Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Бесконечный круглый цилиндр радиуса гв с моментом инерции К на единицу длины находится в вязкой жидкости; при 1 ) 0 он приводится во вращение действием момента М на единицу длины. Пользуясь выражением в цилиндрических координатах уравнений движения вязкой жидкости и составляющих тензора напряжений ), поставить краевую задачу о движении вязкой жидкости и цилиндра. 8. Слой грунта лежит на водонепроницаемом горизонтальном основании и содержит в себе грунтовые воды. Вектор 11 потока грунтовых вод связан с вектором Ъ' скорости движения частиц этих вод соотношением 11 = гпЪ' где коэффициент гп называется пористостьк> грунта.
Сила сопротивления, приложенная к частице воды, отнесенная к удельному весу воды, согласно экспериментальному закону равна 1 1 = — — Е7, )о где Й есть так называемый коэффициент фильтрации ). Назовем избыточным давлением отнесенную к удельному весу воды разность между истинным и гидростатическим давлением в грунтовых водах.
Поставить краевую задачу о движении свободной поверхности грунтовых вод при следующих предположениях: 1) горизонтальная составляющая градиента избыточного давления пренебрежимо мала: 2) инерционные силы, действующие на частицы грунтовых вод, пренебрежимо малы.
в) Речь идет о суммарной теплопроводности, включая перенос тепла конвективными токами жидкости. о) См, ответы и указания. з) По поводу терминологии см. (23). 84 Услоеин задач 2 2. Метод разделения переменных ) 1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций. В этом пункте рассматриваются такие краевые задачи для областей с плоскими и сферическими границами, решения которых выражаются в виде рядов по простейшим (элементарным) собственным функциям оператора Лапласа для этих областей. а) Однородные среды. 9.
Найти температуру параллелепипеда О < х < 1м О < у < 12, О < г < 1з, если его начальная температура является произвольной функцией х, у з, а температура поверхности поддерживается равной нулю. 10. Решить предыдущую задачу для куба с ребром 1, если в начальный момент он был равномерно нагретым. Найти момент времени, начиная с которого в центре куба заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью е > О ~).
11. Найти температуру параллелепипеда 0 < х < 1м 0 < у < < 1з, О < з < 1з, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры, если его начальная температура равна д(х, у, х); рассмотреть, в частности, случай, когда Д(х, у, я) = 17о = сопз1. 12. На поверхности куба, равномерно нагретого в начальный момент времени, происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. Найти выражение для температуры в центре куба и определить момент времени, начиная с которого в центре куба заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью е > О. 13.
Стенки полуограниченной прямоугольной трубы О ( х < < +со, 0 < у < 1ы 0 < х (1з поддерживаются при температуре, равной нулю. По трубе с постоянной скоростью по в направлении оси х движется некоторая среда. Найти температуру движущейся среды, пренебрегая переносом тепла в направлении оси х за счет теплопроводности ) при следующих условиях: 1) процесс стационарен: 2) между средой и стенками трубы происходит теплообмен по закону Ньютона; 3) температура среды в сечении х = О равна с7о = сопзп 14. Пусть в кубе О < х, у, х < 1 происходит диффузия вещества, частицы которого размножаются со скоростью, пропорциональной концентрации (см. задачу 3). Найти критические размеры куба, т, е. найти длину ребра 1, начиная с которой процесс размножения приобротает лавинный характер~).
Рассмотроть случаи, когда: ') См. вторую сноску иа с. 29. Ч См. гл. П1, з 2, задачу 22. з) См. задачу 1. ~) Более подробно а понятии критических размеров см. (7, с. 471]. Рл. К Уравненан парабалинеенаев нвппа 85 а) на всех гранях концентрация поддерживается равной нулю; б) все грани непроницаемы; в) все грани полупроницаемы.
15. Найти температуру шара радиуса то, поверхность которого поддерживается при температуре, равной нулю. В начальный момент времени температура шара была равна и~ о= У(т), О < т < то. 16. Начальная температура шара 0 < т < то равна и~е о= Но = солз1, а на поверхности шара поддерживается температура 11з = сопз1. Най- ти температуру шара при 1 > О. Определить момент времени, начиная с которого в центре шара заведомо будет иметь место регулярный ре- жим с относительной точностью е > О. 17. Начальная температура шара 0 < т < то равна и~е о= Но = сопз1, а внутрь шара через его поверхность подается постоянный тепловой поток плотности ф Найти температуру шара при ~ > О. 18.
Найти температуру шара радиуса то, на поверхности которо- го происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей темпе- ратуру, равную нулю. Начальная температура шара равна и~, „= ~(т), 0 < т < то. 19. Начальная температура шара 0 < т < во равна. и(, о= 11о = сопз1, а на его поверхности происходит конвективный теплообмен со сре- дой постоянной температуры Г~ = сопз1.
Найти температуру шара при1 > О. Определить момент времени, начиная с которого в центре ша- ра заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью е > О. 20. Начальная температура шара 0 < т < то равна и~, о= со —= сопзе, а на его поверхности с момента 1 = 0 происходит конвективный теп- лообмен со средой.,температура которой равна Уо + ог, 0 < 1 < +со., Уо = сопз1, се = сопз1. Найти температуру шара при ~ > О.
21. Решить задачу об остывании сферической оболочки т, ( т < < ттп на внутренней и внешней поверхностях которой происходит кон- вективный теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру. На- чальная температура оболочки равна ~,,=У(), « ° 22. В замкнутом сферическом сосуде 0 < в < Л происходит диф- фузия вещества, частицы которого размножаются, причем скорость Уелоеин задач размножения пропорциональна концентрации [см.
задачу 14). Найти критические размеры сосуда. Рассмотреть случаи, когда: а) на поверхности сосуда поддерживается концентрация, равная нулю; б) стенка сосуда непроницаема,: в) стенка сосуда полупроницаема. б) Неоднородные среды; сосредоточенные 4анторьь 23. Найти температуру балки прямоугольного поперечного сечения 0 ( х < (ы 0 < у < 1г, составленной из двух однородных балок [с различными физическими свойствами) с поперечными сечениями О ( х ( хо, О ( д ( 1г и хо ( х ( 1ы 0 < у < 1г, торцы балки теплоизолированы, а боковая поверхность поддерживается при температуре, равной нулю. Начальная температура балки равна [,,=У[х,у). О<х<1„0<у<1,. 24.
Найти температуру прямоугольного параллелепипеда, составленного из двух однородных прямоугольных параллелепипедов [О < (х (хо,О(у(1г,О(г(1з) и [хо (х(1ы 0(у(1г,О( г(1з), изготовленных из различных материалов. Поверхность составного параллелепипеда поддерживается при температуре, равной нулю, а его начальная температура равна и[, о —— з[х,у,г), 0<х<1ы 0<у<ы1г, 0<г<1з. 25. Шар 0 < т < г г составлен из однородного шара 0 < т < то и однородной сферической оболочки то < т < ты изготовленных из различных материалов. Найти температуру шара, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температ ра шара равна у и[, „= 1[т), 0 < т < ты 26. Во внутренней полости толстой сферической оболочки т, < < т ( тг содержится жидкость с очень большой теплопроводностью, т.е, такая, что ее температура все время равна температуре внутренней поверхности оболочки.
Найти температуру оболочки, если ее внешняя поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна "[е=о тг ~ (т ~ (тг. 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функций. В настоящем пункте рассматриваются такие краевые задачи для областей, ограниченных плоскостями, сферами и круговыми цилиндрами, решения которых выражая>тся рядами по общим собственным функциям оператора Лапласа для этих областей, т.е.
таким собственным функциям, в состав которых входят цилиндрические или сферические функции. а) Однородные средьь 27. Решить задачу о нагревании бесконечного круглого цилиндра 0 < т < то, начальная температура которого равна нулю, а на его Ра. К Уравнения парабоаичееноео типа поверхности поддерживается температура Ц~ = сопзФ. Найти также в условиях регулярного режима приближенное выражение для темпе- ратуры, средней по поперечному сечению цилиндра. 28. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра при условии,что начальная температура равна ~,=.=11 ( -"1' Я): а на его поверхности поддерживается температура, равная нулю. Най- ти в условиях регулярного режима приближенное выражение для тем- пературы, средней по поперечному сечению цилиндра.
29. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра О < г < < го, если его начальная температура равна и~ о= оо = сопят а на его поверхность с момента 1 = О извне подается постоянный теп- ловой поток плотности о. 30. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра радиу- са го, если начальная температура равна и~, = У(г)., О < г < го, а на поверхности цилиндра происходит конвсктивный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. Рассмотреть, в частности, случай, когда 1) г) = Уо = сопев, и написать приближенное выражение для температуры в условиях регулярного режима.
31. Начальная температура неограниченного круглого цилинд- ра О < г ( го равна 1~(, о= Но = солне, а на поверхности цилиндра происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна Г1 — — сопяс. Найти температуру цилиндра при ~ > О. 32. Решить предыдущую задачу., если температура среды рав- на Уз + о1, где Гз и о постоянные. 33.
Вне бесконечного круглого проводящего цилиндра О < г < < то в момент ~ = О мгновенно установилось постоянное магнитное поле Но,параллельное оси цилиндра. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндра при ну- левых начальных условиях: найти затем поток магнитной индукции через поперечное сечение цилиндра. 34. Решить предыдущую задачу, если напряженность внешнего магнитного поля равна Н = Но соя ы1, Но = сопзС, О < 1 ( +ос. 35. Начальная температура бесконечной круглой цилиндрической трубы гз < г < гз равна и~ = ~(г), г1 (~ г ~ (гз. Найти температуру трубы при 1 > О, если на ее внутренней по- верхности поддерживается температура У1 = сопз1в а на наружной поверхности температура Уз = сопок 88 Услееин задач 36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
