Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 15
Текст из файла (страница 15)
54. а) Внутри бесконечной цилиндрической полости кругового сечения электростатическое поле создается заряженной нитью, параллельной оси цилиндра. Найти потенциал этого поля. б) Решить ту же задачу, если заряженная нить находится вне цилиндра. в) Решения задач а) и б) использовать для построения решения задачи Дирихле внутри и вне круга.
55. Найти функцию источника для Ьи = 0 внутри заземленного полушара, а также четвертой части шара. 56. Построить функцию источника для задачи Лирихле: а) внутри полукруга; б) внутри четвертой части круга; в) внутри сектора с углом раствора о = к1 и. 57. Найти потенциал поля, создаваемого точечным зарядом е внутри сферического слоя, ограниченного двумя концентрическими проводящими заземленными сферами с радиусами о и Ь. Исследовать сходимость построенного ряда, а также рядов, получающихся при двукратном почлснном дифференцировании исходного ряда.
Рассмотреть предельные случаи а — э О и Ь вЂ” > со и сравнить с решениями задач 50 и 52. 58. Построить внутри кольца а < р < Ь функцию источника для задачи Пирихле. Рассмотреть предельные случаи а э О и Ь -э оо и сравнить с решением задачи 54. 59. Найти поле точечного заряда е в неограниченном пространстве в присутствии проводящей сферы, на которой распределен заряд величиной е1. Вычислить плотность поверхностных зарядов, индуцированных на сфере.
3. Функция источника в неоднородных средах. 60. Найти поле точечного заряда в неограниченном пространстве, заполненном неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной при з >О, Е = ез при з <О. Вычислить поверхностную плотность, а также величину заряда, ин- дуцированного на границе раздела я = О. 70 Условия задач 61. Полупространство я > 0 заполнено неоднородной проводящей средой, проводимость которой равна п1 при я>Ь., и = па при 0 < я <Ь. В точке М(0, О, б) помещен точечный источник тока. Определить электрическое поле на поверхности проводника (при я = 0). Рассмотреть случай ~ = 0 (источник на поверхности).
62. Заземленный проводящий лист, лежащий в плоскости д, я, имеет сферическую выпуклость радиуса а с центром в начале коор- динат; все полупространство у < О, лежащее ниже плоскости я, я., заполнено диэлектриком с диэлектрической постоянной ез; среда, за- полняющая полупространство у > 0 над плоскостью у = О, имеет диэлектрическую постоянную еь Найти потенциал точечного заряда, помещенного над плоскостью д = 0 в точке Ма(яа, да, яа), причем го = *а+ус+за >а. 2 2 2 63. Полупространство я > 0 заполнено неоднородной проводящей средой, проводимость которой равна пз при У<О, о = пз при д>0. В точке Ма(0, — Ь, б) помещен точечный источник тока мощностью 7а.
Найти потенциал электрического поля, а также плотность тока при у=О, б=О. 64. В бесконечном пространстве в точках (О, до, Фо) и (с; ио Фо) находятся две заземленные проводящие сферы с радиусами а и Ь. В точке р = ра на линии, сосдиняющей центры сфер, помещен заряд е. Найти потенциал поля вне сфер. З 4. Метод разделения переменных 1. Краевые задачи для круга, кольна и сектора. 65.
Написать решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри круга. 66. Написать решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа вне круга. 67. Написать регпение второй краевой задачи для уравнения Ьи = 0: а) внутри; б) вне круга. 68.
а) Написать решение третьей внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа в круге, если граничное условие записывается в виде ди дд — +Ьи=7' при р=а. б) Найти также решение третьей внешней краевой задачи для круга. 71 1 л. !Ъ'. Уравнения эллипти ~еского типа 69.
Бесконечный проводящий цилиндр (цилиндрический кондуктор) заряжен до потенциала г=( ' при 0<во<и, при я < вэ < 2л, где Ъ1 и Ъгг - постоянные. Найти поле внутри и вне цилиндрической полости, а также плот- ность поверхностных зарядов и суммарный заряд. 70. Найти решение: а) внутренней: б) внешней краевых задач; для уравнения Лапласа, если на границе круга заданы условия: Ц и~ = Аз1п~р; 2) и~ = Азшз ~р+ В; ~ Аз|ива при 0 < ~р < л, З)" = — 1 .з о=а ) — Азш во при я < вэ < 2л. 13 71.
Найти распределение температуры в бесконечно длинном круглом цилиндре, если на его поверхности на единицу длины задан тепловой поток („~ = о соз у. 72. Решить задачу 69, предполагая, что цилиндр заполнен неод- нородным диэлектриком с диэлектрической постоянной гг при р< а, г = ег при а<р<Ь, где Ь радиус цилиндра.
73. Бесконечно длинный круглый цилиндр радиуса а движется с постоянной скоростью ио перпендикулярно к своей оси в неограни- ченной несжимаемой жидкости, которая на бесконечности находится в покое. Найти потенциал скоростей жидкости. 74. Решить задачу об обтекании неподвижного бесконечного ци- линдра, если на бесконечности скорость жидкости равна ие. 75. а) Твердый шар движется с постоянной скоростькэ ис в без- граничной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Найти потенциал скоростей. б) Решить задачу об обтекании неподвижного твердого шара по- током жидкости, имеющим на бесконечности скорость ие.
76. Лиэлектрический шар с диэлектрической постоянной сы по- мещенный в безграничный однородный диэлектрик с диэлектрической постоянной гг (ег ~ гэ), находится в однородном параллельном внеш- нем поле с напряженностью Ев. Найти величину поляризации шара и его дипольный момент. 77. Решить задачу 76 для бесконечного диэлектрического ци- линдра кругового сечения (р < а), считая, что внешнее поле Еа на- правлено перпендикулярно к оси цилиндра. 78. Проводящий шар находится во внешнем электростатическом поле Ев. Найти величину искажения внешнего поля.
72 Условия задач 7 9. Бесконечный проводящий цилиндр находится в однородном внешнем электрическом поле Ео, направленном вдоль оси ай образующая цилиндра параллельна оси я. Найти плотность поверхностного заряда на цилиндре. 80. Решить внутреннюю задачу Дирихле для кольца а < р < Ь. 81. Найти распределение температуры в твердом теле, ограниченном бесконечными цилиндрическими поверхностями с радиусами а и Ь (а < Ь), если на поверхности цилиндра р = а поддерживается постоянная температура иа, на поверхности р = Ь при 0 < гд < гг поддерживается температура иа, а при я < ггз < 2я " температура, равная нулю.
82. По бесконечному коаксиальному цилиндрическому кабелю а < р < Ь протекает постоянный ток силы 1. Найти распределение температуры внутри провода, если поверхность гз = а поддерживается при температуре, равной нулю, а на внешней границе задан тепловой поток, равный Асов га, где гр полярный угол. 83. На границе тонкой пластинки в форме кругового сектора р < < а, 0 < ггз < и задана температура Г(гд) при р = а, и= О при гд= О и гр=гг. Найти стационарное термическое поле в пластинке. Рассмотреть частный случай иг при 0 <гр<ог2, ПИ= из при огг2 < гд < сс 84.
Найти стационарное распределение температуры в тонкой пластинке, имеющей форму кругового сектора, радиусы которого под- держиваются при температуре иг, а дуга окружности . — при темпе- ратуре из. 85. Найти электростатическое поле внутри бесконечного цилинд- ра, перпендикулярное сечение которого имеет форму полукруга: по- верхность цилиндра, соответствующая диаметру полукруга, заряже- на до потенциала $'г, а остальная поверхность до потенциала гз.
86. Решить уравнение Лапласа внутри кольцевого сектора, огра- ниченного дугами окружностей р = аз р = Ь и радиусами гд = О, ~Гз = гг, если заданы следующие условия на границах: и=О при го=О, га=гг, 1(ггз) при р = а, Е(ггз) при р = Ь. Рассмотреть предельные случаи а — ~ О, Ь вЂ” г оо, о = зг. 87. Решить задачу 86 для частного случая 1'(гр) = ио, Е(р) = О. 88. Определить магнитное поле токов, один из которых течет в длинном прямом проводе в одном направлении, а другой в парал- 73 уль 1Ъ'.
Уравнения эннинтичссноео типа лельном проводе, находящемся от первого на расстоянии а, в обратном направлении. 89. Пусть в бесконечной круглой цилиндрической пленке течет ток параллельный оси э, с плотностью тока 1, Найти вектор-потенциал магнитного поля, создаваемого этим током. 90. Пилиндр или провод круглого сечения с магнитной проницаемостью щ помещен в среду с магнитной проницаемостью рз. По проводу протекает ток 1.
Внешнее магнитное поле направлено перпендикулярно к оси провода и всюду параллельно и однородно. Определить полное магнитное поле в точках внутри и вне цилиндра, считая цилиндр бесконечно длинным. 91. Вычислить величину магнитной индукции снаружи цилиндрического экрана с внутренним и внешним радиусами а и Ь, имеющего магнитную проницаемость рз и окружающего два параллельных прямолинейных провода, расположенных симметрично относительно оси цилиндра и несущих противоположно направленные токи (магнитное экранирование двухпроводной линии): цилиндр следует считать бесконечно длинным: кооРдинаты пРоводов Р = се, дэ = О и Уэ = х. 92.
Полый шар 0 < г < Ь помещен в однородное параллельное магнитное поле. Пусть р — — магнитная проницаемость шара, в то время как магнитная проницаемость внешней среды принята равной единице. Найти искаженное магнитное поле во всем пространстве. Сравнить поле внутри шара с внешним полем для случая р > 1 и для случая р < 1. 2. Краевые задачи для полосы, прямоугольника, плоского слои и параллелепипеда. 93.
Найти решение общей первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри прямоугольника. 94. Решить смешанную краевую задачу для уравнения Лапласа внутри прямоугольника, если: а) на двух соседних сторонах заданы краевые условия первого рода, а на двух других сторонах "- условия второго рода; б) на двух противоположных сторонах заданы условия первого рода, а на двух остальных — условия второго рода. 95. Найти электростатическое поле внутри области, ограниченной проводящими пластинами у = О, у = Ь и х = О, если пластина х = 0 заряжена до потенциала Ъ", пластины у = О, у = Ь заземлены, а заряды внутри рассматриваемой области отсутствуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
