Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 21
Текст из файла (страница 21)
101. На поверхности сферической полости 0 < г < га неограни- ченного пространства температура должна меняться по закону п~„„= ус(1), где ус(С) заданная функция времени: начальная тем- пература пространства равна нулю. Какой тепловой поток нужно подавать из сферической полости в пространство для обеспечения такого закона изменения температуры на поверхности полости? Глава 171 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА К уравнениям гиперболического типа приводят динамические задачи механики сплошных сред (акустики, гидродинамики, аэродинамики, теории упругости) и задачи электродинамики ~). В настоящей главе рассматривается постановка и решение краевых задач гиперболического типа для функций двух или большего числа независимых переменных, так что эта глава является продолжением и развитием гл.
П, в которой рассматриваются задачи гиперболического типа лишь для функций двух независимых переменных. Как и в гл. П, колебания сплошных сред всюду в этой главе считаются малыми в общепринятом смысле слова. З 1. Физические задачи, приводягцие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач В этом параграфе рассматривается постановка краевых задач для процессов механики сплошных сред. Постановка краевых задач злекз~ тродинамики рассматривается в гл. 117 1. Поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в однородном идеальном газе, заполняющем неограниченное пространство, принимая за функцию, характеризующую процесс, одну из величин: плотность газа р, давление в газе р, потенциал скоростей !з~ частиц газа П, вектор скорости частиц газа и = ги~ ) + 7и' ' + Йи~ ), потенциал смещений частиц газа Ф, или вектор смещения частиц газа и = йиб) +,уи~ ) + ми~~). Показать, что через каждую из этих величин может быть выражена любая другая из этих же величин.
2. Вывести граничные условия для потенциала скоростей частиц газа 17 ), потенциала смещений Ф, плотности р и давления р на плоскости, ограничивающей полупространство, заполненное этим газом. 1) Уравнения релятивистской теории тяготения при известных пренебрежениях также принадлежат к гиперболическому типу. з) См, также ~7, с. 440-45Ц. з) По поводу обозначений см, ответ к задаче 1. 98 Услееин задач Рассмотреть случаи, когда зта плоскость: а) неподвижна, б) движется с дозвуковой скоростью в направлении своей нормали по заданному закону. 3. Пространство заполнено двумя различными идеальными газами, границей раздела которых является поверхность Х 1).
Предполагая, что невозмущенные давления в обоих газах одинаковы, поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в газе. 4. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях мембраны с неподвижно закрепленным краем, если в невозмущенном состоянии мембрана является плоской, а окружающая среда не оказывает сопротивления колебаниям мембраны. П р и м е ч а н и е. Задача о колебаниях мембраны является двумерным аналогом задачи о колебаниях струны ).
5. Поставить краевую задачу о колебаниях мембраны, натянутой на отверстие замкнутого сосуда, учитывая изменение давления в сосуде, вызываемое колебаниями мембраны, и считая скорость распространения малых возмущений в газе значительно большей скорости распространения волн в мембране (задача о колебаниях мембраны барабана). 6. Вывести уравнение распространения малых возмущений в газе, движущемся с постоянной скоростью относительно выбранной системы координат.
7. Поставить краевую задачу о сверхзвуковом стационарном обтекании неподвижного клина симметричным плоскопараллельпым потоком идеального газа. 8. Поставить краевую задачу о сверхзвуковом стационарном обтекании круглого конуса идеальным газом в направлении оси конуса, считая невозмущенный поток однородным, а возмущения, вызванные конусом, малыми. 9. Пусть уровень идеальной жидкости в бассейне с горизонтальным дном и вертикальными стенками в невозмущенном состоянии равен 6 = сопз1. При малых колебаниях свободной поверхности могут возникнуть движения, при которых частицы жидкости, лежащие на любой вертикали, движутся в горизонтальных направлениях одинаково.
Пусть Ц(х, у, г) означает возвышение возмущенной поверхности над уровнем покоящейся жидкости. Считая давление р в возмущенной жидкости на глубине равным гидростатическому, поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в слое, принимая за функцию, характеризующую процесс: 1) Дх,у,1): 2) потенциал (горизонтальных) скоростей частиц жидкости, если давление ре на поверхности жидкости остается постоянным (см. задачу 7 гл. П, 3 1). ') Геометрическая поверхность. Предполагается, чта за рассматриваемое время границу раздела газов Е можно считать бесконечно тонкой поверхностью. з) См.
гл. П,. ез 1, а также (7, с. 31- 34). Гл. Уй уравнения гиперболического и~ива Ех 7«у 7хх (Д) = 7ох ео 7«х хо Ех В случае, когда среда является однородной и изотропной, компоненты тензора напряжений (см, ответ к предыдущей задаче) т. х тих а компонентами тензора дефор- и, т,„ (Н) = т„, еео тхх тх, связаны следующими соотношениями с маций: а, = ЛО -~-2ее —, оо —— ЛО+ 2ее дх' д. д — и- = ЛО -~-21е —, ду' - д.
' 1дш д.'1 т„, = тх„ = р ~ †, + — ~, тхх 'Л ду дг/ ') «Продольные» упругие волны распространяются быстрее «поперечных». 10. Поставить краевую задачу 9 для случая, когда ро является заданной функцией х, у, е, принимая за функцию, характеризующую процесс, потенциал горизонтальных скоростей. 11. Вывести уравнения движения центра масс бесконечно малого элемента упругой среды, беря элемент в виде прямоугольного парал- лелепипеда с ребрами, параллельными осям координат. 12.
Пользуясь законом Гука для однородной изотропной упругой среды, представить уравнения движения, найденные в предыдущей задаче, в форме, содержащей только составляющие вектора объемных сил и вектора смещения 11 = йи(х, у, г, 1) + у и ( х, у, г, 1) + кш(х, у, г, 1), и доказать, что «всестороннее растяжение» О = е)1н 11 и вихрь Ю = = гот Гг удовлетворяют, каждый в отдельности, волновому уравнению деР 2 Л+ 2Р Даламбера — = а Ьу, причем для О константа а =, а для.В д21 Р 2 р ю константа а Р Примечания. 1.
Всякий вектор ГТ однозначно определяется по его расходимости йн Г1 и вихрю гое 11 (см. [14, с. 209)). 2. Форма элемента упругой среды, имеющего в недеформирован- ном состоянии вид, описанный в задаче 11, в деформированном состо- янии определяется величинами ди ди ди е,= —, ео — — —, е.= —, дх' " ду' ' дг' до ди до дш 7хо = 7ох = " 7ох = 7хо = — + — ) дх ду' дг дд ' дш ди дх дх' образующими тензор деформации Условия задач (да ди 1 т =т„=р~ — + — ) )х дя ду з) где О = йя 1У, а Л и р — константы Ламэ, связанные следующим образом с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона ви р(зл+ гр) л Л -Ь и ' 2(Л+ р) Коэффициент Пуассона пз характеризует отношение к продольному растяжению соответствующего поперечного сжатия.
Модуль сдвига С = р. 13. Представляя вектор объемных сил в виде Е = 8габ Ф + гоб В (о возможности представления произвольного вектора в таком виде см. ~14, с. 209)), доказать, что если р —, = (Л+ 2р)Ьр+ Ф, р —, дар да А дР дР = дЬА + В, то вектор Г = 8габ аз + го1 А удовлетворяет уравнениям движения, полученным в задаче 12.
14. Задача о распространении возмущений в упругой среде называется плоской, если составляющая ю вектора смещения Е7 и составляющая Я вектора плотности объемных сил Е = 4Х + уУ + ЙЯ равны нулю, а остальные величины не зависят от я. Например, задача о распространении деформаций в тонкой пластинке, вызванных силами, действующими в ее плоскости, является плоской ). Показать, что в случае плоской задачи вектор смещения Г выражается через два скалярных потенциала, каждый из которых удовлетворяет соответствующему волновому уравнению. 15.
Выразить через компоненты вектора ьу и тензора (Н) (см. задачу 12) граничные условия для распространения упругих возмущений в однородном изотропном полупространстве, если ограничивающая плоскость а) свободна, б) фиксирована жестко. Выразить для плоской задачи эти граничные условия через скалярные потенциалы (см. задачу 14). 16.
Поставить краевую задачу о радиальных колебаниях круглой цилиндрической трубы под действием радиальной силы Е(г,б), где ЕГт,1) — сила, приходящаяся на единицу массы, отстоящую на расстоянии т от оси трубы. 17. Поставить краевую задачу о радиальных колебаниях упругой сферической оболочки т1 < т < тз под действием переменного давления р(1) во внутренней полости. 18. Вывести дифференциальное уравнение для отклонения от не- возмущенного состояния точек тонкой изотропной однородной пластинки, совершающей малые поперечные колебания. Рассмотреть,в частности, случай, когда пластинка лежит (и прикреплена) на упругом основании. Примечание.
Задача о поперечных колебаниях пластинки является двумерным аналогом задачи о поперечных колебаниях стержня (см. 6' 1 гл. П). ') Более подробно см. )26, с. 92). Р01 Гл. У1. Уравнения гиперболического типа 19. Переходя к полярным координатам, поставить краевую зада- чу о поперечных колебаниях круглой пластинки, если край пластинки защемлен жестко. 20. В начале координат неограниченного пространства х,у,г, представляющего собой вакуум, находится электрический диполь, па- раллельный оси я. Момент диполя меняется по закону Мо =сопэ1, — оо <1(0, М= Мз = Ма соэ ы1, 0 < 1 < +со. Поставить краевую задачу об определении электромагнитного по- ля, порожденного диполем, при 1 > О.
3 2. Простейшие задачи; различные приемы решения 21. а) Решить краевую задачу ип = овеяли, — оо < х, у, г < +ос, 0 < 1 < +со, (1) и~, „ = ув(г), ие~ = ерш, гз = хз + у + г~, .О ( г < +ос. (2) б) Найти 1пп и(х,у,г,1). е,ул-ло 22. Решить краевую задачу иее — пзЬи+((г,1), г = ха+уз+я, 0 ( г < +со, 0 < 1 < +со, (1) и), о — — О, ие!е=о = 0 (2) 23. Решить краевую задачу иге=а Ьи, — оо<х,у,я<+ос, 0<1<+ею, (1) при начальных условиях: ( 11о = сопэ1 а)и~, =~ 0 внутри сферы радиуса го, вне этой сферы, ие(, о = 0 всюду: ( с10 = ползу б) ие~е — а= ~ 0 внутри сферы радиуса го, вне этой сферы, б) ~,-! = О. и~ = 0 всюду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
