Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Найти установившиеся колебания прямоугольной мембраны 0 < х < 11, 0 < у < 17 в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием равномерно распределенной поперечной силы с плотностью Е = А з)п а71, 0 < 1 < +ос, А = сопвг. Контур мембраны закреплен неподвижно. 55. Идеальный газ заключен между двумя концентрическими сферами Я„, и Яеа Радиус внутренней сферы Я„, меняется по за- кону г(1) = г1+ евши, — оо < 1 < +со, О < с << гз — гз, а внешняя сфера остается неизменной. Найти установившиеся коле- бания газа между сферами.
56. Идеальный газ заключен между двумя концентрическими сферами Я,з и Я„, с фиксированными радиусами г, и гз. Найти коле- бания газа между сферами, вызванные начальным радиальным воз- мущением плотности Р(7',0) = 7 (7'), 7'1 < 7' < 7'з. 1) См. задачи 9 и 10. Гл.
'т!..Уравнения гиперболического типа 107 б) Неоднородные среды. 57. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < ( т ( Ры 0 < у < Гз, составленной из двух однородных прямоугольных кусков 0 < л < то, 0 < у < Рз и яо ( т < Еы 0 < у < 7з. вызванные начальными поперечными возмущениями. 58. Сферическая полость фиксированного радиуса тз заполнена двумя различными идеальными газами, поверхностью раздела которых является сфера Я„(0 < т, < тз), концентрическая поверхности полости. Найти колебания газов при следующих начальных условиях для потенциала скоростей и(т,1) и давления рот,1); ист, 0) = ~(т), Р(т, 0) = Ро, 0 < т < тз.
2. Краевые задачи, требуюгцие применения специальных функций. Как и в предыдущем пункте, сначала идут задачи для однородных сред., затем для неоднородных. а) Однородные среды. 59. Найти поперечные колебания круглой мембраны с закрепленным краем, вызванные радиально симметричным начальным распределением отклонений и скоростей, считая реакцию окружающей среды пренебрежимо малой. 60. Решить предыдущую задачу, предполагая, что начальное отклонение имеет форму параболоида вращения, а начальные скорости равны нулю. 61.
Найти колебания воды в круглом вертикальном пилиндрическом сосуде с горизонтальным дном, если начальные условия обладают радиальной симметрией, а давление на свободной поверхности воды остается постоянным. 62. Найти колебания круглой мембраны с закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распределенным постоянным давлением, действующим на одну сторону мембраны с момента 1 = О, предполагая, что окружающая среда не оказывает какого-либо другого сопротивления колебаниям мембраны. 63. Найти колебания круглой мембраны 0 < т < то с закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные переменным давлени м е р = ~(т.,1), 0 ( т ( то, 0 < 1 < +ею, приложенным к одной стороне мембраны. 64.
Найти колебания круглой мембраны 0 < т < то с закреплен- ным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распре- деленным давлением р = ро зшсЛ, 0 < 1 < +со, приложенным к одной стороне мембраны. 65. Найти при нулевых начальных условиях колебания круглой мембраны 0 < т < то в среде без сопротивления, вызванные движением ее края по закону и(то,1) = Авшие, 0 < 1 < +со. 108 Условию задач 66. Решить задачу 59 в случае,. когда окружающая среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости. 67.
Найти установившиеся колебания круглой мембраны с закрепленным краем в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием равномерно распределенного (приложенного к одной стороне мембраны) давления: а) р = ро зшы1,. О < 1 < +ос, ра = сопз1; б) р = ро соя ы1., О < 1 < +оо, ро = сопв1. 68. Найти установившиеся колебания круглой мембраны О < г < < ге в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, вызываемые движением ее края по закону и(го, 1) = А з)п ы1 (ср, с задачей 65). 69. Найти колебания круглой мембраны барабана ), вызванные радиально симметричными начальными возмущениями.
70. Найти колебания круглой мембраны барабана, вызванные равномерно распределенным давлением р = По зш оз1; О < 1 < +ею, По = сопзс, приложенным к внешней стороне мембраны. 71. Найти поперечные колебания круглой пластинки с жестко закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные радиально симмотричными начальными возмущениями. 72.
Найти поперечные колебания пластинки предыдущей задачи, вызванные поперечным сосрсдоточенным ударом по центру пластинки, передавшим ей импульс 1. 73. Найти поперечные колебания пластинки задачи 71, вызываемые равномерно распределенной поперечной силой с плотностью р = = ра вшсо1, приложенной с момента 1 = О. 74. Найти поперечные колебания пластинки задачи 71, вызываемые сосредоточенной поперечной силой Р = Ро зшоз1, приложенной в центре пластинки с момента 1 = О (колебания мембраны репродуктора). 75. Найти поперечные колебания круглой кольцевой мембраны с закрепленными краями, вызванные радиально симметричными начальными возмущениями.
76. Найти поперечные колебания описанной в предыдущей задаче мембраны, вызванные равномерно распределенным давлением р =розшсо1, О < 1 <+ею, ро = сопз1, приложенным к одной стороне мембраны. 77. Найти колебания жидкости в сосуде с горизонтальным дном, стенками которого являются два коаксиальных круглых цилиндра, если глубина жидкости в невозмущенном состоянии равна й = сопят, а начальные возмущения радиально симметричны ). ') См, задачу 5.
а) См. задачу 9. Гл. У!..Уравнения гиперболического типа 109 78. Найти колебания газа (потенциал скоростей) в круглом замкнутом цилиндрическом сосуде, вызванные радиальными колебаниями боковой стенки, начавшимися в момент 1 = О, если скорости частиц стенки равны 1(г) сов~А, 0 < г < 1 (1 длина цилиндра), 0 < г < +со. Верхнее и нижнее донья неподвижны. 79. Найти колебания газа в круглом замкнутом цилиндре, вызванные поперечными колебаниями одного из его доньев, начавшимися в момент 1 = О, если скорости частиц этого дна равны 1'(г) созсо1, О < «< «о (го радиус цилиндра), О <1 < +ос.
Второе дно и боковая стенка сосуда неподвижны. 80. Найти колебания газа в замкнутом сосуде, образованном двумя коаксиальными круглыми цилиндрами и двумя поперечными плоскими доньями, вызванные радиальными колебаниями внешнего цилиндра, начавшимися в момент 1 = О, если скорости частиц этого цилиндра равны 1(г) сов аЛ, 0 < г < 1, 1 — длина цилиндра. Донья и внутренний цилиндр неподвижны. 81. Найти колебания газа в сосуде, описанном в предыцушей задаче, вызванные поперечными колебаниями одного из доньев, начавшимися в момент г = О, если скорости частиц этого дна равны 1(г) сов сог, г* < «< «"*, г* и г*' — радиусы внутреннего и внешнего цилиндров. Второе дно и цилиндры неподвижны. 82.
Найти поперечные колебания круглой мембраны О < «( го с закрепленным краем, вызванные сосредоточенным ударом, нормальным к поверхности мембраны, передавшим мембране в точке (г ы ио1 ), 0 < «з < «о, импульс К. Рассмотреть случай, когда окружающая среда не оказывает сопротивления движению мембраны. 83. Сосуд с водой, представляющий собой вертикальный круглый цилиндр с горизонтальным дном, длительное время движется со скоростью ио = сопз1 в направлении, перпендикулярном к оси сосуда.
Найти колебания воды в сосуде при 1 > О, если в момент 1 = О сосуд мгновенно останавливается и если при 1 < 0 вода относительно сосуда была неподвижной. Давление на свободной поверхности воды считать постоянным. 84. Найти колебания круглой мембраны О < г ( га с закрепленным краем, вызванные непрерывно распределенным переменным давлением р = 1'(г) соз(ао — ы1), 1'(го) = О, О < 1 < -«оо, приложенным к одной стороне мембраны.
85. Найти установившиеся колебания мембраны, описанной в предыдущей задаче, в среде с сопротивлениом, пропорциональным скорости. Условия задач 86. Найти колебания круглой мембраны 0 < г < тш вызванные колебаниями ее края по закону а(ге, сэ,1) = ~Я созглр, ДО) = ~'(О) = О, и целое > О, О < ~ < +ос. 87. Найти колебания круглой мембраны О < г ( гд, вызванные колебаниями ее края по закону и(ге, ~р, Г) = Е(~р) зшы1, Р(~р) — гладкая функция с периодом 2я. 88. Найти колебания газа в круглом замкнутом цилиндре О < г < < ге, О < я < 1, вызванные радиальными колебаниями его боковой стенки со скоростью, меняющейся по закону ~Я созгкр соя ал, и — — целое > О, О < ~ < +со. Донья сосуда неподвижны.
89. Найти колебания газа в круглом замкнутом цилиндре О < ( г < ге, О < я < 1, вызванные поперечными колебаниями одного из доньев со скоростью, меняющейся по закону ~ Я соз пу созы1, и целое > О, 0 ( ~ < +со. 90. Найти поперечные колебания мембраны с закрепленным краем, вызванные начальным сосредоточенным поперечным импульсом Л, сообщенным мембране в некоторой ее внутренней точке, если мембрана имеет форму кругового сектора, а окружающая среда не оказывает сопротивления колебаниям. 91. 1'ешить предыдущую задачу для мембраны, имеюгцей форму сектора кругового кольца. 92. Найти колебания газа в области, ограниченной двумя коаксиальными неподвижными круглыми цилиндрами, двумя плоскостями, перпендикулярными к оси цилиндров, и двумя плоскостями, проходящими через их ось, если эти колебания вызваны начальными возмущениями, не зависящими от ж 93.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
