Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 30
Текст из файла (страница 30)
11. Уравнения гиперболического типа р(х, 1) и ио(х, 1) = ие(х, 1). Рассмотрим, например, случай, когда левый конец стержня закреплен неподвижно, а правый свободен. Мы придем к краевой задаче 1 т,, — — ре — — О, Š— Рх + Роте — — О, 0<а<1, 0<1<+со, т(0, 1) = О, р(1, 1) = О, 0 < 1 < +ос. (2) ш(х, 0) = |р(х), р(х, 0) = 4~(х), 0 < х < 1. (3) 2. Ось Ох декартовой системы координат направлена вдоль положения равновесия струны.
Пусть в положении равновесия точка имеет координаты [х; 0; 0], а в отклоненном положении [х+иг(х, 1); из(х, 1); из(х, 1)]. Для определения функций щ (х, 1), иг(х, 1), из(х, 1), характеризующих процесс колебаний струны, получаем краевые задачи д',, да, = ая при 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, дев дхг иг(0,1) =ив(1,1) =О при 0(1<+ос, Й=1,2,3, ия(х, 0) = (в(х), ' = Еь(х) при 0 < х < 1, див(х, О) ЕЕ э я То где а1 = —, аг = аз = —, Е модУль УпРУгости, Я площадь Р Р поперечного сечения, р - линейная плотность массы. У к а з а н и е.
Полная сила натяжения струны складывается из на- чальной силы натяжения То и упругой силы, возникающей при относи- тельном удлинении элементов струны. При малых колебаниях струну можно считать абсолютно гибкой, т. е. силу натяжения в каждой точ- ке струны считать касательной к струне. Дифференциальные уравне- ния для функций иь(х, 1) можно получить переходом к пределу при Ьх -э 0 из уравнений движения, выражающих для элемента (х, х + + Ьх) второй закон Ньютона в проекциях на оси координат.
По поводу определения сил, действующих на концы элемента (х, х+ еэх) см, до- полнительно [7, с. 23, 24], а также указание к предыдущей задаче. 3. Ось Ох направлена по продольной оси инерции цилиндра, а че- рез д(х, 1) обозначен угол поворота поперечного сечения с абсциссой х, причем концы цилиндра определяются абсциссами х = 0 и х = 1. Для функции о(х, 1) получаем краевые задачи: где Я площадь поперечного сечения стержня, а Х(х, 1) проекция на ось х силы, с которой часть стержня, примыкающая к сечению х справа, действует на часть этого стержня, примыкающую к сечению слева. Через и(х,1), как обычно, обозначим смещение из положения равновесия поперечного сечения с лагранжевой координатой х.
В качестве функций, характеризующих процесс колебаний, возьмем 144 Отвесам, указания и решения а) в случае жестко закрепленных концов д'8 з д'а — =а —, при 0<х<1, 0<1<+со, дев дха д(0,1) =д(1,1) =О при 0<1<+со, (1) (2) д(х, 0) = у(х), де(х, 0) = Р(х) при 0 < х < 1, (3) а = —, где С -. модуль сдвига,7 полярный (геометрический) С,7 К ' момент инерции поперечного сечения цилиндра относительно точки, в которой ось цилиндра встречает это поперечное сечение, К осевой момент инерции единицы длины стержня (относительно той же оси); б) когда концы цилиндра свободны, то граничные условия имеют вид (4) в) когда концы цилиндра закреплены упруго, то граничные условия имеют вид 0.10, 1) — 5В10, 1) = О, В,<г, 1) + ЬдН, 1) = О.
<5) Указание. Установить, что момент М упругих сил, приложенных к поперечному сечению х цилиндра, может быть найден по формуле М = Сэ —. (6) Для этого рассмотреть (рис. 15) сдвиг параллельного оси цилиндра элементарного волокна АВ с основанием е1ц на сечениях, вызываемый Рис. 15 дд поворотом сечения х + езх вокруг оси цилиндра на угол Ьд = — Ьх дх относительно сечения х, и определить связь между углом сдвига ув дд и —. Напряжение сдвига т на основании Иц такого волокна, лежащего дх в сечении х, может быть определено по закону Гука для деформации сдвига = Су.
(7) Дифференциальное уравнение (1) можно получить предельным пе- 145 Гл. И. Уравнения гаперболнчесного тапа реходом при Ьх э 0 из уравнения вращательного движения~) для элемента (х, х + Ьх) цилиндра. Граничные условия получаются аналогично тому, как это было сделано в случае продольных колебаний стержня. 4. Плотность р, давление р, потенциал скорости ео, скорость о частиц газа и продольное отклонение и частиц газа удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению дгн~ г дгш дег д с одной и той же константой и =Й вЂ”, ра ср где гс = —" показатель адиабаты с,. равный отношению теплоемкости при постоянном давлении к тепло- емкости при постоянном объеме, а ро и ро - давление и плотность в невозмущенном газе, Если концы трубки закрыты, то граничные условия для каждой из функций и, и, во, р, р имеют соответственно вид и(0, г) = п(г, г) = О, о(0, г) = о(г, г) = О, р.(о, г) = ря(г, г) = о, ря(о, г) = ря(г, г) = о, .р.(о, г) = р (г, г) = о.
Если концы трубки открыты, то и,(0, г) = и,(г, г) = О, о,(0, г) = о,(г, г) = О, р(о, г) = р(г, г) = о, р(о, г) = р(г, г) = о, р(о, г) = р(г, г) = о, гдер(х,г) =р(х,г) — ро «возмущениедавления», ар(х, г) = р(х, г)— — ро «возмущение плотности». При наличии в конце т = г трубки газонепроницаемого поршень- ка с пренебрежимо малой массой, насаженного на пружинку с коэф- фициентом жесткости оз) и скользящего внутри трубки без трения, для и(х,г) получаем граничное условие пя(г, г) + Ьи(г, г) = О, и где 6 =, а й -- показатель адиабаты. Аналогично при наличии олро ' г) Пля вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеем: произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси.
а) Пружинка будет действовать на поршенек с добавочной силой упругости, равной — ов(г, г) при отклонении поршенька, равном и.. Мы говорим о добавочной силе упругости, так как в положении равновесия на поршенек уже действует сила упругости, уравновешивающая новозмущенное давление ро. 10 Б.М. Булак в яр. 146 Ответив указания и решения такого поршенька в конце х = 0 трубки получаем и«(0,1) — Ьи(0,1) = О. Пля и(х,1) при этих же условиях имеем ия(0, 1) — Ьи(0, 8) = О, т,(Ь 1) + Ьи(Ь 8) = О. Для р(х, 1) и Р(х, 1) получаем рц(0,1) — Ь'ря(0, 1) = рп(1, 1) -~- Ь'р. (1, 1) = = Рн(0, 1) — Ь'Р*(0, 1) = Рее(1, 1) + Ь "Р«(1,1) = О, (1') (2') (3') ') См.
[7, с. 27). а) См. введение к З 2 (условиям) настоящей главы. где Ь' = —. Эти условия выполняются также и для про р(х: 1), Р(х, 1) Р(х, 1). Указание. В лагранжевых координатах ) уравнение неразрыв- ности (1) и уравнение движения (2) («основные уравнения гидроди- намики») имеют вид Ро = Р(х, 1) [1 + ия (х, 1)), (1) раин(т. 1) = — ря(х, 1).
(2) Вместе с уравнением адиабаты р = 7(р), где 1(р) = —, р~, й = — ", (3) Ро е., они составляют полную нелинейную систему уравнений для опреде- ления функций р(х, 1); и(т, Ц); р(х, 1). Уравнение (1) выражает закон сохранения массы элемента газа, заключенного между двумя поперечными сечениями, составленными из частиц газа, а уравнение (2) выражает второй закон Ньютона для этого элемента газа. Отбрасывая квадраты, произведения и высшие степени величин и(х, 1), Р(х, 1) = р(х, Ю) — ро, Р(х', 1) = р(х, Х) — Ро и их производных, нетрудно из уравнений (1), (2), (3) получить соот- ветственно линейные уравнения Р(х, 1) + рои«(х, 1) = О, Роим(х г) = — Ра(х г) р(х,1) = а Р(х, 1), о = й —, Ро и скорость распространения малых возмущений в газе, «скорость звука»~).
Этот переход от нелинейной системы (1), (2), (3) к линейной системе (1'), (2'), (3') называется «линеаризацией». Уравнения Рм —— = азр„и рц = озр„получаются из (1'), (2'), (3') дифференцирова- нием и исключением остальных функций. Потенциал ~р(х, 1) опреде- ляется соотношением Ов,(х, 1) = т(х, 1) с точностью до произвольной 147 Рл. !й ,Уравнения еиперболииееноео типа слагаемой функции времени;так как и,(х, 1) = и(х, 1),то из уравнения (2') получим Роев е +Ри = О~ т. е. д — (ро~ре+р) = О, д* поэтому в силу того,что потенциал скоростей 1в(х, 1) определяется с точностью до произвольной слагаемой функции времени, можно написать: Ро'Ре +Р = О. (4) Соотношение (4) дает возможность найти возмущение давления Р, если известен потенциал скоростей.
Из уравнения (1'), дифференцируя по 1 пол чим (5) У ре+Ро'Р л =О Из (4) и (5) получается уравнение з ~рн = а У*а, — — + 2се(рои), др д(рои) дх де др Лз д(Ро'в) де дх О<х<1; 0<1<+ос, (2) (3) (4) Р(0,1) =Ро, и(в,1) =0; 0<1<+со, р(т, 0) = ро, и(х, 0) = ио, 0 < т < 7, где ро плотность воды в резервуаре, Л= (5) ро 211врв Л. Еб причем й есть модуль упругости воды, входящей в закон Гука для воды, Р = к — (Р = Р— Ро Р = Р— Ро) (6) ро Йо внутренний радиус трубы в невозмущенном состоянии, Я модуль упругости материала трубы, 5 толщина трубы, ее опре- 10* дифференцирование которого по х приводит к уравнению 2, им =а Аналогично получаются уравнения для потенциала смещений и для смещений.
рассматривая движение граничного элемента газа и используя уравнения (1'), (2'), (3'), (4) и (5), нетрудно получить приведенные в ответе граничные условия. 5. Ось Ох направлена вдоль трубы, причем начало координат О лежит в плоскости входного сечения, ро — давление воды в резервуаре. Для определения осредненных (по внутреннему поперечному сечению трубы) значений скорости и(х, 1) и давления р(х, 1) получаем краевую задачу 148 Ответы, указания и решения делявмый экспериментально коэффициент сопротивления трения единицы длины трубыз).
При составлении уравнения движения можно, как показал Н.Е. Жуковский, для тонких труб при не слишком больших возмущениях давления пренебрегать радиальным движением их частица), в то время как при выводе уравнения неразрывности радиально симметричное растяжение трубы необходимо учитывать. Силу сопротивления трения, действующую на элемент воды, заключенный между поперечными сечениями х и х + Ьх, можно опредслить по формуле, приведенной в сноске.
При выводе уравнений краевой задачи величины Р, Р, и будем считать малыми, а величину Ро Лэ Е6 значительно меньшей единицы. Установим связь между внутренним радиусом Л трубы и давлением Р в трубе. Лля этого рассмотрим состояние половины элемента, отсекаемого от трубы близкими поперечными сечениями х и х+ Ьх, изображснного на рис.
16. Силы упругости, развивающиеся в сечениях 1 и 11 этого полукольца, равны сумме проекций сил давления жидкости на средний радиус полукольца, т. е. 26ЬхЕ ' = 2ЯЬх(р — Ро) или Е6— Р = —, Л. (7) Ео Следовательно, величина Л = Л вЂ” 17о также будет малой, равно как и величина оо 2яЛЛо = Яо Е6 Р (8) ВывЕдем уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы вещества для объема, заключенного между плоскостями х и х + Ьх (рис. 16, 6): д ъ зя д, / Ерп = Ф~ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
