Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Решить предыдущую задачу, предполагая, что один край пластинки теплоизолирован, а температура другого поддерживается равной нулю. 1"л. К Ура»пена» парабопическооо»попа 2. Построение и применение функций влиянии мгновенных точечных источников тепла. 78. Наказать, что решением краевой задачи ди »од и д»п д иЗ вЂ” =а ( — -~- —,+ —,1, — оо<х,у,»<+со, 0<1<-~-сс, (1) д, (д* ду д 1' и~ = Л(х)1»(у)1з(»), — ос < т, у, » < +ос (2) является произведение решений из(х,1), из(у,1), из(»,1) краевых задач — = а —,, — сс < х < +ос, 0 < 1 < +со, г д п~ (1) д» дх» ' из~ = 1»(х), -ос < х < +ос, (2') =а», — со<у<+со, 0<1<+со, (1о) ду» в2~»=о 12(У) сс < У < +ос (2о) = а .,', — со <» <+ос, О < Х <+ос, (1п') 01 д»» ' пз~, = (з(»), — <» <+со.
(2п') 79. Воспользовавшись выражением функций влияния мгновенных точечных источников тепла для прямых — сс < х < +оо, — со < < у < +со, — ос <» < +со и предположением, сформулированным в задаче 78, написать выражение функции влияния мгновенного точечного источника тепла для пространства †< х, у, » < +ос.
80. С помощью функции влияния, найденной в предыдущей задаче, решить краевую задачу и» вЂ” — г» Ьи+г'(х, у, »,1), — со <х,у, » <+ос, 0<1<+со, по»( 'у: )' < 'у' <+ 81. Выразить функции влияния мгновенного точечного источника тепла для полупространства — сс < х, у < +со, 0 <» < +ос., отвечазощие граничным условиям: а) п~ =о =0~ б) и=! — =0' в) (и» Ьп)~.=о =0' через соответствующие одномерные функции влияния, аналогично тому, как это было сделано в решении задачи 79. 70.
Найти температуру неограниченного клина с углом раствора»эо, если на его гранях: а) поддерживается нулевая температура; б) имеет место тепловая изоляция. 77. Найти температуру неограниченного пространства с бесконечной круглой цилиндрической полостью, если начальная температура равна нулю, а температура на поверхности полости поддерживается равной Уо. 94 Условия задач 82. С помощью функций влияния, найденных в даче, решить краевые задачи: а) ис — — а Ьи+ ГСх, у, ж с), — оо < х, у < +ос, ~-=о с '"' )' < 'у<+ ~~, „= У(~,у.~), — оо < х, у < +со, б) ис = а~сап+ Е(х, у, я, ~), — оо < х, у < +ею, и-~ = Ф(х,у,1), — сю < х, у < +со, ~, „=У(*,у, ), — оо < х, у < +со, в) ис = а Ьи+ ГСх, у, я, с), — оо < х, у < +со, сил — Ьи)~ = ЬФ(х,у,с), — оо < х, у < +со, и~, = Д~х,у,х), -со < х, у < +со, предыдущей за0<з,1<+ос, 0 < ~<+оо, 0<я<+со; 0<я,1<+ос, 0<1<+со, 0<я<+оо; 0<я,1<+со, о<е<+ 0<я<+со.
83. Пусть Р есть конечная, попубесконечная или бесконечная цилиндрическая область, параллельная оси я, и пусть ее пересечением с ппоскостыо ху является область Ра . Пусть на поверхности области Р заданы граничные условия первого, второго иди третьего рода. Показать, что функцией влияния мгновенного точечного источника тепла для области Р является соответственно произведение функций влияния мгновенного точечного источника тепла для конечного отрезка, полуоси или всей оси я на функцию влияния мгновенного точечного источника тепла дпя плоской области Р,, 84. Воспользовавшись предложением, сформулированным в предыдущей задаче, написать выражение функции влияния мгновенного точечного источника тепла для плоского слоя -со < х, у < +оо, 0 < я < й Рассмотреть случаи, когда на граничных плоскостях я = 0 и з=й а) поддерживается нулевая температура; б) имеет место тепловая изоляция; в) одна из граничных плоскостей (я = 0) теплоизолирована, а на другой (я = с) поддерживается нулевая температура; г) на обеих граничных плоскостях происходит конвективный теппообмен со средой нулевой температуры.
85. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника тепла дпя неограниченной балки с прямоугольным поперечным сечением 0 < х < )ы 0 < у < 1з, — со < х < +со, если на поверхности балки: а) поддерживается нулевая температура; б) имеет место тепловая изоляция.
86. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для прямоугольного паралпелспипсда 0 < х < 1ы 0 < у < 1з, 0 < г < 1з. Рассмотреть случаи, когда поверхность параллелепипеда: а) поддерживается при нулевой температуре; б) теппоизолирована. 95 Рл. К Уравненин параболического типа 8Т. Методом отражений построить функцию влияния мгновен- ного точечного источника тепла для неограниченного клина с углом раствора я/пчо где т натуральное число.
Рассмотреть случаи, когда граничные плоскости оо = 0 и во = я/т: а) поддерживаются при температуре, равной нулю: б) теплоизолированы. 88. Найти распределение температуры в неограниченном прост- ранстве, вызванное тем, что в начальный момент времени на сфери- ческой поверхности радиуса г выделилось мгновенно Я равномерно распределенных единиц тепла. (Построение функции влияния мгно- венного сферического источника тепла.) 89. С помощью функции источника, найденной в предыдущей за- даче, решить краевую задачу ди /дои 2 диз~ — =а 1, + — — ~+у(г, е), 0<г,1<+ос, д1 ~,дго е дг/ и(г, О) = Е(г). О < г <+ос, ° = оз'+7 +'л 90. Найти распределение температуры в неограниченном пространстве, вызванное тем, что в начальный момент времени на каждой единице длины бесконечной цилиндрической поверхности ра- диуса г' выделилось 12 равномерно распределенных единиц тепла.
(По- строение функции влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.) 91. С помощью функции влияния, найденной в предыдущей зада- че, решить краевую задачу — =и, + — — +~(г,1)., 0<г,1<+ос, (1) и(г, 0) = Е(г), 0 < г < +оо, где г — т/тз + р2 92. Найти функцию влияния мгновенного точечного источника для уравнения диффузии, если среда, в которой происходит диффузия, движется с постоянной скоростью и относительно рассматриваемой системы координат. 93.
Найти функцию влияния неподвижного точечного источника постоянной мощности для уравнения диффузии в среде, движущейся с постоянной скоростью и в направлении оси 25 если процесс диффузии стационарен и если переносом вещества в направлении оси л можно пренебречь по сравнению с переносом за счет движения среды (см. задачу 2). 94. Решить предыдущую задачу для полупространства 0 < з < < +со, рассмотрев случаи, когда: а) плоскость з = 0 непроницаема; б) на плоскости 2 = 0 поддерживается концентрация, равная нулю; в) плоскость е = 0 полупроницаема, причем под ней (т.е.
при 2 < 0) поддерживается концентрация, равная нулю. Услееин задач 95. Найти концентрацикс диффундирующего вещества в неогра- ниченном пространстве, выделяемого точечным источником мощнос- ти ~(с) с координатами х = ссзф, у = ф(1), х = зс(с), если начальная концентрация этого вещества в пространстве равна нулю. 96. Найти концентрацию диффундирующего вещества в неогра- ниченном пространстве, начальная концентрация которого равна )' ссе = сопку при 0 < г < ге, и~ с=о О при са <с <+ос, где г радиус-вектор сферической системы координат. 97.
Решить предыдущую задачу для полупространства х > О, предполагая, что ге < га, (0,0,ха) координаты центра сферы, в ко- торой начальная концентрация равна Га. Рассмотреть случаи, когда: а) плоскость х = 0 непроницаема для диффундирующего ве- щества; б) на плоскости я = 0 поддерживается концентрация, равная нулю. 98. Найти концентрацию диффундируюшего вещества в неогра- ниченном пространстве, если его начальная концентрация равна )'~Уа = соссзФ при О ( г < га, "~=- -10 при га <г <+со, где г — радиус-вектор цилиндрической системы координат. 99.
Решить предыдущую задачу для полупространства х > О, предполагая, что цилиндр параллелен оси х и его ось пересекает плос- кость х = 0 в точке (ха, 0), где хе > га. Рассмотреть случаи, когда: а) плоскость х = 0 непроницаема для диффундирующего ве- щества; б) на плоскости х = 0 поддерживается концентрация, равная нулю. 100. Канал с вертикальными стенками и непроницаемым дном внезапно заполняется водой так, что в одной его части, при х < О, по- лучается уровень воды Нс = соссз1з а в другой, при х > О, уровень воды Нз = сопвФ, и в дальнейшем эти уровни поддерживаются неизменны- ми (см. рис, в ответе задачи, вертикальная ось Н перпендикулярна к плоскости чертежа). В начальный момент уровень грунтовых вод в грунтовом слое у > 0 равен Но = сонэк Считая, что слой лежит на непроницаемом основании, являющем- ся продолжением дна канала, найти уровень грунтовых вод Н(х, у, 1) при 1 > 0 (у > 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
