Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Уравнения (1') и (1и) получаются из уравнений (1) исключением соответственно функций 1(х, 1) и о(х, 1). Граничные условия (2') и (2и) получаются из граничных условий (2) с помощью уравнений (1). Начальные условия (3') и (Зн) получаются из начальных условий (3) с помощью уравнений (1). 42.
В качестве координаты х точки на проводе взято ее расстояние вдоль провода от конца, заземленного через сосредоточенную са- (1) моиндукциго Ьв . Яля определения о(х, 1) и 1(х, 1) получаем краевую задачу оя+Иг — — О, ге+ Сог =0 при 0 < х <1, 0 <1<+со, (1) — о(0, 1) = Ьс 1г(0, 1), о(1, 1) — Егв) = 1в ~гг11, 1) при О <1 <+оо, (2) о1х, 0) = г1х), 11х, 0) = гргх) при 0 < х < 1 (3) или он=а гг,я при 0<х<1, 0<1<+со, Ье о (О, 1) — йо10, 1) = О, Ьв о,(1, 1) + Ьо(1, 1) = ЕЕг1) при 0<1<+ос, (2) гг(х, 0) = Дх), ог(х,О) = — — уг'(х) при 0 < х <1, (3') ггг=азг при 0<х<1, 0<1<+со, (1в) СЕв ггг(0, 1) = г',,(О, 1), СЕв ~ггф, 1) +1я(1, 1) = — СЕ'(1) при 0 < 1 < +со, (2в) 1(х, 0) = гр(х), 1г(х,О) = — — 1'(х) при 0 < х < 1.
(Зн) Ь Указание. См, указание к задаче 41. 43. В качестве координаты х точки на проводе взято расстояние вдоль провода от одного из концов провода до этой точки. Для определения о(х, 1) и г1х, 1) получаем краевую задачу Ое +Егг+Лг=О, г,-ьСог+Со=О при 0 <х<1, 0<1<+со, (1) — о(0., 1) = Лв 1(0, 1), о(1, 1) = Лв 1(1, 1) при 0 < 1 < +ос, (2) о(х, 0) = 1(х), 11х, 0) = гр1х) при 0 < х <1 13) или о. „. = СЕогг+(СЛ+СЬ)ог+СЛо при 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, (1') оя(0, .1) —, ог(0, 1) —, гг(0, 1) = О, при 0 < 1 < +со, (2') (1,1)+ ~ (1,1)+ Л (1,1) =О рл.
!й уравнения еипегвболииееиоео типа ! о(х, 0) = ((т), ог(т, 0) = ' при 0 < х < 1 (3') и г„= Савве+(СЛ+С1)гг-~-СЛг при 0 < х < 1, 0 < М <+со, (1и) г. (О, 1) — СЯ,',"г,(0, г) — СЛабг(0, Е) = 0,1 при 0 <1 <+ею, (2") га(' г) + СЛо гг(" 1) + СЛа г() 1) — 0 г ! г(х, 0) = вг(х), гг(х, .0) = ~ при 0 < х < Е. (Зи) 44. Система координат выбрана так же, как в предыдущей задаче.
Для определения о(х, 1) и г(х, 1) получаем краевую задачу о +Иг+Лг=О, г,+Сог+Со=О при 0<х<1, 0<1<+ос, (1) — о(0, А) = 1,„"г',(О, г) + Лв" г'(О, г), 1 при О <1 <+оо, (2) о(1 г) = ~'о гг(1: г) + Ла г(' г) о(х., 0) = г(х), г(х, 0) = ~е(х) прн 0 < х < й (3) Для определения о(х, 1) при выполнении условий Ла Ь вЂ” Лй % % = 0 и Ло Ь вЂ” ЛЬе — — 0 получаем краевую задачу сгг 00 о„= С1 огг + (СЛ+ СЕ,)ог + СЛо при 0 < х < 1, 0 < 1 < +ею, (1') Евое(ОО)1о(01)01 при 0 < 8 < +со, (2 ) 1,с"'он (г, 1) + 1 (1, 1) = О ) о(х, 0) = Дх), га(х, 0) = при 0 < х < Х. (3') С 45.
Начало координат 0 помещено в месте соединения полуограниченных проводов. В качестве координаты х точки на проводе принимается расстояние вдоль провода от начала координат О до этой точки. Нля определения о(х, 1) и г(х, 1) получаем краевую задачу огн+1гггг+Лггг =О, ггл+Сгом+Сгог =0 при — сю < х < О, 0 < 1 < +со, оге + Тг'гси + Лагг = О, ггл + Сгогг + Сгог = 0 при 0<х <+ос, 0<1<+ос, гг(0, г) = гг(0, г), 1 . 1 при 0<1<+ос огг (О~ в) — огг(0., г) = — гг (О. г) = — гг(0, г) ! Св ' Св ог(х, 0) = Х(х), гг(т, .0) = ггг(х) при — сю < х < О, ог(х, 0) = 1(х), гг(х, 0) = ср(х) при 0 < х < +со. 168 Ответы, указания и решения Для определения силы тока в предположении,. что Сс = Сг = О, получаем краевую задачу ссс с — Сс.е сссы + СсЛсссс при оо < х < 0 0 < 1 < +со сгея = Сгс гсгсс+ СгЛгсьт при 0 < х < +со, 0 < 1 <+ос, сс(0, 1) = сг(0, 1), — сс,(0., С) — — сг,(0, 1) = — сс(0, 1) 1 1 .
1 Сс ' Сг ' Со при 0<1<+ос, сс(х, 0) = сР(х), ссс(х, 0) = 'т ) пРи — оо < х < О, 1 сг(х, 0) = срсх), сгс(х, 0) = — Лг'рсх) — Г'сх) при 0 < х < +со. Ьг 46. Система координат и дифференциальные уравнения такие же, как в задаче 4ое. Условия же сопряжения имеют вид сс(0, 1) = сг(0, 1), иг(0, 1) — ис(0, 1) = Лосс ссО, 1) = ЛосгссО, 1) при 0 < 1 < +со и, если утечка существует, сс(0, 1) = сг(0, 1), — сс~(0, 1) — — сге(0, 1) = ЛоссссО, 1).
1 . 1 47. Система координат выбрана, как обычно. Для определения и(х, 1) и с(х, 1) получаем краевую задачу ис(0, С) и(0, С) . сО Р бо Сомы(1 1) + оп = сс(1: 1) ио1, С) о и(х, 0) = Д1х), с(х, 0) = уг(х) при 0 < х < 1. при 0<1<+ос, (2) 48. В качестве координаты х точки на проводе возьмем расстояние от середины 0 провода до рассматриваемой точки, отсчитываемое вдоль провода, на котором установлено положительное и отрицательное направления движения. Система телеграфных уравнений и начальные условия записываются, как обычно.
Условия же сопряжения имеют вид и( — 1, 1) — и(1, 1) = Боса — 1, 1) = Йод) 1), (1) и(-1, 1) — сс(У, 1) = Лос(-1,. 1) = Лос(1, 1), ис( — 1 С) — ссс(1. С) = — с(1, 1) = — с( 1, 1). 1 . 1 Со ' Со (2) (8) и, + Ьгс + Лс = О, с, + Сис + Си = 0 при 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, (1) 169 ро. 11. ураоиеиия гиперболического типа 5.
Подобие краевых задач. Вместо ведения к решении> задач этого пункта дается подробное решение задачи 49, которой этой пункт начинается. 49. Если за функцию, характеризующую продольные колебания стержня 0 < хо < Г принять р(х", Г) = — р(х", Г), где р(х", Г) напряжение в поперечном сечении, отмеченном абсциссой хо (определяемое, как в задаче 1 настоящего параграфа), то задача (П) о продольных колебаниях стержня, один конец которого (хо = 0) свободен, а другой (хо = Г) закреплен неподвижно, формулируется следующим образом: (П) Р(0, Г) =Р,„(1И, Г) =О, О < Г <+ос р(х", О) = оо, (хо),.
Ро„(х", О) = ф (хо), 0 < хо < 1". Если за функцию, характеризующую электрические колебания в проводе 0 < х' < 1' с пренебрежимо малой утечкой и сопротивлением, принять электрическое напряжение и(т', 1'), то задача (1) об электрических колебаниях в проводе, один конец которого (х' = 0) заземлен, а другой (х' = Р) изолирован, формулируется следующим образом: иге=а'и, 0<х'<1, 0<1 <+со, и(0, 1') = и, (1', 1') = О, О < 1' < +ос, и(х', 0) = ого(х')., иг(х', 0) = г(г,(х'), 0 < х' < 1'. Задача (1) аналогична задаче (П).
)1ля того чтобы задача (1) была подобна задаче (П) с заданными коэффициентами подобия 1, Ц, й, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения кг = — „, (1) (2) р.(х') = й- Р,(хо): Ф.(х') = †„" Ф,(: о) при х' = йохо, 0 < хо < Г. (3) Р е ш е н и е. Локажем необходимость и достаточность условий (1)., (2) и (3).
Сначала докажем не о б ход и м ос т ь. Пусть и(х, г) =кир(х,с ) при х = к,х, 1 =И~Г, причем (х', Г) пробегает 11у[0 < х' < 1', 0 < 1' < +со], когда (х", Г) пробегает 11п[0 < хо < 1", 0 < Г < +со). Тогда сразу же получаем, что 1' = ЙиГ, т.е. условие (1) выполнено. Из равенства и(х',1') = Й„р(хо, Г), выполняя дифференцирование по 1, получим иг (х', 1') = 170 Ответы, указания и решения = — "р„, (х", ~п), поэтому при Р = 1п = 0 будут выполняться равенства Ц ие(х',О)= — „"р, (х",.О), 0<хи<1", (4) 0(х', 0) = й„р(хп, 0), т. е, условие (3) будет выполнено. дифференцируя равенство и(х,1) = й р(х,1 ) по хп и гп и используя равенства х' = Й х", 2 даи дгр д'и Е дгм а ддгг г г дягг Р = йеуп, получим д' р дхп2 ' д2— Так как функция р(х", 1п) должна удовлетворять уравнению 2— деп 2 = Опз,, тО, СЛЕдОВатЕЛЬНО, дОЛжНО ВЫПОЛНятЬСя раВЕНСтВО дхп2 ' гн2де аг2 п2 де й др п2 г / 'ЕЕ дуг ~ЯО д г й«( дгпг Следовательно, и(х', е') является не только да и гз да и дд2 дх" ' = и но и решением уравнения дги ~й п2 дги дг 2 гг ег д.гг' решением уравнения (5) (6) Вычитывая (6) из (5), получим что возможно лишь при условии 2 гз " 2 а — — и =О, Ц (7) ибо при условии дги „=О (8) с помощью уравнения и граничных условий (1) получаем, что и = О, но это невозможно при грп(х') и уг„(х'), отличных от тождественного нуля.
Следовательно, (8) невозможно, знагит, имеет место (7)., т.е. условие (2) выполнено. Рассмотрим теперь достаточность. Перейдем к безразмерным величинам с, т, У в краевых задачах (1) и (П) с помощью формул х' = 1'6 1' = 1',гт, ю = иоПК, т), хп = 1"6 1п = 10т, р =рвиа т), где константы 10 и 10 имеют размерность времени, .а ие и ра соответственно разморность и и р, причем эти константы выбраны так, что г (9) Рв рв Гл.
11.,Уравнения еиперболинееноео типа 171 Напомним, что, кроме того, выполняется соотношение к,= — „. (1) Краевые задачи (1) и (П) принимают соответственно вид , = — „а,, 0<с<1, 0<т<+со, От' (7(0, т) = О, (7~(1, т) = О, 0 < т < +ос, Г(С, О) = — ~рп(Е ~), (2 (е, 0) = 0 ф„(Е С), О < ~ < 1, д~' бо' пгд1У , = —",„апз,, 0<С<1, 0<т<+оо, 17(0, т) = О, Уе(1, т) = О, 0 < т < +со, (Н') (7(~, О) = 1 р„(1"6, и.(6 О) = ~' Ф„(1"~), 0< ~ < 1. Ро Рв Из (1), (2) и (9) следует, что 2 п2 10 ~г бо П2 — а = —,а 02 го 2 Из (1), (9) и (3) следует, что — Ре(1Ъ = — Р„(1"б), — 'фо(1'6 = — 'ии(1'6, 0 < б <1. Таким образом, у задач (1') и (Н') тождественно совпадают уравнения, начальные и граничные условия, следовательно (в силу теоремы единственности), совпадэгот и их решения. Таким образом, У(С, т) = — и(х', 1') = — р(х", 1п) при х' = йпх", 1' = йе10, 2~0 Ро т.
е. и(х', 1') = 10ир(хпв 1п) при х' = й,,хп, 1' = Ц10, что и требовалось доказать. Замечание. Можно было бы иначе выбрать функции: 1) характеризующую продольные колебания упругого стержня: 2) характеризующую электрические колебания в проводе. Например, взять продольное смещение поперечных сечений стержня и силу электрического тока в проводе или только одну из этих функций выбрать иначе, а другую оставить прежней, т.
е. один процесс можно по-разному моделировать другим, выбирая наиболее подходящие аналогии. 50. За функцию, характеризующую продольные колебания стержня 0 < хп < 10, принято продольное смещение поперечных сечений стержня и(х",еп). а) Если один конец стержня (хп = 0) закреплен жестко, а другой (хп = 10) закреплен упруго, то для определения и(х", 1п) получаем 172 Отввгавв указания и рвшвния краевукз зада ~у и(х", 0) = |рв(хн), иг (х", 0) = у»в(хн), 0 < хн < 1". (11а) 0<1~<+ос, а~~=— где С емкость единицы длины провода и А самоиндукция еди- ницы длины провода и(0, Е) = О, и, (1', 1') + — и(1', 1') = О, 0 < 1' < +ос, 11 и(х~, 0) = у»в(х~), ив (х~, 0) = »1»в(х ), 0 < х~ < 1~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
