Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Сферический сосуд с газом в течение длительного времени двигался равномерно со скоростью ц, а затем в момент ~ = О мгновенно остановился и остался неподвижным. Найти возникшие вследствие этого колебания газа в сосуде. 94. Сферический сосуд, наполненный газом, начиная с момента ~ = О, совершает малые гармонические колебания в направлении одного из своих диаметров; смещение сосуда в направлении этого диаметра равно Авшьл, О < 1 < +со. Найти колебания газа в сосуде, предполагая,что при ~ < 0 газ покоился. 95.
Найти колебания газа в сферическом сосуде 0 < г < ге, 0 < 0 < х, О < у < 2х, вызванные малыми деформациями стенки сосуда, начавшимися с момента 1 = О, если скорости частиц стенки сосуда направлены по его радиусам, а величина скоростей равна АР„( соз О) соз ыг з) . ~) Р„® .
— полипом Лежандра. Гл. 11. Ууивнения гиперболического типа 98. Решить предыдущую задачу при условии, что скорости частиц стенки равны АРо„,(сову) сов пирсовео1 '). 99. Решить задачу 98, если скорости частиц стенки равны 110) соя пир соя оИ. 100. Решить задачу 98, если скорости частиц стенки равны 1ЯР (сову) совшр, 110) = 1 (0) = О. 101. Решить задачу 93 для газа, заключенного между двумя концентРическими сфеРами Я„, и Я„„гт < гг.
102. Решить задачу 94 для газа, заклю венного между двумя концентрическими сферами Я„, и Я„, г, < гг. б) Неоднородные среды. 103. Найти поперечные колебания неоднородной круглой мембраны О < г < гг с закрепленным краем, полученной соединением однородной круглой мембраны О < г < гз и однородной кольцевой мембраны т, < г < гг, если начальные поперечные возмущения заданы.
В 4. Метод интегральных представлений В первом пункте этого параграфа собраны задачи на применение интеграла Фурье, во втором — на построение и применение функций влияния мгновенных сосредоточенных источников. 1. Применение интеграла Фурье. а) Преобразование Фурье. 104. Решить краевую задачу ии — — а езги, — ею<а,у<+ос, 0<1<+ос ), и~ = Ф(ж,у), ие! = ф(х.,у), — со < х,у < +~. (1) (2) ~) Р ® — присоединенная функция Лежандра, ти < и. г) гьг = д)ийгае) оператор Лапласа для плоскости; в декартовых д' д' координатах Ьг дхз дуг 96. Найти колебания газа в сферическом сосуде, вызванные малыми колебаниями его стенки, начавшимися с момента 1 = О, если скорости частиц стенки направлены по радиусам сосуда, а величина скоростей равна Р„(соя В) 1 Я, где 110) = 1 (0) = О.
97. Найти колебания газа в сферическом сосуде, вызванные малыми колебаниями его стенки, начавшимися в момент 1 = О, если скорости частиц стенки направлены по радиусам, а величина скоростей равна 1(д) совеов, 0 < 1 < +со. 112 Условия задач 105. Решить краевунг задачу ии =азЬзи, — со < х,у,з <+со, 0<1<+со'), и~ = Ф(х,уья), иг~ „= Ф(х,у,я), — со < х,у,я (+ос. 106. Решить краевую задачу иег — — а Лги+ ах,уА), — сс < х,у <+ос, 0 < 1 <+со, и(, = О, иь( „ = О, — со < х у < +ос. 107.
Решить краевую задачу ии = а Ьзи+~(х,у,я,с), — оо < х,уья <+оо, 0 (1<+со, и) =О, иь(, =О, — оо<х,у,я<+оо. (1) (2) (1) (2) (1) (2) 108. Решить краевую задачу ии+Ь ьгзггзи = О, — сс < х,у <+ос, О <1<+ос ), (1) и~, = Ф(ху), иь~ь = Ф(ху), — оо < х у <+со.
(2) ') г1з = с)ьвягас1 оператор Лапласа для пространства; в декартовых дг дг координатах г)з = д г д„г д г' ) Вигармонический оператор ЬзЬз, означающий двукратное применение оператора Лапласа газ. б) Преобразование Фурье-Бесселя (Ханкеля). 109. Применяя преобразование Фурье- Бесселя, решить краевую задачу зди1ди =а + — —, 0(г(+ос, 0(1(+ос, (1) и(г,О) =, иг(г,О) = О, О < г < +ос. (2) А ,/Т+ тг~бг 110. Найти радиально симметричные поперечные колебания неограниченной пластинки, решив краевую задачу 2 д'и,/д' 1 д'1 — + Ь вЂ”, + — — и = О, 0 ( г < +со, 0 < 1 < -ьос, (1) дбг ~,дгз г дт) и(г,О) =11т), иг1т,О) =О, 0<с<+со. (2) Рассмотреть, в частности, случай, когда Дг) = Ае " г", 0 < г < +ос.
(2') 111. Найти радиально симметричные поперечные отклонения точек неограниченной пластинки 0 < г < +ос, если точка г = 0 этой пластинки с момента 1 = 0 движется по заданному закону. Рассмотреть, в частности. случай, когда ) А11в — 1), О (1( 1в, гг(Ог) = ~ О., 1в < з < +ос. Гл. Уй уравнения гипсрболичсского пшпа 113 112. Найти чисто вынужденные радиально симметричные поперечные отклонения точек неограниченной пластинки 0 < г < +оо под действием распределенных поперечных сил с плотностью рот, 1) = 16рЬЬ11т) бо'Я, — оо < 1 < +ос, гдв 26 — толщина пластинки, р — плотность массы пластинки, й имеет тот же смысл, что и в предыдущих задачах ), усф = дз ф1г) зависит только от 1, а 1 Я зависит только от о. Рассмотреть, в частности, случаи, когда: а) движение пластинки вынуждается сосредоточенной поперечной силой 16рйб ф'(1), — оо < 1 < +со, приложенной в точке т = 0„.
б) движение пластинки вынуждается поперечной силой 16рйЬ ф'(1), — < 1 < + равномерно распределенной по кругу 0 < т < а; в) описанная в пункта б) сила действует в течение времени 1в, а именно 0 при — ос<1<0, ф'ф = фв = сопз1 при О <1< 1о, 0 при 1в <1 < -~-оо, дать асимптотичсские формулы для представления решения при ма- лых и больших значениях т; г) р(т,г) = ., с "1' 1'(1), — оо < г <+ос,: д) найти поперечные скорости точек пластинки при р(т,1) =,, с " 1с б(1), — оо <1 < +ос, 4Арб та са са где В1г) — импульсная дельта-функция (т.е.
в момент Г = 0 пластин- ка получает поперечный удар с непрерывно распределенным импуль- сом — с " 1с ). 4Арй,.г,л сг 2. Построение и применение функций влияния сосредоточенных источников. а) Функции влияния мсновснных сосрсдотаочснньсс импульсов. 113. Построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного импульса единичной мощности для уравнения им=а Ьзи 2 в неограниченном пространстве х, у, г, считая сначала, что импульс имел место в начале координат в момент 1 = 0; найти функцию влияния, решая краевую задачу ии = азЬзи, — оо < х, у.
г < +ж., 0 < 1 < +ос, (1) и~с в — О, исус о — б(х)б(У)б(г), -оо<т,У,.<+сю, Р) П Подробнее см. задачу 18. 8 Б.М. Булак и др. 114 Условии задач а затем перейти к случаю, когда импульс имел место в точке 1й,у,~) в момент 1 = т. 114.
Решить предыдущую задачу для уравнения им=а Ьзижс и. 2 2 115. Решить двумерный аналог задачи 113. 116. Решить двумерный аналог задачи 114. 117. Разделением переменных построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного импульса для первой, второй и третьей краевых задач для уравнения ии = а Ьзи: 2 а) для прямоугольной мембраны 0 < х < 1ы 0 < у < 1з,. б) для круглой мембраны 0 < г < го, 0 < 1о < 2п, 118.
Методом отражений построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного импульса для уравнения ип —— а Ьзи х с и для г 2 угла 0 < вз < —, где и — — целое число, большее нуля, если на граничи ных лучах уз = 0 и ~р = — выполняется граничное условие второго рода. 119. Пусть плоская область С ограничена кусочно гладким контуром Г. Предполагая возможным применение формулы Грина- Остроградского, связывающей криволинейный интеграл с двойным, найти решения а) первой, б) второй и в) третьей краевой задач для УРавнениЯ ип = а Ьзи х с и + 7 (х, У, 1) пРи неодноРодных начальных з з и граничных условиях, если известна функция влияния мгновенного сосредоточенного импульса для каждого из перечисленных случаев.
120. С помощью функции влияния мгновенного сосредоточенного импульса, найденной в решении задачи 113, вывести формулу Кирх- гоффа ) ДлЯ УРавнениЯ им = а Ьзи+ 7(х, У, з,1). б) Функции влиинии непрерывно действующих сосредоточенных исто ~ников. 121. Построить функцию влияния непрерывно действующего сосредоточенного источника переменной могцности Я) (7(1) = 0 при г < 0), находящегося в фиксированной точке пространства, для уравнения ии = а Ьзи, т.
е. решить краевую задачу 2 им = а~Ьзи + й(х — хо)Б(у — уо)й(з — зо) ~Я: — со < х, у, з < +со, 0 < 1 < +ею, (1) и), =и~), =О. (2) 122. Построить функцию влияния непрерывно действующего сосредоточенного источника переменной мощности 7(1) ®1) = 0 при 1 < 0), находящегося в фиксированной точке пространства, для урав- ') См. )7, с. 414-417]. Гл. У!.
Уравнения гиперболического и~ива пения им = а елги, т.е. решить краевую задачу 2 им — — агеелги + б(т — то)д(У вЂ” Уо)1Я, — оо < х, у < -ьсо, 0 < 1 < +со, (1) и(, = О, и~), = О. (2) 123. Построить функцию влияния непрерывно действующего со- средоточенного источника переменной мощности 1(е) (1(г) = 0 при 1 < 0), движущегося по произвольному закону, для уравнения ип = = а Ьзи, т. е. решить краевую задачу иее = а йзи+ б(х — Х(1))б(у — У(1))б(г — Я(С))1(1), — оо < х, у, г < +со, 0 < 1 < +ос, (1) 1е=о = ие~еьо =0 (2) где Х(г), У(г), Я(е) координаты источника; Х(0) = У(0) = Л(0) = = О. В частности, найти функцию влияния сосредоточенного источ- ника, движущегося прямолинейно с постоянной скоростью и; рассмот- реть случаи, когда: а) и < и; б) и > и. 124.
Учитывая, что если источник обладает постоянной мощ- ностьнз д и движется прямолинейно с постоянной скоростью и, то в системе координат, движущейся вместе с источником, процесс будет стационарным, найти функции влияния такого источника: а) при о < а; б) при о > и; отбрасывая члены с производными по времени в урав- нении колебаний, преобразованном в этой движущейся системе коор- динат. 125. Найти электромагнитное поле, создаваемое электроном, дви- жущимся в диэлектрике прямолинейно с постоянной скоростью, пре- вышающей скорость света в этом диэлектрике (электрон Черенкова). 126.
Решить краевую задачу 20. 12Т. Найти колебания упругой изотропной однородной среды, за- полняющей все неограниченное пространство, вызванные непрерывно действующей силой г (1) (г (г) = 0 при г < 0), приложенной к опре- деленной точке среды и параллельной фиксированному направлению. Глава. з1П УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~1~и+ си = — у З 1. Задачи длн уравнения 2и — хэи = — 1" В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые задачи для уравнения эллиптического типа Ьи — хэи = О (х~ ) О), (1) к которому приводят, например, задачи о диффузии неустойчивого газа, распадающегося в процессе диффузии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
