Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 39
Текст из файла (страница 39)
решение будет иметь вид и(х, с) =|р(аС вЂ” х)+ср(Ш+х), — <1< —. Х 2С (О) а а Гл. И. ,Уравнения еиперболинееного типа 203 где 1о момент окончания акта соударения, а(х,О)=0, 0<х<(, (3) ( 0)=У ' ) — ио, х=й Момент окончания акта соударения определяется так же, как и в пре- дыдущей задаче. Решение кРаевой задачи (1), (2), (2'), (3), .(3') имеет вид и(х, 1) = д(а1 — х) + ~р(а4+ х), (4) где ~р(я) определяется следующим образом: р'(е)=0, — 1<я<1, р(е)=0, — 1<я<1, ~ро(я) + — ~р'(я) = -~ро(г — 21) + — 1о'(я — 2Ц, а1 а1 М где а = — --- отношение массы груза к массе стержня.
рЯ Сначала с помощью дифференциального уравнения (7) определя- ется р'(я) послецовательно на интервалах 1 < я < 31, 31 < я < 51 и (3') (б) (б) 1 < е < +со, (7) ил(1, 1) различные выражения на интервалах 0 <1« —, — 1< —, ..., 2а — < г < (2п+2) —, ... (11) 21 21 41 а а а а а 21 Акт соударения не может закончиться при 0 < 1 < —, так как при а этих значениях 1 будет ии(1, 1) < О. Для того чтобы акт соударения закончился в момент г,принад- 21 41 лежащий интервалу — < 1 < —, необходимо и достаточно, чтобы выа а полнялось неравенство — 2/о 2+с е <— т. е. а < 1, 73.
Примечание. Так как реальные поверхности могут обладать неровностями, то для приложимости этого решения к реальным слу- чаям удара необходимо, чтобы время, в течение которого достигает- ся плотное соприкосновение торца ударяющего груза со свободным торцом стержня, было пренебрежимо мало по сравнению со временем пробега волны возмущения по стержню. 11еформации, возникающие в грузе, должны быть пренебрежимо малы по сравнению с деформа- циями в стержне. 88. В течение акта соударения для продольных смещений и(х, 1) точек стержня имеем краевую задачу ии — — а и,, 0<х<+со, 0<1<+со, и, (О, 1) = О, .О < 1 < +ос, Миее(1, 1) = — Е$и,(1, 1), 0 < 1 < 1о, 204 Ответы, указания и решения т.д.
с учетом начального условия (3') и непрерывности ил(), О <1<+ос; й е-1 -Од л> 1 «, 31 а ул'(г) = — — ое 1л лН1ал1+ —" ~1 — — (г — 31)~ е 1 злН1ал1 31 < а а ~ а1 1) при (5') г < 51, (5а) Затем интегрированием уг'(г) с учетом непрерывности при 1 > 0 получается выражение для ул1з) на этих интегралах; Ог(з) = — [1 — е 1е Од О),. 1< г < ЗЕ (6') а 89.
Решение краевой задачи л) и(0,1)=0, 0<1<+со, МллллН, 2) = — ЕЯлл,,(1,1), 0 <1 < уо, момент окончания акта соударения, и(х,О)=0, 0<х<1, ( О, 0 <х<1, ил(х, 0) = 1 — х=1, (2) 12') где уо (3) (3') имеет вид и(х, 1) = з (ае — х) — р1ал -ь х) Функция уз(х) определяется следующим образом: уг1г) = О, — 1 < г < 1,. 14) (5) елуа(г) + лр'1г) + = оузи(г — 21)— — ул'(г — 21) -~-, 1 < г < +со, (6) ул(е — 21) Н вЂ” 1 ') См. задачу 21.
Ма где о = С помощью этого дифференциального уравнения, начального условия (3') и условий непрерывности ил(1, 1) при 0 < 1 < +со и непрерывности и11, л) при 0 < 1 < +со функция определяется последовательно на интервалах 1 < г < 31, 31 < г < 51 и т. д. лн- — 0 лы — лл уг(г) = — '1Н вЂ” 1), 1 < г < 31, (5') и т.д., где Лл и Лг — — корни уравнения Лг+ Л+ 1 а о(,Н вЂ” 1) 206 Отвесны, указания и решения Таким образом, -~-ое р(0, 1) = Л~р(г) + 2Л ~ ~( — 1) "р (1 — Лв ) . иг,( — 1, .1) = О, иг(0, е) = иг(0, 1), .иш(0, 1) = иг,(0, 1), иг (Р,г)=0, 0<е <+со~), (2) и1(х, 0) = О, иге(х, 0) = ом — 7 < х < О,) иг(х, 0) = О, иге(х, 0) = пг, 0 < х < й Решение краевой задачи (1), (2), (3) ищем в виде и,(х, е) = ~р1(х — ае)+66(х-~-аг), иг(х, 1) = уг(х — а1)+фг(х+а1)44) Подставляя (4) в (2) и (3), получим ~р ( — 1 — ае)+ф ( — 1+а$) =О, р~(1 — аг)+фгН+аг) = О, 0 <1<+со, (5) гг1 ( а ) + 1е1(ай) ~рг( а") + Ф2М) уг( — аг) + ф~(аг) = ~рг( — а1) + ерг(аг), 0 < г < +ос, уг(х) + ерг(х) = О, -1 < х < О,.
Фг(х) + Ф~(х) = —, — 1 < х < О, а' рг(х) + ~г(х) = О, О « 1, — зг,'(х) + г)г,'(х) = =', 0 < х < й а' Из соотношений (7)-(10) находим Фг(г) = 'Ф~(г) = — -1 < г < О, 2а' -~г() =М,'( ) = —,"', О«й Соотношения (5), (6) дают г ( ~ г ) ч г ( 1 + г ) (13) (6) (7) (8) (9) (10) 1) Часть из граничных условий (2) выполняется только прн 0 < 1 < ге, где Ге -- момент конца акта соударения. н.=1 93.
Р е ш е н и е. Началом акта соударения является момент, когда левый стержень достигает правого; этот момент принимаем за е = О, а точку, в которой в этот момент находятся соприкасшощиеся тор- цы, принимаем за х = О. Концом акта соударсния называют момент, начиная с которого скорость ударяющегося торца становится меньше скорости ударяемого торца.
Обозначим через иг (х, 1) и иг(х, 2) смещения поперечных сечений ударяющего и ударяемого стержней. Тогда и1(х, г) и иг(х, 1) являют- ся решениями краевой задачи (в течение акта соударения). име=аи1,е, — 7<х<0, г 0<1<+ос, игм — — а из~~, О < х <1, 207 Рл. 1й Уравнения еиперболичееноео типа ф2(1+2) вог(1 2)~ (14) Фг( 2) = оог( 2) (15) Ф1(2) = Ф2(2), (16) ИЗ СООтНОШЕНИй (13)-.(16) СпсцуЕт, ЧтО фуНКцИИ уг~(2), уЭ((г), угг(2), ф~г(2) являются периодическими с периодом 41: поэтому каждую из них достаточно определить на интервале 0 < 2 < 41; дальнейшее построение осуществляется периодическим продолжением.
Такое определение функций во' (2), 4е'(2), во~(2), фг(2) с помощью соотношений (11) — (16) дает для них значения, изображенные графически на рис. 26. Рис. 26 Используя найденные функции у2~(2), гр'(2), у~г(г), 1ог(2), находим выражение для иц(Х, С), игв(Х, в), иш(Х, 4), иге(Х, в). 208 Ответы, уиаваиия и решение Рис. 27 На рис.
27 изображено графически распределение скоростей и на- 31 21 пряжений для моментов времени 1 = О, .2 = —, 1 = —, 1 = —, 2 = —. 2а' а' 2а' а 94. Решение краевой задачи ищем в виде и(х, е) = ио(х) + и М, е), (4) — +Ь вЂ” +Ле=О, 0<х<1, 0<1<+ос, ди де дх де — +С вЂ” +Си=О, СВ=СЕ, дх дс и(0, У) = Е, и(С, 2) = О, О < й <+ос, и(х, О) = О, е(х, О) = О, О < х < С, (1') (2) (8) 209 Рл. !Е Уравнения гиперболического типа и начальных условиях и*(х, 0) = -ио(х), Мы получаем ) (3') 4'(х, 0) = — го(х). , вЬ и'СЛ(1 — х) (5) зй игСЙ1 С сЬ ~IСЛ(1 — х) '1( Б Ь 'СЛ1 и*(х, 1) = е 1 [во(х — а1) + ф(х+ а1)~, (б) г'(х, 1) = е С з — [~р(х — а1) — зр(х + а1)~, 'у Ь р(х)= () (), ф(х)=~( ()., 0<х<1, (7) 2 ' 2 ~(х) = — ио(х), Е(х) = — 1( — зо(х), 0 < х < 1, (8) /7,.
~(с с помощью граничных условий (2') функции Дх) и Е(х) продолжаются, как четная и нечетная функции с периодом 21. При 1, удовлетворяющом неравенству 1 > — 1п (10[1+ 1Ь ~ВИСЛ(1 — х)~) ,. будет выполняться соотношение !г*(х., 1)/ < О, 11о(х), (10) т. е. сила. тока в точке х провода будет отличаться от своего продольного значения при 1 — ~ оо заведомо но более чем на 10 К. 95.
Решение краевой задачи (5') (б') (9) ди дг — + Л вЂ” + Лз = О, дх д1 — + С вЂ” + Си = О, дх де О«. 1, 0<1<+ СЛ = СА, (1') (2) (3) и(0,1) =Е, 1(1,1) =О, 0<1<+ос, и(х, 0) = О, 4(х., 0) = О, 0 < х < 1,. имеет вид и(х, 1) = ио(х) + и'(х, 1), 1(х, 1) = 1о(х) + г*(х, .1), (4) 1) См, решение задачи 72. 14 Б.М. Булак и др. э(х, 1) = 1о(х) + 1*(х, 1), (4') где ио(х) и 4о(х) стационарное решение системы (1), (1'), удовлетворяющее граничным условиям (2), которое служит пределом для решения (4), (4') краевой задачи (1), (1'), (2), (3) при 1 — з +со, а и*(х, 1) и 4*(х, 1) -- решение системы (1), (1') при граничных услои*(0, 1) = О, и'(1, 1) = 0 (2') 210 Ответы, указания и решения (9) 2в(! — сн( — ~ — — 0() ( е«е", ',Т вЂ” 2Е ехр( — ве( — — 1) ) + 2Е(1 — 2зе ( —, — 2) ) х х ехр( — ве( — — 3) ) при 3Т < 1 < 5Т, и(1, 1) = 1С и т.д., х= —: Св' где ив(х) и 1е(х) — стационарное решение системы (1), (1'), удовлетворяющее граничным условиям (2), ~ъ'СЛ~Р— *) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
