Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Начальная температура полуограниченного стержня с тепло- изолированной боковой поверхностью задана и(т, 0) = Дт), 0 < и < +ос, а на конце т = 0 происходит конвективный теплообмсн с внешней сре- дой. Как должна меняться температура внешней среды, чтобы тем- пература конца стержня менялась по заданному закону и(0, г) = р(г), д(0) = Д(0), 0 < ~ <+со? Рассмотреть частный случай, когда Д(т) = О. 97. Решить задачу 9б при условии, что на боковой поверхнос- ти стержня происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры. 98.
Решить задачу 96 при условии, что на боковой поверхности стержня происходит конвоктивный теплообмен со средой, температу- ра которой равна нулю. 99. Решить краевую задачу ир = ази„+ У(т, 1), 0 < 1 < +ос, ио~ < т < +со, и(я, 0) = О, 0 < х < -~-оо, и(иааф Е) — О О < й < тоо.
Га. 111. Уравнения парабваическвво типа 100. Решить краевую задачу оа — — а и,„,, 0<1<+ос, ио1<х<+ос, и(х., 0) = 1'(х), 0 < х < +ос, и(ио1, 1) = О, О < 1 < +ос. 101. Решить краевую задачу ив — — аяиая, 0 < 1 < +ос, ио1 < х < +ос, и(х, 0) = О, 0 < х < +ос, и(ио1, 1) = д(1) 0 < 1 < +ос. 102. Решить краевую задачу ив —— а и„+Д(х, 1), 0 <1<+ос, оо1< т <+ос, и(х, 0) = 1(х), 0 < х < +ос, иа(ио1 1) = д(1) 0 < 1 < +ос.
о) Конечный отрезок. Задачи 103 — 105 на построение функций источника, предлагаемые в этом пункте, требуется решить двумя способами: методом отражений и методом разделения переменных; один из них дает хорошее представление для функции источника при малых значениях времени 1, а другой -- при больших. 103. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника для конечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его концы поддерживаются при температуре, равной нулю.
Оценить остатки рядов, представляющих решение. 104. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для конечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его концы также теплоизолированы. Оценить остатки рядов, представляющих решение. 105. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для конечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если один его конец (х = 0) теплоизолирован, а другой (х = Ц поддерживается при нулевой температуре. Оценить остатки рядов, представляющих решение.
106. а) Найти 1в', начиная с которого для остатка ряда (2) решения задачи 103 выполняется неравенство ~Лч(х; ч, 1)( < е (Ц при 0<х, ~(1, 0<1<1'. б) Найти 1в', начиная с которого для остатка ряда (12) решения задачи 103 выполняется неравенство (Ц при 0 < х, ( < 1, О < 1 < 1*. 107. Решить предыдущую задачу для рядов (Ц и (6) ответа к задаче 104. 108. Решить задачи 103 105 в случае, когда на боковой поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 60 Условия задач 109.
С помощьн> функции источника, найденной в решении задачи 103, решить краевую задачу и~ — — а иле+1(х,1), 0 <х<1, 0<1<+со, и(0, 1) = у(1), .и(1, 1) = О, О < 1 < +ос,. и(х, 0) = Хо(х), 0 < х < 1. 110. С помощью функции источника, найденной в решении задачи 104, решить краевую задачу и~ — — а~ил, + 1(х,. 1), О < х < 1, О < 1 < ч-со,. ил(0,1) = у(1), и(1, 1) = О,. 0 <1 <+ос, и(х, 0) = 1о(х), 0 < х < 1. 111.
Температура одного конца стержня (х = 0) поддерживается постоянной и отличной от нуля, и(0,1) = Уе ф О, а температура другого конца (х = 1) все время равна нулю, и(1, 1) = О. Найти температуру стержня, если его боковая поверхность теплоизолирована, а начальная температура равна нулю; дать выражение температуры стержня через интеграл ошибок. 112. Один конец стержня (х = 1) теплоизолирован, а на другой конец (х = 0) подается постоянный тепловой поток [ — Ли (О, 1) = — Лче).
Найти температуру стержня, если его начальная температура равна нулнц а боковая поверхность теплоизолирована; дать выражение температуры стержня через интеграл ошибок. 3. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с кусочно постоянными коэффициентами и условия сопряжения. 113. Неограниченный стержень — со < х < +ос с теплоизолированной боковой поверхностью и постоянным поперечным сечением получен соединением в точке х = 0 двух однородных полуограниченных стержней — со < х < 0 и 0 < х < +со; торцы стержней плотно примыкают друг к другу.
Начальная температура, коэффициент температуропроводности и коэффициент теплопроводности левого и правого стержней соответственноравны 1з'з = сопзг, аы йы 1зз = сопз1, аю Лю Найти температуру составного стержня. 114. Решить предыдущую задачу, если начальная температура равна ( 0) (Л(х), — < х < О, и(х, 0) = 1 [уз(х), 0 < х <+со.
115. Неограниченный стержень составлен из двух полуограниченных стержней, как указано в задаче 113. Найти температуру стержня при 1 > О, если в момент времени 1 = 0 в его точке С = 0 выделилось мгновенно Я = сзрз единиц тепла, а начальная температура стержня была равна нулю. Га. 111. Уравнения параооаипееноео типа 116. На конец полуограниченного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью насажен шарик с теплоемкостью Се и очень большой теплопроводностью, так что в каждый момент времени шарик можно считать равномерно нагретым, а его температуру равной температуре конца стержня.
Пусть поверхность шарика также тепло- изолирована. Найти температуру стержня, если его начальная температура равна и(х,О)=Дх)., 0<х<+со, причем Д+0) и ~~(+0) существуют. 117. Пусть полупространство х > 0 заполнено жидкостью с коэффициентами тсмпературопроводности и теплопроводности Йз, аз и начальной температурой 11з = сопев, а плоскость х = 0 поддерживается при постоянной температуре Уз < Гз, причем 11~ ниже температуры замерзания жидкости. Найти закон распространения фронта промерзания жидкости, а также температуру жидкости и твердого вещества, в которое жидкость превращается при промерзании.
Глава 1Ъ' УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИс1ЕСКОГО ТИПА К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стационарных, т. е, не меняющихся во времени, процессов различной физической природы. Сюда относятся стационарные электрические и магнитные поля (электростатика, магнитостатика, поля постоянного электрического тока), потенциальное движение несжимаемой жидкости, стационарные тепловые поля и др. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа Ьи = О, которому в основном и посвящена настоящая глава. Ниже, в гл. Ъ'П, помещены задачи для других уравнений эллиптического типа.
Э 1. Физические задачи, приводягпие к уравнениям эллиптического типа, и постановка краевых задач 1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде. В отличие от уравнений гиперболического и параболического типов краевые задачи для эллиптического уравнения характеризуются отсутствием начальных условий. В зависимости от типа краевых условий для уравнения Лапласа различают: первую краевую задачу (задачу Лирихле), если и~ = 1ы вторую краевую зади дачу (задачу Неймана), если — = 6, третью краевую задачу, если дн в ( ди + ли~ = уз где Л, уз, 1з некоторые функции, заданные на дп 1г границе Е области, в которой ищется решение уравнения Лапласа.
1. Стационарное температурное поле. Вывести уравнение, которому удовлетворяет температура стационарного топлового поля в однородной среде; при выводе уравнения учесть наличие распределенных источников тепла, не меняющихся во времени. Пать физическую интерпретацию краевых условий первого, второго и третьего рода. Установить необходимое условие существования стационарной температуры для второй краевой задачи.
2. Уравнение стационарной диффузии. Вывести уравнение стационарного процесса диффузии: Гл. 1Ъ'. Уравнения эллиптического типа а) в покоящейся однородной изотропной среде; б) в однородной изотропной среде., движущейся с заданной скоростью, например, вдоль оси я. 3. Уравнение электростпатики.
Показать, исходя из уравнений Максвелла, что потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Пуассона с правой частью, пропорциональной объемной плотности зарядов р(к, д, 2) Лать физическую интерпретацию краевых условий первого и второго рода. 4. Уравнение магнитостагаики. Показать,что потенциал стационарного магнитного поля при отсутствии электрических токов удовлетворяет уравнению Лапласа. 5. Поле посгаоянного электрического тока. Убедиться в том, что потенциал электрического поля постоянного электрического тока удовлетворяет уравнению Лапласа.
Сформулировать граничные условия: 1) на заземленной идеально проводящей поверхности: 2) на границе с диэлектриком. 6. Потаенииальное движение несжимаемой жидкости. Показать, что потенциал скоростей стационарного потока несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа. Написать краевое условие на поверхности твердого тела, покояэцегося или движущегося с некоторой заданной скоростью. 7. Основные задачи электростатики. Электростатическое поле, создаваемое заряженным проводником конечных размеров, можно определить: 1) задавая значение потенциала проводника; 2) задавая значение заряда проводника. Эти задачи называются первой и второй основными задачами электростатики.
Дать математическую формулировку первой и второй задач электростатики. 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа в неоднородных средах. В неоднородной, но изотропной среде основное уравнение стационарного поля имеет вид Жч(й бган и) = 0 или где характеристики среды й = й(я, р, 2) переменная величина. Если коэффициент й терпит разрыв на некоторой поверхности, то на этой поверхности выполняются условия сопряжения и1 = из, (1) к1( — ) =кз( — ) (2) где значки 1 и 2 означают соответственно левое и правое предельные значения на поверхности разрыва. Услоеин задач 8.
Решить задачу 1, считая, что коэффициент теплопроводности является переменной величиной к = й(х, у, з). Поставить краевую задачу теплопроводности для случая кусочно однородной среды (для случая кусочно постоянного й), предварительно выведя условия сопряжения (1) и (2). Пать физическую интерпретацию этих условий.
9. Написать уравнение для потенциала электрического поля в неоднородном диэлектрике с диэлектрической постоянной е =е(х, у, х). Предполагая е(х, у, х) кусочно постоянной, вывести условия сопряжения на поверхностях разрыва функции е(х, у, х) и сформулировать соответствующую краевую задачу. 10. Решить задачу, аналогичную задачам 8 и 9,. для стационарного магнитного поля. 11. Решить задачу, аналогичную задачам 8 и 9, для электрического поля постоянного тока. 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
