Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Подобие различных стационарных полей. Установить подобие между полем постоянного электрического тока, с одной стороны, и термическим, электростатическим, магнитостатическим полями, полем концентраций стационарного процесса диффузии и полем скоростей потенциального течения несжимаемой жидкости, с другой стороны. Сравнить условия сопряжения на границе разрыва физических констант. з 2.
Простейшие задачи для уравнений Лапласа и Пуассона В этом параграфе даны краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона, решения которых могут быть найдены непосредственно, простым подбором, без применения общих методов. 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа. 13. Рассмотрим круг радиуса а с центром в начале координат. Пусть (р, у) полярные, а (х, у) прямоугольные координаты.
Найти решение первой внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа, если заданы следующие граничные условия; а) и~ = А; б) и~ = Асозео; в) и~ = А+ Ву; г) и~ = Аху: д) и~ = А -~- В яшар, е) и~ =Азшзез+Всоззу. где А и В постоянные. 14. Решить вторую внутреннюю краевую задачу дп С для круга С радиуса а с центром в точке р = 0 для следующих част- Гл. !Ъг. уравнения эллипти ~еского типа ных случаев: а) ! = А; б) Е = Ах; в) Е = А(х~ — у'); г) Е = Асозгэ+В; д) ! = Аз!пег+ ВзЕп и».
Отметить неправильно поставленные задачи. 15. Найти функции и(р, еэ), гармонические вне круга радиуса р = = а и удовлетворяющие граничным условиям а) . е) задачи 13 (первая внешняя краевая задача для круга). 16. Найти функции и = и(р, у), гармонические вне круга радиу- са р = а и удовлетворяющие граничным условиям задачи 14 (вторая внешняя краевая задача для круга).
17. Найти функцию и = и(р, д), гармоническую внутри кольца а < р < Ь и удовлетворяющую граничным условиям и~ =им и~ =из. Пользуясь решением задачи, найти емкость цилиндрического конден- сатора, рассчитанную на единицу длины. 18. Найти функцию, гармоническую внутри кругового сектора 0<р<а, 0<у<а, если и), = — иэ., и( „=О, и), =ив. 19. Найти решение уравнения Лапласа в полуплоскости у > О, принимающее при у = 0 граничные значения и = иэ1 при т < 0; и = = еог при т > О, и сравнить его с решением задачи 18. 20.
Определить функцию и, гармоническую: а) внутри сферы радиуса г = а; б) вне сферы г = а; и принимающунэ на сфере значение ао. 21. Определить стационарное распределение температуры внут- ри сферического слоя а < г < 6, если сфера г = а поддерживается при температуре иы сфера г = 6 при температуре иг. 22. Пользуясь решением задачи 21, найти емкость сферического конденсатора, заполненного диэлектриком с диэлектрической посто- янной г = сопя! и ограниченного сферами г = а и г = Ь. 23. Найти емкость сферического конденсатора, заполненного не- однородным диэлектриком с диэлектрической постоянной г! при а <г< с, е = при с<с<6.
24. Решить задачу, аналогичную предыдущей задаче, для ци- линдрического конденсатора. 25. Найти потенциал электростатического поля сферы радиуса а, заряженной до потенциала ио и помещенной в неограниченную среду со следующим распределением диэлектрической постоянной; гз при а<с<с, г= гг при г>с. 5 Б.М. Булак и лр. Условия задач Рассмотреть частные случаи: а) с = со; б) ез = оо; в) еь = ез = е.
26. Найти электростатическое поле бесконечного проводящего цилиндра радиуса р = а, заряженного до потенциала иа и окруженного диэлектрической обкладкой, ограниченной цилиндрической поверхностью радиуса р = Ь, на которой поддерживается нулевой потенциал. 27. Нанти функцию и, гармоническую внутри слоя, ограниченного плоскостями з = О и з = 6, если 28. Найти емкость плоского конденсатора, рассчитанную на единицу площади обкладок, если между обкладками конденсатора находится диэлектрик с диэлектрической постоянной е.
Рассмотреть два случая: )еь при О<з<6ь, а)е=сопзэ при О<я<6, б)с=с '1ся при 6ь <я<6. Определить функцию и = и(х, у), гармоническую внутри прямоугольника 0 < х < а, 0 < р < 6 и удовлетворяющую условиям да и(х,О) = иь, и(х, 6) = из, — е — — О. 2. Краевые задачи для уравнения Пуассона. 30. Найти решение уравнения Пуассона Ьи = 1 внутри круга радиуса р = а, если и~ = О. 31. Решить уравнение Ьи = А внут|зи круга радиуса р = а при ди граничном условии — = В, выбрав постоянную В так, чтобы дп р= задача имела решение.
32. Требуется определить решение уравнения Ьи = А внутри кольца а < р < Ь при следующих граничных условиях: а) и~ =вы и~ =из', б) и~, =им — — — С; дв дп р=ь дв дв в) — =Вь, — =С. дп р=а ' дп р=ь Определить постоянные, при которых задачи имеют решения.
33. Найти решения: а) уравнения Ьи = 1; б) уравнения Ьи = Аь + В; внутри сферы т < а, если на сфере выполняется граничное условие и) = О. 34. Найти внутри сферического слоя а < г < Ь решения уравнений: а) ьзи = 1; б) Ьи = А+ —; В. при граничных условиях и~ = О, и~ = О. Гл. 1Ъ'. Уравнения эллипти ~ееноео типа 3 3. Функции источника Функция влияния точечного источника (функция Грина) является весьма мощным средством решения краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона. Настоящий параграф содержит задачи на построение функции источника для ряда областей, допускающие применение метода зеркальных изображений (метода отражений); при этом исходной являете 1 ся функция источника в неограниченном пространстве, равная 4я г' е где — -- мощность источника (заряд).
4я Возможны различные физические интерпретации функции источника 1электростатическая, термическая и т.д.). При формулировке задач мы обычно пользуемся электростатической интерпретацией функции источника, предполагая границы областей идеально проводящими и заземленными. Задачи на построение функции источника методом разделения переменных даны в з 4.
1. Функция источника для областей с плоскими границами. 35. Найти потенциал поля точечного электрического заряда, помещенного над идеально проводящей заземленной плоскостью е = О, и вычислить плотность поверхностных индуцированных зарядов. Написать решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа в полупространстве е > О. 36.
Найти потенциал точечного заряда внутри слоя, ограниченного двумя идеально проводящими плоскостями з = О и которые поддерживаются при потенциале, равном нулю. Исследовать сходимость ряда, построенного методом отражений, и показать возможность двукратного почленного дифференцирования этого ряда. 37. Рассмотреть задачу о точечном источнике тока в проводящем слое 0 < я < 1,изолированном вдоль плоскостей я = О и я = 1. Найти компоненты электрического поля и убедиться в том,что непосредственное применение метода отражений для нахождения потенциала дает расходящийся ряд. 38.
Рассмотреть задачу 37, считая, что одна стенка изолирована, а на второй .. потенциал поля равен нулю. Исследовать сходимость рядов для потенциала. 39. Построить функцию источника для уравнения Ьи = 0 в полупространстве я > 0 при граничном условии третьего рода ди — +Ьи=О при я=О. дэ 40. Найти потенциал точечного заряда внутри «полуслоя» 0 < < г ( 1, я > О, ограниченного плоскостями я = О, е = 1 и х = О, считая, что стенки идеально проводящие и имеют нулевой потенциал. 68 Услааин задач 41. Внутри двугранного угла величиной и = я/и (н — натуральное число), ограниченного идеально проводящими стенками с нулевым потенциалом, точечный электрический заряд.
Найти электрическое поле, порождаемое этим зарядом. 42. Пвугранный угол задачи 41 пересекают две идеально проводягцие плоскости з = О и з = 1, перпендикулярные к ребру двугранного угла. Внутри области, ограниченной двугранным углом и этими плоскостями, помещен точечный заряд. Потенциал всех плоскостей равен нулю. Определить потенциал поля этого заряда. Рассмотреть частные случаи; а) н = .г (ср. с зада шй 36); б) 1 -э оо (ср. с задачей 35). 43. Внутри двугранного угла задачи 41 помещен источник тепла мощностью Я. Найти стационарное распределение температуры внутри этого угла, если его стенки теплоизолированы. 44.
Решить с помошьк> функции источника первую краевую задачу внутри двугранного угла величиной и = я(п, где и .— натуральное число, если на его сторонах заданы граничные условия и( =О, и) =К 45. Решить с помощью функции источника первую краевую задачу для уравнения Лапласа в полуплоскости у > О, если 10 при т(О, ~я=.о ( Ъ' при к > О. 46. Найти потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом внутри бесконечной цилиндрической полости, считая, что граница области идеально проводящая и имеет нулевой потенциал, а перпендикулярное сечение полости имеет форму прямоугольника со сторонами п и д. 47. Решить задачу 46, предполагая, что перпендикулярное сечение имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника.
48. Решить задачу 46 для зюлубесконечной цилиндрической полости з > О. 49. Найти выражение для потенциала точечного заряда внутри прямоугольного параллелепипеда с идеально проводящими стенками, которые поддерживаются при нулевом потенциале. 2. Функция источника для областей со сферическими (круговыми) и плоскими границами. 50. Найти потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом е внутри заземленной сферы. 51. Пользуясь решением задачи 50, найти плотность поверхностных зарядов, индуцированных на сфере, и написать решение первой Гл. 11'. Уравнения эллапта ~ееквев типа внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа внутри сферы; получить отсюда формулу Пуассона, дающую решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа (см. [7, гл.
гв', с. 327)). 52. Найти потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом, находящимся вне заземленной сферы. 53. Пользуясь решением задачи 52, вычислить плотность поверхностных зарядов на сфере и написать решение первой внешней краевой задачи для сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
