Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 22
Текст из файла (страница 22)
24. В начальный момент времени 1 = 0 газ внутри сферического объема радиуса го сжат так, что возмущение плотности р = ры а вне объема р = О. Начальная скорость частиц газа равна нулю во всем пространстве. 11айти движение газа при 1 > О. 25. Решить задачу 23, б) для полупространства г > О, если центр сферы находится в точке (О, О, га), га > ео, .рассмотреть частные случаи, когда: 102 Условия задач 26. Решить задачу 23,б) для двугранного угла у > О, н > О, если центр сферы находится в точке (О,уо;яо) до > го, яо > го; рассмотреть случаи, когда: о — — О, лл„-~ о — — О; б) ллн~ о —— О, и~ о — — О.
27. Неограниченное пространство заполнено покоящимся идеальным газом. В момент времени 1 = О в некоторой фиксированной точке этого пространства начинает непрерывно действовать сферически симметричный источник газа мощностью л)(1). Найти потенциал скоростей частиц газа при 1 > О, предполагая возмущения, вызываемые источником, малыми.
28. Решить предыдущую задачу, если источник находится: а) внутри двугранного угла —, где и — целое число, большее и нуля; б) внутри плоского слоя, О < я < 1, причем ограничивающие плоскости являются неподвижными. 29. Из решения краевой задачи илл — — азлззи+ 1(х,у.,з,т), — оо < х.,у.,з < +ос, О < 1 <+ос, и~, = Ях,у,я), ил~ = рл(х,у,я), — оо < х,у,я < +со, методом «спуска» ) получить решение краевой задачи илл = а алаи'-~-1*(хцр,1), — со < х,д < -~-оо, О < 1 <+со, и'~, = ~р*(х,лу), ил*~ = ф'(х,лу), -сю < х,у <+ос. 30. Из решения краевой задачи ип = азлззи жги+1(х,у,я.,1); — со < х,.у,я <+со, 0 <1<+со, ~,,=Ф "у, ), ~,,=Ф(*,д, ), — <:у: <+~, методом «спуска» ) получить решение краевой задачи и", = а~лззи* хе и*+)*л,х,у,1), — оо < х,у < +со, 0 < 1 < +ос, ~л-о з~ ~™)' лЬ вЂ” о т л 'д)' х:у + 31.
На фиксированной прямой в неограниченном пространстве, заполненном покоящимся идеальным газом., непрерывно распределены источники газа, начинающие действовать в момент 1 = О, причем мощность источников единицы длины этой прямой равна 0(1). Найти потенциал скоростей частиц газа при 1 > О, предполагая, что возмущения, вызываемые источниками в окружающем газе, малы (вне бесконечно малой окрестности прямой, несущей на себе источники). 32.
Решить предыдущую задачу для квадранта х > О, у > О, ограниченного абсолютно твердыми плоскостями х = О, у = О, если прямая, на которой расположены источники, параллельна оси я и определяется координатами хо, уо, хо > О, уо > О. ') См. )7, с. 408 410); )2, т. 11, с. 553-.555). л) То же. 103 Гл. У1. Уравнения гипербооичвсного пшпо (2) (4) ') См, задачу 7. г) См, задачу 8. 33. В неограниченном пространстве, заполненном идеальным покоящимся газом, находится сферическая оболочка радиуса то с центром в фиксированной точке. Начиная с момента 1 = О,. радиус сферической поверхности непрерывно меняется по заданному закону, причем радиальная скорость точек поверхности равна ул(г).
Найти движение в случае, когда р(1) = А яш вой 34. Решить предыдущую задачу, если сфера находится в полу- пространстве, ограниченном неподвижной плоскостью. 35. В неограниченном пространстве, заполненном идеальным покоящимся газом, находится сфера фиксированного радиуса то. С момента 1 = 0 центр сферы совершает малые колебания со скоростью Ъ'(1), причем ~Ъ'(в)~ << а, где а скорость звука. Найти потенциал скоростей частиц газа. 36.
Решить задачу о стационарном симметричном сверхзвуковом обтекании клина потоком идеального газа: найти потенциал скоростей в возмущенной области и возмущение давления на клине ~). 37. Решить задачу о стационарном симметричном светгзхзвуковом обтекании кругового конуса с небольшим углом раствора ).
38. Распространяющейся плоской волной для уравнения им = а'Ьи+ си,. (1) д и, д и, где. Ьи = +... +,, называется решение вида Ох', ''' л: г' и = ~(~ а,хв — И). ~=ч Плоская волна и = 1(" а;х, — 61) имеет одно и то же постоянное значение на каждой плоскости семейства п а;х, — Ы = солям (3) г=-1 Расстояние от плоскости (3) до начала координат хз = О, хз = О, ... ..., х„= 0 равно Ьг -Е совяФ ~,,-:)'" С изменением 1 плоскость (3) движется со скоростью (,,')' оставаясь параллельной своему начальному положению (при 1 = О) п а,х, = сопя$; Ф) ~ =- 1 104 Условия задач 39. Решить задачу о стационарном обтекании волнообразной стенки у = ез1палт, где е мало, — со < я < +со, потоком идеального сжимаемого газа, невозмущенная скорость которого совпадает по направлению с осью я и равна сГ = сопза Рассмотреть случаи: а) дозвуковой скорости потока; б) сверхзвуковой скорости потока.
40. Путем суперпозиции плоских волн с фронтом, параллельным оси я, Д~а1 — о а — Ду), где о и )з — направлякицие косинусы нормали к фронту волны, получить цилиндрические волны ф(г 1) = где г = уаз Найти явное выражение для 1д(г,1) при условии, что при — оо < С < — га, — ге <~< „ при га < С < +ос. О У(Е) = гза = сопзг О у~ (аС вЂ” г) 41. Путем суперпозиции гферически симметричных волн и Гз (аг -Г г) где 11(Я и уз(с) — — произвольные функции, получить цилиндрические волны /' 2Я4) 44 ф ~ ) /' 21г(4) 44 'аг-б' — '' ' .,~, заг — а'-а" Р =я+у предполагая интегралы сходящимися. иными словами, со скоростью (5) она удаляется от своего первоначального положения (6).
Для упрогдения выкладок будем в дальней- а шем считать, что лз а, = 1, т.е. что а, являются направлякзщими 2 г=1 п косинусами нормали к плоскости (3); Я = ~ а,т, — 61 называется фазой волны (2), а у --. формой волны. д 1) для существования плоских волн произвольной формы у уравнения (1), распространяющихся со скоростью а в любых направлениях, необходимо и достаточно, чтобы было с = О; 2) при с ф О у уравнения (1) существуют плоские волны любых направлений распространения и любых скоростей, кроме скорости а, однако их форма не может быть произвольной, а является решением дифференциального уравнения Уа(Ф(а' — 6') + 111д) с = О. 105 Гл.
у1, уравнения гиперболического типа 42. Найти цилиндрически симметричные монохроматические волны в неограниченном пространстве, решая уравнение ип = и ели, 2 а затем получить эти волны путем суперпозиции плоских монохроматических волн. 43. Путем суперпозиции плоских волн получить сферическую волну вида 44. Решить задачу об отражении и преломлении плоской моно- хроматической волны на плоской границе раздела двух различных идеальных газов; найти соотношение между углами падения, отражения и преломления, а также между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн. Невозмущенные давления в обоих газах предполагаются одинаковыми. 45.
Найти соотношение между углами падения, отражения и преломления плоской монохроматической электромагнитной волны на плоской границе двух однородных изотропных диэлектриков. 46. Рассматривая случай нормального падения плоской монохроматической электромагнитной линейно поляризованной волны на плоскость раздела двух однородных изотропных диэлектриков, найти соотношение между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн и дать выражение для этих волн. 9 3. Метод разделения переменных ) 1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций. В этом пункте рассматриваются также краевые задачи для областей с плоскими и сферическими границами, решения которых выражаются в виде рядов по простейшим (элементарным) собственным функциям оператора Лапласа для этих областей.
Сначала среды предполагаются изотропными и однородными, затем приводится несколько задач для неоднородных сред. а) Однородные среды. 47. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < < х < 1ы 0 < у < 1г с закрепленным краем, вызванные начальным отклонением и(х,у,О) = Аху()з — х)(Ьг — у), если реакцией окружающей среды можно пренебречь. 48.
Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < < х < 1ы 0 < у < 1з с закрепленным краем, вызванные начальным распределением скоростей н,(х, у, 0) = Аху(1з — х)(~г — у), если реакцией окружающей среды можно пренебречь. П См, вторую сноску на с. 29. РОО Услееин задач 49. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < < т < 11, 0 < у < 11 с закрепленным краем, вызванные поперечным сосредоточенным импульсом К, сообщенным мембране в точке (хо, уо), 0 < хо < 11, 0 < уо < 17, считая, что реакция окружающей среды пре- небрежимо мала. 50. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < < х < 11, 0 < у < 17 с закрепленным краем, вызванные непрерывно распределенной по мембране и перпендикулярной к ее поверхности силой с плотностью Р(х,у,1) = А(х,у)взпа71, 0 <1< +со, считая, что реакция окружающей среды пренеброжимо мала. 51.
Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < < х < 11, 0 < у < 1з с закрепленным краем, вызванные сосредоточен- ной гюперечной силой г'(1) = Асйпа71, А = сопЯ, 0 <1<+ос., пРиложенной в точке (хо,Уо), 0 < хо < 11, 0 < Уо < 1ю считаЯ, что реакция окружающей среды пренебрежимо мала.
52. Найти колебания воды в прямоугольном резервуаре 0 < х < < 11, 0 < у < 17 под действием переменного внешнего давления на свободной поверхности ро(х,у,1) = А соз — соз †' у(1), 0 < 1 < +оо, у(0) = О, Н Н если глубина воды в невозмущенном состоянии равна Ь. Функция Д(1) предполагается имеющей непрерывную производную ). 53. Решить задачу 49, .предполагая, что окружающая среда ока- зывает сопротивление, пропорциональное скорости. 54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
