Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 11
Текст из файла (страница 11)
111. Уравнение параболического типа 29. Найти температуру стержня 0 < л < 1 с теплоизолированной боковой |юверхностью, один конец которого (х = 0) теплоизолирован, а на другом конце (х = 1) происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна Уо = сопев. Начальная температура стержня равна нулю. Оценить погрешность, допускаемую при замене суммы ряда, представляющего решение в точке х = О, его частичной суммой; найти момент времени, с которого на конце и = 0 заведомо будет иметь место регулярный режим ) с относительной точностью е.
30. а) Найти температуру стержня 0 < х < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если на каждом из его концов происходит конвективный теплообмен с внешней средой, имеющей постоянную температуру, а начальная температура произвольна. б) Рассмотреть, в частности, случай, когда температура внешней среды на обоих концах одинакова, а начальная температура стержня равна нулю, и установить связь с решением задачи 29. 31.
Решить задачу 30, а), предполагая, что на боковой поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 32. Найти распределение температуры в тонком однородном кольце Единичного радиуса, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, имеющей постоянную температуру; начальная температура кольца произвольна ). Рассмотреть,в частности, случай, когда в начальный момент времени кольцо было равномерно нагретым. б) Задачи теплопроводности с переменными граничными условияма и свободными членами, завиеяи4ими от и и 1. 33.
Найти распределение температуры в стержне 0 < х < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если на его конце х = 0 поддерживается температура, равная нулю, а на конце х = 1 температура меняется по закону и(1,1) =А1, А=сопзс, 0<1<+со. Начальная температура стержня равна нулин 34.
Найти температуру стержня 0 < х < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если по стержню непрерывно распределены тепловые источники, плотность которых равна Ф(1) з1п(ял,ч), начальная температура стержня является произвольной функцией 1(х), а температура концов поддерживается равной нулю. 35. а) Найти температуру стержня 0 < л < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью, осли его начальная температура является произвольной функцией ~(х), температура концов поддерживается равной нулю, по стержню непрерывно распределены источники тепла, плотность которых равна Р(х, 1).
Н См, задачу 22 и сноску к задаче 27. е) См, задачу 3. 4 Б.М. Булак и лр. 50 Условия задач б) Рассмотреть, в частности, предельный случай, когда в стержне действует лишь один сосредоточенный источник постоянной мощнос- ти 11. находЯщийсЯ в точке лв, 0 < Яв < 1, а начальнаЯ темпеРатУРа стержня равна нулю. 36. По стержню 0 < я < 1, на боковой поверхности которого про- исходит конвективный тгплообмен со средой (температура среды рав- на нулю), движется печь с постоянной скоростью ив.
Поток тепла от печи к стержню равен л1(1) = Ае ~л, где Ь вЂ” коэффициент теп- лообмена, входящий в уравнение теплопроводности для стержня ил = г, = а и,, — Ьи. Найти температуру стержня, если его начальная темпе- ратура равна нулю и температура концов все время поддерживается равной нулю. Зл. Решить задачу 35,а) для стержня 0 < я < 1 с теплоизолиро- ванной боковой поверхностью, если на его концах происходит конвек- тивный теплообмен со средой, температура которой меняется по за- данному закону. 38. Найти температуру и(х, 1) стержня, решая краевую задачу ил=ага„— Ни+Д(л,1), 0<я<1, 0<1<+со, (1) и~(0, 1) — Ьи(0, 1) = улл(1),.
ия(1, 1) + Ьи(1, 1) = флг(1), О <1<+ос, (3) и(и,О)=лр(я), 0<я<1, путем сведения к однородной краевой задаче. 39. Найти асимптотическое выражение при 1 -+ +ос для температуры и(я, 1) в стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на его колщах выполняется одно из следующих граничных условий: а) и(0, 1) = О, лл(1, 1) = Асозал1, 0 < 1<+ос; б) и(0,1) = О, ия(1, 1) = Асояал1, 0 < 1 < +со; в) и(0, 1) = О, и,(1, 1) + Ьи(1, 1) = Асовил1, 0 < 1 < -Ьоо. 40. На поверхности тонкого кольца единичного радиуса проходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю; начальная температура кольца равна нулю г). В некоторой фиксированной точке кольца в начальный момент времени выделилось Ц единиц тепла.
Найти температуру кольца. Рассмотреть точку кольца, диаметрально противоположную точке, в которой выделилось тепло, и оценить шггрешностгч допускаемую при замене суммы ряда, представляющего решение в этой точке, его частичной сумлюй. в) Задачи диффузии. 41.
давление и температура воздуха в цилиндре 0 < л < 1 равны атмосферным: один конец цилиндра с момента 1 = 0 открыт, а другой остается все время закрытым. Концентрация некоторого газа в окружающей атмосфере равна Гв = голлям С момента 1 = 0 газ диффундирует в цилиндр через открытый конец. Найти количество газа, ') См. задачу 32, а также задачу 3.
1'л. 111. Уравнения параболичееноео поила продиффундировавшего в цилиндр, если его начальная концентрация в цилиндре равна нулю. 42. Решить предыдущую задачу, предполагая, что оба конца цилиндра закрыты полунепроницаемой перегородкой, через которую и происходит диффузия. 43. Решить задачу 41, предполагая, что диффундирующий газ распадается, причем скорость распада в каждой точке пропорциональна концентрации газа в этой жс точке. 44.
В цилиндре 0 < я < 1 находится диффундирующее вещество, частицы которого размножаются, причем скорость размножения в каждой точке пропорциональна концентрации вещества в этой же точке. Найти критическую длину цилиндра ) для случаев, когда: а) на обоих концах цилиндра поддерживается концентрация, равная нулю; б) на одном конце поддерживается концентрация, равная нулю, а другой закрыт наглухо:, в) оба конца цилиндра закрыты наглухо. и) Задачи элекгпродинаиики. 45. Найти электрическое напряжение в проводе 0 < л ( 1, один конец которого изолирован, а к другому приложена постоянная электродвижущая сила. Распределенная самоиндукция и утечка провода пренебрежимо малы, начальный потенциал равен ио = сопзги а начальный ток равен нулю.
46. Распределеннал самоиндукция и утечка провода 0 < л < 1 равны нулю; начальный потенциал и начальный ток также равны нулю. Найти напряжение в проводе, если один его конец 1я = 1) заземлен чеРез сосРедоточеннУю емкость Со, а к дРУгомУ 1а = 0) пРиложена постоянная электродвижущал сила Ео. 47.
Найти электрическое напряжение в проводе 0 ( а < 1 с пренебрежимо малой самоиндукцией и утечкой, если его конец л = 1 заземлен, начальный ток и начальный потенциал равны нулю, а к концу х = 0 приложена постояннал электродвижушая сила Ео через сосредоточенное сопротивление Йо. 48. Проводящий слой 0 < т. < 1 был свободен от электромагнитных полей. В момент 1 = 0 всюду вне слоя возникло постоянное однородное магнитное поле Но, параллельное слою. Найти магнитное поле в слое при 1 ) О. Найти момент времени, начиная с которого в середине слоя заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью ж 2. Неоднородные среды н сосредоточенные факторы.
Уравнения с переменными коэффициентами н условия сопряжения. 49. Стержень 0 < я < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью и постоянным поперечным сечением составлен из двух одно- в) О понятии критических размеров см. [7, с. 471, .472]. 52 Условия задач родных стержней 0 < х < хв, ха < х < 1 с различными физическими свойствами. Найти температуру в стержне, если его концы поддерживаются при температуре, равной нулю, а начальная температура произвольна. 50.
Найти температуру однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, в точке хе которого (О < ха < 1) находится сосредоточенная теплоемкость Са. Начальная температура стержня произвольна, а концы поддерживаются при температуре, равной нулю. 51. Найти температуру стержня 0 < х < «с теплоизолированной боковой поверхностью, имеющего форму усеченного конуса (см.
задачу 17), если температура концов стержня поддерживается равной нулкд а начальная температура стержня произвольна. 52. Решить предыдущую задачу для стержня, боковая поверхность которого получается вращением кривой у = Ае "~ вокруг оси х. 53. Тяжелая вертикальная плоскость находится в слое вязкой жидкости, заключенном между двумя неподвижными вертикальными плоскостями. В момент « = 0 плоскость начинает падать. Найти ее скорость и скорости частиц вязкой жидкости, если начальные скорости равны нулю и если падающая плоскость равноудалена от граничных плоскостей. действием поля силы тяжести на жидкость пренебречь. 2 3. Метод интегральных представлений и функции источников В настоящем параграфе рассматривается применение интегральных представлений к решению краевых задач для уравнения ие = ази„+ Ьи+ «(х, «) (где Ь и у могут быть тождественно равными нулю) в случае неограниченной прямой,полупрямой и конечного отрезка.
Сначала даются задачи на применение интегрального преобразования Фурье. Затем идут задачи на построение функций источников (функций Грина) и применение их к решению краевых задач. 1. Однородные изотропные среды. Применение интег- рального преобразования Фурье к задачам на прямой и полу- прямой. Применяя интегральное преобразование Фурье ), решить слеп дующие краевые задачи.
54.и«=а иа, — оо<х<+оо, 0<«<+со, и(х, 0) = 1(х), -со < х < +ос. 55. ие — — ази,, + Д(х, «), — со < х < +со, 0 < «< +ос, и(х, 0) = О, — оо < х < +ос. е) См. ответы и указания, гл. П, е З4, с. 255. Гп. 1П. Уравнения парабопипеепоео типа 56.не=а и„, 0<х, С<+со, и(О,С) =О, 0<С<+ос, и(х, 0) = Дх), 0 < х < +со. 57.не=а и„, 0<х, С<+со, и,(0, С) = О., 0 < С < +со, и(х, 0) = С" (х), О < х < +со. 58. ие — — а и,, 0 < х, С < +со, и(0, С) = |р(С), 0 < С < -~-со, и(х, 0) = О, 0 < х < +со. 59.
ие — — а,'и, „0 < х, С < +ею, и,(0, С) = ср(С), 0 < С <+ею, и(х, 0) = О, 0 < х < +сю. 60. ие —— ази + С(х, С), 0 <х, С<+со, и(0, С) = О, О < С < +ею., и(х, 0) = О, 0 < х < +со. 61.ие — — а и, +зе(х,С), 0<х,С<+оо, и,(0, С) = О, О < С < +сю, а(х, 0) = О, 0 < х < +со.
62. Воспользовавшись уравнением из задачи 186 гл. П, доказать, что /' ' "ы= " ~. "( ." .")ес. о е 63. Воспользовавшись уравнением из задачи 187 гл. П, доказать, что -~-ее Еее """"*ы= — ")' °" ( .' —;*..")ее 64. Применяя преобразование Фурье с ядром К(х, Л) = 2 ЛсоеЛх+ Лз1пЛх , решить краевую задачу 7Г + ие=а и „0<х, С<+ос, и. (О, С) — Сси(0, С) = — Лср(С), и(х, 0) = О, 0 < х < +ос. 65. Применяя преобразование Фурье с таким же ядром, как в предыдущей задаче, решить краевую задачу ие=ази„, 0<х,С<+со, и,(О,С) — Ьи(О,С)=0, 0<С<+оо, и(х, 0) = С" (х), О < х < +сю. 54 Условия задач 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
