Л~ Х (х) = 0 на Хи(х), вычитая результаты и интегрируя по частям, получим ('Х (х)Х„(х) дх = о (Хо (х)Хо(х) Хо (х)Х г(х) Хто(х)Хв(х) ( Х((х) Хо(х)) / 222 Отвесам, указания и решения формуле 118) решения задачи 11Ц: /Хг1т) Ит = — (Хг(1) — 2Хн'11)Х„'11) + Хнг(1)), в откуда в случае 1Зб) /Хг( ) 1 1Хаг~1) а и в случае 13в) /Хг(я) е1т — 1Х2(1) е 116.
Если колебания стержня вызваны ударным импульсом 1 в точке т = яе, то в ответе предыдущей задачи будем иметь: 2П . инге а) аа =О, 5„= игягар 41Х (яв) ЛгхгД1 2. Свободные колебания в среде с сопротивлением. Если колебания струны или продольные колебания стержня происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, то уравнение колебаний имеет вид ~) ии — — игия — 2ним и ) О, (1) а граничные условия записываготся так же, как и в случае колебаний в среде без сопротивления. Записывая граничные условия в виде агиа10, 1) +Яи(0, 1) = О, 0 < 1 < +ос, (2) агия11,.
1) + 1зги1), 1) = О, 0 < 1 < +со, 12') мы учтем возможность граничных условий первого, второго и третьего рода. Пусть заданы также начальные условия и(т, 0) = 1а(и), ие(я, 0) = 1а1я). 13) Разделяя переменные, приходим к такой же краевой задаче Х"(т) + Л'Х(я) = О, О < т < Е 14) агХ'10) + ДХ10) = О, (5) агХ'(1) + РгХ(1) = 0 15') для определения собственных чисел, как и в случае, когда колебания происходят в среде без сопротивления. Пусть Ла и Х„1т) собственные значения и собственные функции задачи 14), 15), 15'). Для определения Тв Я получим дифференциальное уравнение Тн11) + 2рТ„'11) + а Лг Т Я 0 16) ') См.
задачу 15. 223 Тл. 78 Ураененин гиперболинееного типа отличающееся членом 2иТ„'Я от соответствующего уравнения в слу- чае колебаний в среде без сопротивления. Его общее решение имеет вид Т„Я = (а„сЬи!„1+ Ьа я1зигаг)е иг > агЛг„(7) иг — ахЛг, ТиЯ = (а„созе!„1+ Ь„в!пег„г)е иг < а Лг, (7') азЛг — иг ТиЯ = (а„+ Ьпц)е ", и = аЛ„. (7о) Решение же краевой задачи (1), (2), (2'), (3) имеет вид -!-оо и(х, 1) = ~','ГпЯХп(х) (8) п=! и = аЛн юа = 1 при г-оо 117.
и(х, 1) = ~ ~—,яп яп ' О„Я, где 21 Ье "' 1 . пггхо . пгх 7ггхо(1 — хо) пг и=! а и я иг„= иг— 1г О„Я = с1гигпг+ — э1гиг„1, о!г, пгга <и, ОиЯ = 1+ и1, " ' = и, огп — и г а и гг О„Я = сов агп1+ — зшиги$, ег пгга > и. 118. и(х, 1) = — вш яп Ои(1), где 21е г 1 . пяхо, пях 1р ы п=.г ОЯ=1 при =и, О„Я = совюи1, юг, = — иг пРи > !' 1г Пегко видеть, что в каждом из случаев (7), (7') и (7н). Коэффициенты аи и Ьа определяются через начальные условия следующим образом: ! а„= 1гр(х)Хп(х) дх, Ь„юп — иа„= ! г(г(х)Х (х) е(х, (9) ((х )( ((х с причем 224 Ответы, указания и решении -т го 119 итх «) = ~~~ от ~ г 1) «~и+1)кх 0 т«) где 0 т«) тгз 2а+ 1 2 2« п=о имеет такие же значения, как в ответе к задаче 117. -~-гю 120.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
