Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 16
Текст из файла (страница 16)
96. Решить задачу 95, предполагая, что граница у = Ь поддерживается при потенциале Ъш Рассмотреть предельный случай Ь э оо. 97. Решить уравнение сги = О внутри прямоугольника О < х < а, О < у < Ь при следующих краевых условиях: и = Г при х = О, и=О прих=а и у=О, и=Ре при у=Ь. Совершая предельный переход а — э оо, получить решение задачи 96. 74 Услоеин задач 98. Полуслой задачи 95 заполнен неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной вг при О<у<6, в= гг при 6<у<5. Найти электростатическое поле в диэлектрике. 99. Найти электростатическое поле внутри бесконечной цилиндрической трубы прямоугольного сечения со сторонами а и Ь, заполненной неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной при О<у<6, Е = вг при 6<у<5, если стенка х = 0 заряжена до потвнциала Г, а остальные стенки заземлены.
Рассмотреть случай, когда стенка х = а удаляется в бесконечность. 100. Решить задачу 99 при условии, что заряжена стенка у = Ь, а остальные стенки заземлены. 101. Через грань у = О бесконечного цилиндра с прямоугольным сечением 0 < х < а, О ( у < Ь втекает, а через грань х = О вытекает количество тспла („г.
Найти распрвделвние температуры внутри цилиндра, считая, что тепловой поток равномерно распределен по поверхности грани х = О и соответственно по поверхности грани х = О, а остальные две грани тела теплоизолированы. 102. Найти распрвдвление температуры внутри прямоугольной тонкой пластинки, если к одной из ес сторон подводится постоянный поток дв, а остальныв три стороны поддерживаются при постоянной температуре иы 103. Найти рвшвние обшей первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри прямоугольного параллелепипеда.
104. Найти электростатическое поле внутри прямоугольного параллелепипеда с проводящими стенками, если его боковые грани и верхнее основание заземлены, а нижнее основание заряжено до потенциала $'. С помощью предельного перехода получить решения задач 95 и 96.
105. Рошить задачу 104, если боковые грани заряжены до потенциала У', а оба основания заземлены. 3. Задачи, требующие примененияцилиндрических функций ). 106. Решить первую краевуго задачу для уравнения Лапласа внутри ограниченного цилиндра р < а, О < г ( 6 если и~ р=а = О, и~ = ~(р, ~р), и~ = Е(р, ~р).
Ч В пунктах 3 и 4 даны задачи, решаемые мвтодом раздвлвния переменных, но требуюшив применения цилиндрических и сферических функций. Часть задач была решена в З 2 методом подбора решений. 1 л. !Ъ'. Уравнения эллипти ~еенвев типа 75 107. Решить задачу 106, если , = У(», ~,, = Р(р), где 7' и Р функции, зависящие только от р. 108. Найти функцию и(р, оэ, г), гармоническую внутри ограниченного цилиндра, обращающуюся в нуль на его основаниях и принимакэщую заданные значения на поверхности р = а: и!, = ~(з).
Рассмотреть частные случаи: а) ~Я = Уо = солв1; б) ~Я = Ая (1 — — ) . 109. Найти решение общей первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри ограниченного цилиндра. 110. Найти выражение для потенциала электростатического поля внутри цилиндрической коробки кругового сечения р < а, 0 < э < 1, оба основания которой заземлены, а боковая поверхность заряжена до потенциала го. Определить напряженность поля на оси.
Рассмотреть предельный случай 1 з со. 111. Решить задачу 110 при условии,что боковая поверхность и верхнее основание коробки заземлены, а нижнее основание поддерживается при постоянном потенциале $ш С помощью предельного перехода получить решение задачи для полубесконечного цилиндра. 112. Решить задачи 110, 111 для полубесконечного цилиндра, сравнив с результатами соответствующего предельного перехода в решениях задач 110 и 111. 113. Определить стационарное распределение температуры внутри твердого тела, имеющего форму ограниченного цилиндра, если к нижнему основанию э = 0 подводится постоянный тепловой поток е1, боковая поверхность р = а и верхнее основание г = 1 поддерживаются при температуре, равной нулю.
114. Решить предыдущую задачу, предполагая, что на боковой поверхности происходит теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 115. Решить задачи 113 и 114 для полуограниченного цилиндра (1 = оо) и сравнить полученный результат с пределом решений задач 113 и 114 при 1 — 1 со. 116. Найти напряженность электростатического поля внутри таранда а < р < Ь, 0 < з < 1, если его внешняябоковаяповерхностьр = Ь заряжена до потенциала Ъо, а остальная граница заземлена. Рассмотреть предельные случаи: 1) 1 в оо; 2) а — в 0 (сравнить с решением задачи 110).
117. Основания таронна (а < р < Ь, 0 < я < 1) поддерживаются при постоянной температуре ио, а боковая поверхность --- при температуре иы Найти стационарное распределение температуры внутри таранда. Услаеин задач 118. Найти стационарное распределение температуры внутри тороида прямоугольного сечения (а < р < Ь, 0 < з < 1), если: 1) боковая поверхность теплоизолирована, а основания поддерживаются при постоянной температуре иа, 2) боковая поверхность теплоизолирована, температура нижнего основания з = 0 равна нулю, а верхнее основание поддерживается при температуре им 119.
Решить задачу 117, если на нижнем основании задана постоянная температура иа, а остальная поверхность тороида поддерживается при нулевой температуре. 120. С помощью метода разделения переменных получить выражения для потенциала точечного заряда, помещенного внутри ограниченного цилиндра р < а, 0 < з < Ь с проводящими стенками.
Показать, что из решения с помощью предельных переходов получаются выражения для потенциала точечного заряда в слое 0 < я < Ь... в полупространстве и неограниченном пространстве. 121. Решить предыдущую задачу для полубесконечного цилиндра з ) 0; сравнить полученный результат с соответствующим пределом решения задачи 120.
122. Решить задачу 120 для бесконечного цилиндра методом разделения переменных, сравнить с пределом решения задачи 120. 4. Задачи, требующие применения сферических и цилиндрических функций. 123. Решить первую краевую задачу для уравнения Лапласа внутри сферы радиуса а. 124. Решить первую краевую задачу для уравнения Лапласа.
вне сферы радиуса а. 125. Найти решение второй краевой задачи для уравнения Лапласа: а) внутри сферы; б) вне сферы. ди Рассмотреть случай простейшего граничного условия: ди = АсозО. 126. Найти напряженность электростатического поля внутри и вне сферы, верхняя половина которой заряжена до потенциала 1гм а нижняя — до потенциала е'з. 127.
Найти разложение по сферическим функциям поверхностных зарядов, индуцированных на идеально проводящей заземленной сфере точечным зарядом, находящимся: а) внутри сферы; б) вне сферы. 128. Решить предыдущую зада зу для изолированной заряженной сферы, находящейся в поле точечного заряда. 129. а) Твердый шар движется с постоянной скоростью в безграничной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Найти потенциал скоростей. б) Решить задачу об обтекании неподвижного твердого шара потоком жидкости, имеющим на бесконечности скорость ие. 1 л.
!Ъ'. Уравнения эллипти ~еского типа 130. Диэлектрический шар с диэлектрической постоянной г1 на- ходится во внешнем однородном поле Ео, параллельном некоторой оси г. Определить искажение внешнего поля, вызываемое шаром, если окружающая его среда — однородный диэлектрик с е = ез. 131. Решить задачу о поляризации диэлектрического шара ра- диуса а в поле точечного заряда, если диэлектрическая постоянная ез при г<а, гг при г>а. Рассмотреть два случая: а) заряд находится вне шара; б) заряд помещен внутрь шара.
132. Проводящий шар с проводимостью а1 находится в среде с проводимостью пг. Определить токи, создаваемые точечным источником тока си- лы 1, помещенным: а) внутри шара; б) вне шара. 133. Решить предыдущую задачу, считая шар идеально прово- дящим. Сравнить с задачей 132. 134.
Точечный источник тепла йг находится в присутствии не- проводящего шара. Найти стационарное распределение температуры вне шара. 135. Внутри сферы, на поверхности которой происходит тепло- обмен со средой нулевой температуры, помещен точечный источник мощности ( ~о. Найти стационарное распределение температуры внут- ри сферы. 136. Найти потенциал точечного заряда, помещенного между проводящими заземленными концентрическими сферами г = а и г = Ь.
Определить также плотность поверхностных зарядов. 137. Неоднородный диэлектрический шар радиуса Ь с диэлектри- ческой постоянной е1 при г <а, г= л ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ея при а<г<Ь находится в среде с диэлектрической постоянной ез. Определить поле точечного заряда, помещенного: 1) вне шара г > Ь; 2) внутри шара г < а; 3) в области а < г < Ь. Рассмотреть предельные случаи. 138. Найти поле внутри диэлектрической оболочки, ограничен- ной концентрическими сферами с радиусами а и Ь (Ь > а), помещен- ной в однородное параллельное электростатическое поле напряжен- ности Ед, диэлектрическая постоянная оболочки ем диэлектрическая постоянная среды гг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
