Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Температура бесконечной круглой цилиндрической трубы равна нулю при ~ < О. С момента ~ = 0 через ее внешнюю поверхность подается снаружи постоянный тепловой поток плотности Гг, а внут- ренняя поверхность трубы поддерживается при температуре, равной нулю. Найти температуру трубы при ~ ) О. 37. Решить задачу об остывании бесконечной круглой цилиндри- ческой трубы, на внешней и внутренней поверхностях которой про- исходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры.
В начальный момент времени труба была равномерно нагретой. 38. Между двумя концентрическими цилиндрами бесконечной длины находится вязкая жидкость. В момент ~ = 0 внешний цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью аг = сопзи Определить скорость движения жидкости. 39. Найти температуру неограниченного круглого цилиндра 0 < < т < то, если его начальная температура равна и~ о= у(т, 9г), О < г' < то, О ( уг ( 2я, а на поверхности поддерживается температура, равная нулю. 40.
Найти температуру неограниченного круглого цилиндра 0 < < г < то, если его начальная температура равна гг~с==1(т ~Р), 0<с<то, 0<уг<2я, а на поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 41. Найти температуру неограниченной круглой цилиндрической трубы тг ( т ( тг, если ее начальная температура равна и~ „= ~(т, уг), г г < т < гг, О < ~р < 2тб а на внешней и внутренней поверхностях поддерживается температу- ра, равная нулю.
42. Найти температуру неограниченной круглой цилиндрической трубы т, ( т < тг, если ее начальная температура равна и~, =Д(т, р), тг <г'<гг, 0<~р<2тб а на внешней и внутренней поверхностях происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю.
43. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора 0 < т < то, 0 < р < ро, если на поверхности т = то и гранях уг = 0 и уг = ро поддерживается температура, равная нулю, а начальная температура равна 'и~,, = 1(т, уг), О < т < то, О < уг < уго. 44. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора 0 ( т < то, 0 < ог < ого, если на поверхности т = то происходит кон- вективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю, грани р = 0 и р = уо теплоизолированы, а начальная температура равна и~, о=~(т,гр), 0<г <то, 0(уг«ро. 89 Рл.
К Уравнения параболического типа 45. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора т, < т < тя, 0 < гр < ро, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна и~ =1л(т,гР), тг <т<гг, 0<гР<гРо. 46. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора тг < т < тз, 0 < р < ро, если на поверхностях т = тг и т = = тз происходит конвективный теплообмен со средой, .температура которой равна нулю, грани гр = 0 и гр = гро теплоизолированы, а начальная температура равна и~ =1(т,гр), тг <т< та, 0 < За <гро.
47. Найти температуру конечного круглого цилиндра 0 < т < то, 0 < р < 2х, 0 ( я < 1, поверхность которого поддерживается при температуре, равной нулю, если начальная температура равна и(, = 1(т, ~р, е), 0 < т < то, 0 ( ~р ( 2н, 0 < е < й 48. Найти температуру конечного круглого цилиндра 0 < т < < то, 0 < гр < 2н, 0 < е < 1, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей температуру, равную нулю, если начальная температура цилиндра равна и~ о=1(т,грре), 0<~ <то, 0(р(2н, 0<я<5 49. Решить задачу об остывании шара радиуса то, на поверхности которого поддерживается температура, равная нулю. Начальная температура шара равна и~в=о=У(т 0 уз), 0<т<то, 0(0(х, 0(р(2х 50.
Решить задачу об остывании шара радиуса то, если на его поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. Начальная температура шара равна и~, = 1" (т, 0, р), 0 < т < то, 0 ( 0 ( х, 0 ( ~р ( 2х. 51. Решить задачу об остывании толстой сферической оболочки тг < т < тя, на внешней и внутренней поверхностях которой поддерживается температура, равная нулю. Начальная температура оболочки равна и~ =1(т,0,гр), тг <т <та, 0(0(х, 0(гр(2х. 52. Решить задачу об остывании толстой сферической оболочки тг < т < тз, на внешней и внутренней поверхностях которой происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю.
Начальная температура оболочки равна и~ = ~(т, О, |р), тг < т < тз, 0 ( 0 ( н, 0 ( ~р ( 2х. б) Неоднородные среды; сосредоточлтнные факгпоры. 53. Неоднородный круглый цилиндр 0 ( т < ты 0 < р < 2я, 0 < е < 1 составлен из однородного цилиндра 0 < т < то, 0 < ~р < 2я, 0 < я < 1 и однородной цилиндрической трубы то < т < ты 0 < гр < < 2х, 0 < я < 1, изготовленных из различных материалов. 90 Условия задач Найти температуру составного цилиндра, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна п~ ев Д(г'|р'з)' 0<с<хм 0 < у <2з' 0<я<5 54.
Решить задачу об остывании бесконечной цилиндрической трубы гг < г < гз, заполненной охлаждающей жидкостью, если температура охлаждающей жидкости все время равна температуре внутренней поверхности трубы, а внешняя поверхность теплоизолирована. Начальная температура трубы равна — з (г) г~ < г < гз. 55. Решить предыдущую задачу, предполагая, что на внешней поверхности трубы происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю.
56. Цилиндр радиуса гз с моментом инерции К на единицу длины погружен в жидкость и приводится во вращение моментом М = сопя| на единицу длины. Определить движение жидкости и цилиндра, если жидкость заполняет пространство между цилиндром и не|юдвижной коаксиальной трубой с внутренним радиусом гя ) гм Цилиндр и трубу считать бесконечно длинными. В начальный момент времени цилиндр и жидкость покоились. 57. Вне полого цилиндрического проводника гг < г < гз бесконечной длины в момент ~ = 0 мгновенно установилось постоянное магнитное поле Не,параллельное оси проводника.
Найти магнитное поле в проводнике при нулевых начальных условиях, предполагая, что во внутренней полости оно однородно, а также что вне и внутри трубы вакуум. 58. Неоднородный шар 0 < г < г1 составлен из однородного шара 0 < г < гд и однородной сферической оболочки гв < г < гг, изготовленных из различных материалов. Найти температуру шара, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна и~, = 1(г, О, ~з), О < г < г,, О < 0 < х, О < зз < 2я. ~ 3.
Метод интегральных представлений В настоящем параграфе рассматривается применение интегральных представлений к решению краевых задач теории теплопроводности. Сначала идут задачи на применение интеграла Фурье, затем на построение и применение функций источников. 1. Применение интеграла Фурье. 59. Найти распределение температуры в неограниченном пространстве, начальная температура которого равна и~, = у(х, у, з), — оо < х, 9, з < +~ю. Рассмотреть также частный случай, когда ) (х, д, з) не зависит от ю Гп.
К Уравнения парабопичееного пшпа 60. Е1айти температуру неограниченного пространства, вызванную непрерывно действующими источниками с плотностью д(х, д, г,1),: начальная температура пространства равна нулю. Рассмотреть также частные случаи, когда д(х, д, г,1) не зависит от 1 и когда д(х, р, г,1) не зависит от г. 61. Решить краевую задачу ие = азези, — оо < х, д < +ос, 0 < г < -~-оо, 0 < 1 < +со, и~ =О, — <,р<+, 0<с<+ и~, = 1(х, р, г), — оо < х, д < +ею, О < г < +ос.
Рассмотреть также частный случай, когда у нс зависит от д. 62. Решить краевую задачу ие — — а Ьи., — оо<х,д<+со, 0<в<+со, 0<1<+оо, и~ = у(х, д, г), — со < х, д < +ос., 0 < 1 < +со, ~, „=О, — <х,р<+, О<я<+ Рассмотреть также частный случай, когда 1 не зависит от д. 63.
Решить краевую задачу и,=а~Ли, — ос<х,д<+оо, 0<г.,1<+со, и,~ = О, — со < х, р <+ос, 0 < е < +ос, =1(х,д,г), .— <х,д<тоо, 0<я<+ 64. Решить краевую задачу ие — — а ези, — ос <х, у <+со, 0< в,1<+со, и.-~ = )(х, д,1), — оо < х, д < +ос, 0 < 1 < +ос, и~ „=О, — <х д<+, О< <+ 65. Решить краевую задачу ие = а~Ьи, — оо < х, д < +со, 0 < г,1 < +со, и — пи=0, — со<х,д<+со, я=О, 0<1<+ос, и~, „=~(х,д,г), — оо<х,у<+ос, 0<я<+ос.
Рассмотреть также частный случай, когда у не зависит от д. 66. Решить краевую задачу ие — — азези, — оо < х, д < +со, 0 < г,1 < +сю, и, = Ь[и — Д(х, д, г)), — со < х, д < +со, к = О, 0 < 1 < +со, и~, „=О, — оо<х,у<+со., 0<я<+со. 67. Решить краевую задачу и, = азии+ Дх, д, з, 1), — оо < х, д < +со, 0 < г,1 < +со, и~ =О, — со<х,д<+оо, 0<1<+ею, и~„~= О, — со < х, д < +ос, 0 < г < -ьоо.
92 Условия задач 68. Найти температуру неограниченной балки с прямоугольным поперечным сечением 0 < х < 1ы 0 < у ( Ь, — со < я < +со, если ее начальная температура равна и~, = Дх, У, г), О < Я < Уы О < У < Рь — со < з < +со, а на поверхности: а поддерживается температура, равная нулю; б имеет место тепловая изоляция; в) происходит конвективный теплообмен со средой нулевой тем- пературы. 69. Решить предыдущую задачу для полуограничснной балки с прямоугольным поперечным сечением: 0 < т < 1ы 0 < у < 1з, 0 < < з < +со; рассмотреть случаи, соответствующие граничным усло- виям а) и б). 70.
Найти температуру бесконечно круглого цилиндра 0 < г < го, 0 < ~р ( 2я, — со < я < +ос, если его начальная температура равна и~г о=У~с,~Р,я) 0<г<гщ 0<Зз<2к, — со<я<+со, а на поверхности выполняется одно из следующих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю: б) поверхность теплоизолирована; в) на поверхности происходит конвективный теплообмен с окру- жающей средой, температура которой равна нулю. 71.
Найти температуру полуограничснного круглого цилинд- ра 0 < г < го, 0 < у < 2я., 0 < я < +оо, если его начальная темпе- ратура равна и~, = ~(г, ~р, я), 0 < Зз < 2я., 0 < г < гщ 0 < з < +со, а на поверхности выполняется одно из следующих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю; б) поверхность теплоизолирована. 72. Найти температуру неограниченного цилиндрического сек- тора 0 < г < ге, 0 ( у < Ззе, — со < з < +со, если его начальная температура равна и1 о=~(г.,у,я)., 0<Зз<Ззо 0<с<го, — ос<я<+ос, а на поверхности выполняется одно из следуюгпих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю; б) поверхность теплоизолировала. 73.
Решить предыдущую задачу для полуограниченного цилинд- рического сектора 0 < г < ге, 0 < Зз < Ззо, 0 < я < +ос. 74. Найти температуру пластинки, имеющей форму неограничен- ного сектора 0 < г < +со, 0 ( ~р < Ззе, если ее начальная температура ранна и~', = ~(г, у), 0 < г < +со, 0 < Зз < Ззо, а на краях пластинки: а) поддерживается температура, разная нулю: б) имеет место тепловая изоляция. 75.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
