Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Уравнение (1) имеет фундаментальные решения: е а) ис(М) = в трехмерном пространстве; б) ио(М) = Ко(хт) на плоскости (г расстояние точки М от начала координат). Функция Кс(х), как известно, имеет при х = О логарифмическую особенность и экспоненциально убывает на бесконечности.
Метод разделения переменных при решении уравнения (1) часто приводит к уравнению Бесселя для мнимого аргумента л 1 р +-р — 1+ — р=о, х ),, х / общее решение которого имеет вид р = А1,(х) + ВК,(х), где 1,(х) и К,(х) — — цилиндрические функции мнимого аргумента первого и второго рода. Функция 1,(х) ограничена при х = О и экспо- ненциально возрастает при х -> оо.
1. Определить стационарное распределение концентрации неус- тойчивого газа в неограниченном пространстве, .создаваемой точеч- ным источником газа мощностью (~с. 2. Точечный источник неустойчивого газа расположен на высо- те ~ над газонепроницаемой плоскостью х = О. Найти стационарное распределение концентрации. 3. Построить функцию точечного источника для уравнения Ьи — х и = О на плоскости и дать ей физическую интерпретацию. 2 4. Решить задачу 3, предполагая, что плоскость р = О газонепро- ницаема.
117 Гл. У11,Уравнения эллиптического тапа 5. Построить функцикв источника для уравнения диффузии не- устойчивого газа, если источник находится внутри слоя (О < г < 1), ограниченного газонепроницаемыми плоскостями г = 0 и г = 1. 6. Решить аналог задачи 5 для двумерного случая. 7. Точечный источник неустойчивого газа помещен внутри беско- нечной цилиндрической трубы с газонепроницаемыми стенками. Определить стационарное распределение концентрации газа, считая, что сечение трубы может иметь произвольную форму. 8. Построить функцию источника для уравнения Ьи — эсзи = 0 внутри сферы при граничном условии второго рода. 9. Точечный источник газа действует в неограниченной среде, движущейся с постоянной скоростью оо.
Найти стационарное распре- деление концентрации газа. 10. Найти стационарное распределение концентрации неустойчи- вого газа внутри бесконечного цилиндра кругового сечения, если на поверхности цилиндра поддерживается постоянная концентра- ция и~ = ио. Е 11. Решить задачу 10 для области, внешней к цилиндру. 12. Решить задачу 10 внутри сферы радиуса а, если: а) и~ = ио; б) и~ = иосоза. 13. Решить задачу 12 для области, внешней к сфере радиуса а. 14. На глубине Ь под поверхностью земли находится среда, в кото- рой с постоянной плотностью распределено радиоактивное вещество. Найти: а) распределение эманации в земле; б) величину потока эманации через поверхность земли, считая, что концентрация ее на поверхности земли равна нулю.
15. На глубине 6 под поверхностью земли сосредоточено в неко- тором объеме радиоактивное вещество, выделяющее в единицу време- ни некоторое количество эманации (неустойчивого газа), равное Гэо. Найти: а) распределение концентрации эманации в земле; б) величину потока эманации через поверхность земли, считая, что источник эманации точечный, а концентрация ее на поверхности земли равна нулю. 16.
Решить задачу, обратную задаче 15. Известно распределение потока через поверхность земли д = д(р); требуется найти: а) мощность источника сэо, б) положение источника, т. е. глубину залегания Ь радиоактивно- го вещества. З 2. Некоторые задачи о собственных колебаниях Задачи о собственных колебаниях мембран и ограниченных объемов, как известно, приводят к однородному уравнению Цо) + Лро = О, Цо) = с11у(ййгас1о) (к(и) > О, р(т) > 0) внутри некоторой облас- 118 Условия задач ти Т при однородных условиях на ее границе. В гл.
Н, а затем в гл. н' по мере надобности рассматривались некоторые задачи о собственных колебаниях струны и мембраны. В настоящем параграфе будет дан более полный список задач о собственных значениях, решаемых методом разделения переменных. Выражение «найти собственные колебания» в дальнейшем будет означать, что требуется найти собственные значения и нормированные собственные функции для рассматриваемой области. 1. Собственные колебания струн и стержней. 17.
Реп|ить задачу о собственных поперечных колебаниях однородной струны 0 ( х < 1, если; а) концы струны жестко закреплены; б) концы струны свободны~); в) один конец струны свободен, а второй конец закреплен; г) концы струны закреплены упруго; д) один конец струны закреплен жестко, а второй конец закреплен упруго: е) один конец струны закреплен упруго, а второй конец свободен. 18. Найти собственные продольные колебания стержня длиной 1, составленного из двух стержней с длинами ха и 1 — ха, обладающих разными плотностями (рг и рз) и модулями упругости (Ег и Ез), предполагая, что концы стержня: а) жестко закреплены; б) свободны; в) упруго закреплены. 19.
На одном конце стержня прикреплен груз массы И. Найти собственные продольные упругие колебания стержня, считая, что второй конец стержня: а) жестко закреплен; б) свободен, :в) упруго закреплен. Обратить внимание на условия ортогональности собственных функций.
Лля задачи а) рассмотреть случаи малых и больших нагрузок, найдя соответствующие поправки к невозмущенным собственным значениям. 20. Решить задачу о собственных колебаниях струны, нагруженной сосредоточенной массой М, подвешенной в некоторой внутренней точке струны, предполагая, что концы струны: а) закреплены жестко, б) свободны; в) упруго закреплены.
Вычислить поправки к собственным значениям для задачи а). 21. Найти поперечные собственные колебания однородного стержня, если; а) оба конца стержня заделаны жестко;. б) оба конца стержня свободны; 1 ди ) Это значит, что — на концах струны равно нулю. Это имеет место, дк например, при закреплении концов струны на колечках (с пренебрежимо малой массой), скользюцих без трения по параллельным стерженькам. 119 Гл. 171,Ураонеиин эллиптического типа в) один конец стержня свободен., а второй жестко заделан.
Найти первый член асимптотического разложения собственных частот. 2. Собственные колебания объемов. 22. Найти собственные колебания прямоугольной мембраны: а) с закрепленной жестко границей; б) со свободной границей; в) если две противоположные стороны закреплены, а две другие свободны, г) если две соседние стороны закреплены, а две другие свободны; д) с упруго закрепленной границей. 23. Решить задачу 22 для круглой мембраны (случай а), б), д)).
24. Определить собственные значения и нормированные собст- венные функции для прямоугольного параллелепипеда при: а) граничных условиях первого рода; б) граничных условиях второго рода; в) граничных условиях третьего рода. 25. Найти собственные колебания сферы при: а) граничных условиях первого рода:, б) граничных условиях второго рода; в) граничных условиях третьего рода. 26. Решить задачу о собственных колебаниях круглого цилиндра конечной длины при граничных условиях: а) первого рода; б) второго рода; в) третьего рода. 27.
Определить собственные колебания мембраны, имеющей фор- му круглого кольца а < р < Ь, если ее граница: а) жестко закреплена; б) свободна: в) упруго закреплена. 28. Определить собственные колебания мембраны, имеюшей фор- му кругового сектора (р < а, О < оэ < оэо), если его граница: а) жесткозакреплена:, б) свободна; в) упруго закреплена. 29. Найти собственные колебания мембраны, имеющей форму кольцевого сектора (а < р < Ь, О < 1о < до); а) с жестко закрепленной границей; б) со свободной границей; в) с упруго закрепленной границей. 30. Определить собственныс значения и собственные функции то- роида с прямоугольным сечением (а < р < Ь, О < г < 1) при гранич- ных условиях: а) первого рода; б) второго рода; в) третьего рода. 31.
Плоская мембрана имеет форму кольца с внешним радиусом и и внутренним радиусом е; граница мембраны закреплена жестко. Сравнить первое собственное значение Лз такой мембраны с пер- вым собственным значением Ло круглой мембраны радиуса а, для чего; а) показать, что 1пп Лг — — ЛН о. е — ~0 б) вычислить поправку йЛ = Лз — Ло при малых е. 120 Услееия задач 32. Круглая мембрана радиуса а нагружена массой М, равномерно распределенной по абсолютно жесткому кругу радиуса е (г < е). Сравнить собственные значения Ла этой мембраны с собственными значениями Ла ненвгруженной мембраны.
Рассмотреть два случая: М мало и М велико. Если М вЂ” ~ О, то ˄— ~ Л",,. Если М вЂ” ~ со, то ˄— з Л",, ы причем Л1 — > О. 33. Решить задачу 31, предполагая внс|пнюю границу свободной. 34. Сформулировать задачу о собственных колебаниях барабана, как задачу о колебаниях круглой мембраны с присоединенным воздушным объемом. Как зависит основная частота от размеров присоединенного объема (см. задачу 5 гл. Ъ'1)? 35. Круглая мембрана большого барабана имеет радиус ге = 50 см, р = О, 1 г/см, Т = 10е дин,1см. Какова будет основная частота, если мембрана колеблется в свободном пространстве'? Присоединение к мембране некоторого воздушного объема увеличивает основную частоту в 1,45 раза.
Определить величину присоединенного объема. 2 3. Распространение и излучение звука В данном параграфе будут рассмотрены некоторые задачи о распространении, излучении и рассеянии звука на твердых телах, приводяшие к волновому уравненике Ьи+ й~и = 0 1й~ > 0). (1) При решении волнового уравнения для цилиндра и сферы появля- ютсЯ сфеРические фУнкции У~~1 = Р~~1(говд)~~~~й9з, Уч(д) = Ра(сов д) и различные цилиндрические функции. При решении внешних задач для цилиндра используются функции Ханкеля е — Це — ч~'е(2 — е9л1 + при бол цгих р е а 2 7Га и — 1 — ) (и — 1)!, п>0, 1 92 я р при малых р, 21 1 — 1п —, я а у нас р = йг. Функция Н~ 1(йг) удовлетворяет условию излучения 00 /ди 1ш1 ./г ~ — + байи) = О, — 1дг которое соответствует временнбй зависимости типа е' '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
