Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 17
Текст из файла (страница 17)
139. Вычислить приближенно распределение заряда на внутрен- ней обкладке несимметричного сферического конденсатора, предпола- гая, что расстояние между центрами внутренней и внешней прокладок мало. 78 Услаеин задач 140. Найти потенциал заряженного тонкого кольца, полный заряд которого равен е. 141. Сферические координаты круглого кольца равны га = а, да = гс Шар радиуса 6 из диэлектрика с диэлектрической постоянной ез расположен так, что его центр находится в начале координат. Найти выражение для потенциала между кольцом и сферой, если линейная плотность заряда кольца равна м.
Диэлектрическая постоянная среды равна гз. 142. Вычислить потенциал электростатического поля заряженного тонкого кольца, помещенного внутри сферы с проводящими стенками, если на сфере поддерживается потенциал, равный нулю. Центры сферы и колодца совпадают. Вычислить нормальную составляющую электрического поля на сфере з = и. 143. Вычислить потенциал во всех точках проводящего шара с проводимостью и в том случае, когда ток 1 входит в один его полюс а = О и вытекает из полюса В = я.
144. Найти потенциал поля, создаваемого по одну сторону от бесконечной диэлектрической пластинки толщиной 1 точечным зарядом е, расположенным с противоположной стороны пластинки. 145. К поверхности земли я = О подводится ток 7 с помощью точечного электрода. Определить потенциал на поверхности земли, считая, что удельная проводимость земли до глубины я = 6 равна а ы а на большей глубине она равна пз. Полученное решение применить для случая двух электродов, находящихся в точках к=а и л= — а.
146. Сферический электрод радиуса и до половины погружен в землю, проводимость которой и, в горизонтальном направлении больше, чем в вертикальном и, (анизотропия). Найти распределение потенциала на поверхности земли, предполагая, что на поверхности электрода потенциал 1' = 'гэ. Указание. Следует ввести вместо я новую переменную 1=аз, о а, и При этом уравнение и,('гаа + г'„я) + и,'г;.— = О переходит в уравнение г' „+ гя„+ Ъп — — О. ~ 5.
Потенциалы и их применение В настоящем параграфе помещены задачи на вычисление объемного и поверхностных потенциалов для некоторых простейших случаев, а также краевые задачи, которые могут быть решены методами теории потенциалов. 147. Найти объемный потенциал г' шара при постоянной плотности р = ре, поставив краевую задачу для Г и решая ее. 148.
Решить задачу 147 прямым вычислением объемного интеграла. 79 Гл. !Ъ'.,Уравнения эллиптического типа муле 1 =А/ — "' +В, Л(а) = В(э) (аг + е)(Ьг + е)(сг + э) 149. Найти объемный потенциал: а) масс, распределенных с постоянной плотностью в сферическом слоеа<г (Ь: б) масс, распределенных внутри шара радиуса а с постоянной плотностью рг и в сферическом слое и < Ь < г < с с постоянной плотностью рг; в) масс, распределенных внутри сферы радиуса г = с с перемен- ной плотностью р = р(г). Получить отсюда решение задач 149,а) и 149,б). 150.
Найти потенциал простого слоя, распределенного с постоян- ной плотностью и = ио на сфере. 151. Найти электростатическое поле объемных зарядов, равно- мерно распределенных внутри шара, расположенного над идеально проводящей плоскостью г = О. 152. Найти логарифмический потенциал круга с постоянной плотностью заряда. 153. Найти логарифмический потенциал простого слоя отрезка с постоянной плотностью заряда. 154.
Найти логарифмический потенциал двойного слоя отрезка с постоянной плотностью моментов. 155. Определить потенциал простого слоя, равномерно распреде- ленного по круглому диску. 156. Найти вектор-потенциал кругового тока. 157. С помощью потенциала двойного слоя решить задачу Ди- рихле: а) внутри круга, б) вне круга. 158. Найти решение задачи Неймана для круга, пользуясь потен- циалом простого слоя. 159.
Решить первую и вторую краевые задачи для уравнения Лапласа в полупространстве, пользуясь поверхностными потенциалами. 160. Найти решение задачи Дирихле в полуплоскости, пользуясь потенциалом простого слоя. 161. Рассмотрим поверхности Е второго порядка, определяемые уравнением + " + =1, аг+е Ьг+е ег+л где а > Ь > с. Если — с < е < оо, то поверхности суть эллипсоиды, г при — Ь < э < — с -" однополостные гиперболоиды, при — а < л < г г г < — Ь --.
двухполостные гиперболоиды. При е = оо мы имеем сферу г с бесконечным радиусом, а при э = — с эллипсоид сплющивается в эллиптический диск, лежащий в плоскости ту. Показать, что поверхности рассматриваемого семейства могут быть эквипотенциальными, а их потенциал определяется по фор- Условия задач 80 где А и  — постоянные, определяемые из условий на бесконечности и на поверхности Е. 162.
Пользуясь решением предыдущей задачи, найти выражение 2 3 3 для потенциала заряженного проводящего эллипсоида —, + —, + —, аз уз со 1, на котором распределен заряд е. (Ниэлектрическая проницаемость среды ж) Определить емкость эллипсоида, а также поверхностную плотность заряда на эллипсоиде. Рассмотреть эллипсоид вращения. 163. Пользуясь решением задачи 162, вычислить поверхностную плотность заряда для эллиптического диска.
Определить потенциал, емкость и плотность зарядов для круглого диска. 164. Показать, что гравитационный потенциал однородного эллипсоида х у — + — + — =1 аз Ьз сз дается интегралами Г(х, у, з) = ро / ' ' ' сЬ внутри эллипсоида, о Г1 — 11х, у, яц з) $'(х, у, з) = ро ~ ' ' ' ' дз вне эллипсоида, В(в) где Л(з) = ро объемная плотность потенциала, Л --. эллипсоидальная координата --. положительный корень з = Л уравнения Дх, у, з; з) = О. 165. Вычислить гравитационный потенциал: а) вытянутого эллипсоида вращения; б) сплюснутого эллипсоида вращения (см.
задачу 162). Рассмотреть предельный переход к однородному шару. 166. Найти логарифмический потенциал эллиптической области с постоянной плотностью с помощью прямого вычисления интегралов. 167. Проводящий эллипс, определяемый уравнением х у — ',+ —,=1 (а>б>0), аз заряжен до потенциала гш Определить потенциал вне эллипса, а также плотность зарядов, распределенных на эллипсе. 168.
Вычислить силу взаимодействия двух коаксиальных проволочных петель С, и Со с радиусами а и 6, по которым протекают токи У и 1'. Контуры расположены в параллельных плоскостях з = 0 и я=4,центрыихнаходятсявточках х=у=я=О и х=у=О, з = И. 81 1 и 11'. Уравнения эааиптичеекоео типа 169. Вычислить коэффициент взаимной индукции двух коаксиальных проволочных колец 1 и 2, пользуясь формулой Мзз = ~Азову —— ~и~~ = Лайзы 1 1 2 где Ая вектор-потенциал поля, создаваемого током единичной силы, текущим по контуру 2:, д -- магнитная проницаемость среды. 170. Показать, что выражение для потенциала, созданного заряженным кольцом радиуса а, имеет вид 2е г — ~ Ке(Ла)1е(Лр) сов Ляе)Л при р < а, о 2е — ~ 1а(,Ла)Ке(Лр) соз Ля е)Л при р > а, о где е заряд кольца.
171. Показать, что потенциал, созданный в окружающем пространстве диском радиуса а, несущим заряд е, равен Ъ'(р,з) = — ' ) е ~'~,Уе(Лр)е е~Л. еа у Л о 6 Б.М. Булак и яр. Глава у' УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЬ1ЕСКОГО ТИПА Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитного поля в проводящих средах, движение вязкой жидкости, движение грунтовых вод и др. В настоящей главе рассматривается постановка и рещение краевых задач для уравнений параболического типа в случае, когда изучаемые физические процессы характеризуются функциями двух, трех или четырех независимых переменных, она является продолжением главы третьей, в которой рассматриваются уравнения параболического типа для функций двух независимых переменных. З 1.
Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач 1. Полупространство я > О заполнено жидкостью с коэффициентом теплопроводности Л, плотностью массы р и удельной теплоемкостью с. Поставить краевую задачу о нагревании жидкости, если жидкость движется со скоростью пэ — — сопзФ в направлении оси я, между нею и плоскостью я = О происходит тсплообмен по закону Ньютона, температура граничной плоскости у = О равна ие. Рассмотреть, в частности, случай стационарного распределения температуры при условии, что переносом тепла в направлении оси т за счет теплопроводности можно пренебречь по сравнению с переносом тепла движущейся массой жидкости.
2. Сформулировать диффузионную задачу, аналогичную задаче 1, предполагая плоскость г = О непроницаемой для частиц диффундирующего вещества; поставить соответствующие краевые задачи в нестационарном и стационарном случаях. 3. Вывести уравнение диффузии для вещества, частицы которого: а) распадаются (например, неустойчивый газ, радон), причем скорость распада в каждой точке пространства пропорциональна концентрации; 83 1'л.
К Уравнения параболического пвипа б) размножаются (например, диффузия нейтронов при наличии деления ядер), причем скорость размножения в каждой точке пространства пропорциональна концентрации. 4. Поставить краевую задачу о распространении электромагнитного поля в неограниченном пространстве, заполненном проводящей средой с проводимостью и = сопзФ,магнитной проницаемостью )з = = сопзФ и диэлектрической постоянной е = сопзц 5. Поставить краевую задачу об остывании неограниченной плоской пластины, если на ее поверхности происходит конвективный теплообмон с окружающей средой, температура которой равна нулю.
Рассмотреть, в частности, случай, когда изменение температуры по толщине пластины пренебрежимо мало. 6. Круглая цилиндрическая труба заполнена жидкостью с очень большой теплопроводностью ); вне трубы находится воздух с температурой Пе = сопз). Поставить краевую задачу об определении температуры трубы, предполагая, что она не зависит от расстояния, отсчитываемого вдоль трубы. Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
