Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 43
Текст из файла (страница 43)
пнх пнаг и(х, 1) = уг(х) — —, у —,вш — вш — сов —, (4) - Гвх' ) в=1 где р(х) = Кв И вЂ” *в) х, 0<х<хо, тв~ Кохо — (1 — х); хе <х <1. Тв1 Замечания к решениям задач 133 — 143. 1) Если неоднородное дифференциальное уравнение имеет вид г г ди ии —— а илл + с и+ Ь вЂ” + Ф(х) вшшг дх авг — — а а„+ с и+ Ь вЂ” + Ф(х) сов ш1, г, г ди д* то его частное решение можно искать в виде ) ш(х, 1) = Х(х) в1пвг8 или или соответственно в виде т(х., 1) = Х(х) сов оЛ.
1) См, также решение задачи 133, где это положение уточняется. Указание. Стационарное решение уравнения (1) имеет вид ш(х) = Сзх+ Сг, причем константы Сг и Сг определяются по-разному на интервалах 0<х<хе и хе<х<й Их значения С', Сг, С", Сг на первом и втором интервалах находятся из условий (2). 232 Ответы, указания и решения Когда одна из собственных частот струны совпадает с частотой ев вынуждающей силы Ф(х) з1пввС или Ф(х) созевС, то при Ь = 0 может наступить явление резонанса, при котором амплитуда колебаний с частотой вынуждающей силы возрастает неограниченно пропорционально времени.
2) Если же неоднородное дифференциальное уравнение содержит член — 2иие, т. е. имеет вид дн ди им = а нее -~- Ь вЂ” + сп — 2и — + Ф(х) зш евС дг. дС (6) либо вид вм = а и, + Ь вЂ” — 2 и ив + сн + Ф(х) соз евС, ди (7) дх т. е. колебания происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, то частное решение указанного вида уже не существует.
В этом случае целесообразно перейти к комплексному представлению вынуждающего члена; точнее, можно искать частное решение уравнения ССее = а ССхя + Ьбе* — 2иСС, + сСС + Ф(х)е'ы' СС(х, С) = Х(х)е' '. (8) Пействительная часть (8) будет частным решением уравнения (7), а мнимая часть частным решением уравнения (6). Если частное решение (8) удовлетворяет граничным условиям за- дачи, то оно представляет собой вынужденные колебания, составля- ющие главную часть решения краевой задачи при С вЂ” в +со, так как вынужденные колебания с другими частотами и собственные коле- бания, возникшие за счет начальных отклонений и скоростей, будут затухать. 133.
Решение краевой задачи им=а и,,+ — зшыС, 0<х<С, 0<С<+со, (1) 2 Ф(х) Р и(О,С)=п(С,С)=0, 0<С<+ос, (2) и(х, 0) = ив(х, 0) = О, 0 < х < С, (3) сводится к решению задачи о свободных колебаниях струны с фикси- рованными концами при заданных начальных условиях, если известно какое-либо частное решение неоднородного уравнения (1), удовлетво- ряющее граничным условиям (2) (см. введение к настоящему пункту).
Остановимся поэтому на разыскании частного решения уравне- ния (1),. удовлетворяющего граничным условиям (2). пха а) Пусть еи ~, п = 1, 2, 3, ... Будем искать частное решение в виде СС(х, С) = Х(х) з1певС. (4) Подстановка (4) в (1) и (2) дает Х + — „Х= —, 0<х<С, оР Ф(х) аз Тв Х(0) = Х11) = О, 233 Рл. Л. Уггавиепин еиперболииееиоео типа откуда находим — с) К я1п — 1 а — / Ф(С) яш — (х — Е) ггС, (7) огуо о а о хц,) = ~ ' ггФ(г). ° '-о о — — ~ Ф(я) яш еЬ = О. 1 г . попе т,~ п о гг х бг) Лопустим сначала, что Ф(х) и яш ' ' ортогональны на отрезке 0 < х < 1.
Тогда общее решение уравнения (5) имеет вид а г . ог ог ог Х(х) = — ( Ф(г) яш — (х — г) г4е + Сг я1п — х + Сз соя — х. т,.) а а о Из граничного условия Х(0) = 0 находим Сз = О. Так как — = а погг, го , то я1п — х обращается в нуль на концах отрезка 0 < х < 1г а поэтому константу Сг можно брать какой угодно. Легко видеть, что в этом случае выражение Х(х) = — / Ф(я) яш — (х — я) еЬ (8) вгTо/ а о является решением уравнения (5), удовлетворяющим граничным условиям (6). попа бз) Остановится теперь на случае, когда иг = —, а Ф(х) и я1п не ортогональны на отрезке 0 < х < Л В этом случае частное решение краевой задачи (1), (2) уже нельзя искать в виде (4).
Положим Ф(х) + 1, поих (О) где (10) т о поггх Функция Ф(х) уже ортогональна гйп — на отрезке 0 < х < 1. где То . натяжение струны. б) Пусть ы = В этом случае частное решение краевой задачи (1) и (2) можно поих искать в виде (4) лишь при условии, что Ф(х) и яш ортогоняльны на отрезке 0 < х < й Лействительно, умножая обе части уравнения (5) поггх на яш и интегрируя по частям с использованием граничных условий (6), получим 234 Ответы, указания и решения игг = а и„— — ф(х) вшогу+ — А„„вш япагй (1 ) 2 То . То . поггх Сумма частных решений и(х, г) и ю(х, 1) уравнений То . по ох игг = а их, + — А„, яп япагу, (1н) гоге —— а шхе — — ф(х) вш~Л, г То Р (1го) удовлетворяющих граничным условиям (2), будет частным решением уравнения (1) г удовлетворяющим граничным условиям (2).
поггх То Так как яп — и — — уг(х) ортогональны на отрезке О < х < 1, Р то согласно (8) ю(х, 1) = — ) угг,х) яп — (х — х) Йя вшагв 1 ог/ а о будет частным решением уравнения (1т), удовлетворяющим граничным условиям (2). Если теперь искать частное решение уравнения (1о) в виде и(х, 1) = ТЯяп (12) то граничные условия (2) будут удовлетворяться при любом Т(1) . Поди пока ставляя (12) в (1') и принимая во внимание равенство ы = получим уравнение Тнгг) + аЯТЯ = —" А„, яп огй (13) Р Его частное решение, как это известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, имеет вид ТЯ = г(Асеев+ Ввшагв). (14) Поэтому Т1г) = — "' осовев ТоА„о 2огр (16) и (17) Теперь уравнение (1) можно переписать в виде Подстановка (14) в (13) дает А "'4 В О 2огр иг(х, г) = — "' г сов огу вш ТоА о .
поггх 2огр погга Таким образолг, если ы = и функции Ф(х) ортогональны на отрезке О < х < 1, то частное решение поггх ивш не уравнения (1), 235 1"л. 11. Ураенения енперболнчееноео типа удовлетворяющее граничным условиям (2), имеет вид с1(хг 1) = — ~ф(г) яш — (х — а) г1г ьзп~Л— ( го,/ а 2огр является; а) при ог ф —, и = 1г 2, 3, 2Фо и(х1) =, а вш хгР ~ягп~~ 2а а вш — х вгп аг1 + г 2а Его пггх . пз ая + ~ Ь„вш нйп п=г ггЛ . г ог . птх я|п — — яш — г вш — г(х; 2а 2а где ог 4Ф пота бг) при ог =, где гго четые, 2Фо .
г ог г с ~ . птх . пгга1 и(х., 1) = —, вш — хязпаг1+ лз 6„згп вгп хор 2а 2 ° о=:Г где 4Фо Г. гог . пгге 6„= ~ яйп — аяш — сЬ; ггтарог 2а г о пота бг) при ог = —, по нечетно, и(х, 1) = у Фо . г го 4аФо г . поте . пот(х — х) — яш — х+ ~ язп я|п сЬ вшоЛ+ ого р 2а потгоуо1 о по гх 2Фо яш пег х . п гга1 + гсояог1+ ~ 6„язп яйп —, по7™р и=-1 где В этом случае наступает явление резонанса: амплитуда колебаний с частотой вынуждающей силы возрастает неограниченно пропорционально времени. 134.
Решением краевой задачи игг = а и х+ — яшыз, 0 < х <1, г 4'о е Р и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < и(х,О)=иг(т.О)=0, 0<х 236 Ответы, указания и решения с 2 г" 2Ф . з ш 4аФо Г . поп« . поп1х — «) а 6„= ~ — — яп ~ вш яп сЬ+ пяа I шр 2а по«То,l 2Фо . нояб \ . пяб + вш гяп с14, по« ~р является: а)приш~, п=1,2,3,4, (4) яп — х -~-со пггх . пяаг ш вггг о«~ + ~ йо вггг яп — 1 а ш вгп — « яп сЬ, п=1,2,3, вш а и(х, С) = А <6) где 2Аш Л, пяа (6) погга б) при ог =— Аш С С * . пгг«1, поп(х — «) а~ по г4«яп оМ— о -~-оо АА*„, пол х пах, пяаг 21 — "" 1совш1 вш + ~ йп вгп яп, (8) о,=г где Бо = — ~ 'сгг(«, 0) вш с1«, А„*, = ~ «яп сЬ, 2 С е пя« „Г . пог㫠— па/ ~ г оо — / о о бг(«, 1) сумма первых двух члонов в правой части равенства (8).
Указание. 1) При ог ф, и. = 1, 2, 3,..., частное решение краевой задачи (1), (2) ищем в виде б'(хг 1) = Х(х) вшоЛ и решение задачи (1), (2), (3) представляем в виде и(х, 1) = и(хг 1) + сг'(х, 1). «го гга 2) При о« = — полезно освободиться от неоднородности в граничном условии, переведя ее в уравнение. Лля этого находим стационарное решение уо(х) уравнения (1) г удовлетворяющее граничным условиям уо(0) = О, гр(1) = А, затем решение краевой задачи (1), (2)г (3) ищем в виде и1х, с) = гг(х, 1) + уг(х) вш ~Л а Т~ натяжение струны. В этом случае наступает явление резонанса: амплитуда колеба- ний с частотой вынуждающей силы аг возрастает неограниченно про- порционально й 135.
Решением краевой задачи иге=а и«., 0<х<1, 0<1<+ос, и(0., 1) = О, и(Е, Е) = А вш агС, 0 < 1 < +со, и(х, 0) = гсс(х, 0) = О, 0 < х < 1,. 237 1'л. йй Уравнения еиперболичеепого типа 136. Решением краевой задачи иге=а и,„, 0<х<1, 0<1<+ос, и(0, 1) = О, и,(1, 1) = — ягп ог1, 0 < 1 < +со, А ЕЯ и(х, 0) = О, иг(х, 0) = О, (1) (2) (3) о=-О где г,4 11(х, 1) = —, " я1паг1, ~~го соя — 1 а Ь„= — / (Сг(в, 0) сйп е(в; 4 С . (2п 4- Цггн (2п 4- Цг а,/ о (2по -~- Цяа 6) при аг = 21 1) гс( 1) + ~~-' Ь . (2п+ Цях . (2п+ Цяае (3) 21 21 п=о гсе по где о(*,г)= — ( 1( — А"„ю ' ) о (2гго + Ця(х — е) ) .
АА*„, . (2а+ Цггх х яш г)х в1паг1 — "' 1 соя аг1 я1п Ь„= — / Ц,(х, 0)ягп с(х, 4 С, (2пйЦян (2п+ Цяа,/ 21 о с' . (2по+ Цпе „ А;, = / х яш г)х. о Указание. См, указание к предыдугцей задаче. 137. Решением краевой задачи игг = а и„-~-шз(х-1-и) +дяшагв, 0 < х < 1, 0 < 1 < +ос, (1) и(0, 1) = ин(1, 1) = О, О < 1 < +ос, (2) и(х, О) = иг(х, О) = О, О < х < 1, (3) является: (4) и(х 1) (С(х 1) + ~ Ь я. (2п 4 Цнх . (2п 4 Цпаг (й) 238 Ответы, указания и решения является а(х, 1) = и(х) +ш(х, 2) + с71х, г), где и(х) = ~~соьУ,1 — 4)еК вЂ” й~~зпзЫх — 9еК, сов ~ — Н вЂ” х) зГ2~ -(*, ) = (.) .- = ', сов ( — 1зГ2) о=о 1 (2п-~- Ц и а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
