Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При решении задач излучения звука сферой и рассеяния на сфере применяются функции 121 Гл. УИ. Уравнения эллиптического типа вш (Р— — и) 2 г + Р 1 3.5...(2п-ЬЦ при больших р, г).(Р) =, Г 7п.ьг~г(рг) = )~ 2Р при малых р, (Р) — Н ~ (Р)— е — Це —, 1 егнг1 +... при больших р, Р .1 3 5...(2п — Ц Р .ю +1 3 (2 УЦ+ ггрнмалыгсР В дальнейшем мы будем пользоваться для малых р следующим представлением функции С (р): РО (1 1(р) = п,е""' +... 1.
Точечный источник. 36. Найти функцию источника для полупространства г > О, если в плоскости г = О решение уравнения Ьи + йги = О: а) удовлетворяет граничному условию первого рода п~ дп б) удовлетворяет условию второго рода дг г=гг 37. Найти функцию источника для волнового уравнения в полу- плоскости у > О: а) для первой краевой задачи; б) для второй краевой задачи. 38. Вычислить энергию, которая излучается в свободное пространство изолированным точечным источником звука, колеблющимся по гармоническому закону. Найти также величину удельного акустического импеданса. 39.
Точечный источник звука помещен в полупространстве г < О на расстоянии а от абсолютно жесткой стенки г = О. Найти излучение источника, его интенсивность в волновой зоне и сравнить с решением задачи 38. где 1 3... (2т — Ц р "' ' 1г Зг... (2т — Цг(2т Ь Цг Функция ~~;1(йт) удовлетворяет условию излучения 'ди 11ш г ( — + гйгг) = О, е — ~ос дг соответствующему зависимости от времени вида е™. Все необходимые теоретические сведения по материалу 3 3 можно найти в гл. 1гН, а также в добавлениях 1 и Н курса [7). 122 Услаеин задач 40.
Решить задачу 39, считая, что полупространство заполнено жидкостью, ограниченной свободной поверхностью я = О,на которой давление равно нулю. Сравнить с решениями задач 38 и 39. 41. Доказать принцип взаимности в акустике: «Если в заполненном воздухом пространстве, частично ограниченном простирающимися на конечное расстояние неподвижными телами,. частично же неограниченном, в какой-либо точке ЛХ возбуждаются звуковые волны., то обусловленный ими в какой-либо другой точке Р потенциал скорости и по величине, и по фазе совпадает с тем, который имел бы место в ЛХ, если бы в Р находился источник звука» (см.
~36)). 42. Показать, что в бесконечной цилиндри геской трубе произвольного сечения с абсолютно жесткими стенками при некоторых условиях могут существовать бегущие звуковые волны. Найти фазовую скорость бегущих волн и вычислить поток энергии через бесконечно удаленное сечение трубы (волновода). Рассмотреть случаи прямоугольного и круглого сечения. 43. Построить функцию точечного источника, помещенного внутри цилиндрической трубы произвольного сечения, для волнового уравнения при граничных условиях: а) первого рода, б) второго рода.
Рассмотреть частный случай круглого сечения. 44. Решить задачу 43 для полубесконечной трубы н ) О. 45. Построить функцию точечного источника для цилиндрического резонатора 0 < н < ) с произвольным поперечным сечением. Стенки резонатора считать абсолютно жесткими. 2. Излучение мембран, цилиндров и сфер. 46. Пусть в сечении н = 0 трубы круглого сечения, рассмотренной в задаче 42., помещена мембрана, колеблющаяся со скоростью о = = оае'"е (поршень).
Определить реакцию давления звуковых волн на мембрану. 4Т. Решить задачу 46, предполагая, что скорость возбуждшощего поршня меняется по закону о = оо(г)е™, где оа(г) - - заданная функция. Рассмотреть частный случай ооЯ = Адо (~ г)~, где А константа, р корень уравнения,Та(д) = О. Найти величину вектора Умова и величину акустического импе- данса на поршне. 48.
Пусть цилиндр радиуса а пульсирует, т.е. сжимается и расширяется равномерно по гармоническому закону; его скорость на поверхности при г = а равна о еелл о Гл. Ъ'1й Ураеиеиия эллиптического гпипа 123 Найти давление, радиальную скорость воздуха на больших расстояниях от оси цилиндра, а также поток энергии. 49. Решить задачу 48, предполагая, что радиус цилиндра мал по 2ке сравнению с длиной волны Л = †, т.е. йа«1. 50. Цилиндр радиуса а колеблется как целое перпендикулярно к его оси 1вдоль оси я) со скоростью иве'"'.
Найти давление и скорости частиц воздуха; для случая Йа « 1 вычислить удельный акустический импеданс и полную мощность излучения для единицы длины. 51. Цилиндр радиуса а колеблется по гармоническому закону так, что скорость на его поверхности равна д~д)Есле где Ду) заданная функция. Найти давление и скорость воздуха, поток энергии 1при малых Йа, где Й = — ). е Получить из найденных формул решения задач 48 — 50.
52. Центр шара радиуса а колеблется вдоль полярной оси со скоростью иее' '. Нели а « Л 1ка «1), Л . длина волны, то такой акустический излучатель в форме малого колеблющегося шара называется акустическим диполем. Найти поток энергии и полную мощность, излучаемую акустическим диполем. 53. Поверхность шара конечного размера колеблется по гармоническому закону 110)е' ~. Найти полную реакцию среды на шар при Л Еа « 1, где Е = —. Рассмотреть частный случай 2к У(0) = 54. Исследовать звуковое поле поршня, .вставленного заподлицо с поверхностью сферы и способного колебаться без трения.
Распределение скоростей по сфере при наличии такого поршня можно представить таким образом: Еио при 0 (О (0о, 10) =1 ~0 при 0е <0<я. Рассмотреть случай малого 0е. Дать выражение для давления при низких частотах. 55. Поверхность шара колеблется так, что радиальная составляющая скорости на поверхности равна и„= — о11+ 3соз20)е' ~.
4 Такой источник звука называется излучателем второго порядка,или квадрупольным источником. Вычислить интенсивность и мощность его излучения. Начертить полярную диаграмму интенсивности излучения. Рассмотреть случай длинных волн. 56. Твердая круглая пластинка колеблется по простому гармоническому закону в равном ей по площади круглом отверстии, вырезан- 124 Условия задач ном в твердой плоской пластинке, простирающейся в бесконечность. Найти давление и скорость частиц воздуха и мо|цность излучения.
57. Найти реакцию звукового поля на пластинку, рассматриваемую в задаче 56. Рассмотреть частный случай, когда радиус поршня мал по сравнению с длиной волны (Йа « 1). 58. Решить задачу 56, .если на поверхности поршня (пластинки) скорость переменна: п = ~Я (поршень «нежесткий»). Ограничиться представлением решения в волновой зоне. 3. Пифракция на цилиндре и сфере.
59. Плоская звуковая волна распространяется в направлении, перпендикулярном к оси бесконечного жесткого цилиндра радиуса а. Найти рассеянную волну. Рассмотреть случаи больших и малых расстояний от цилиндра. 60. Исходя из решения задачи 59, вычислить интенсивность рассеянной волны, а также исследовать зависимость характеристики направленности рассеянной волны от длины волны. 61.
Вычислить полную мощность в звуковой волне, рассеянной на единице длины цилиндра, для предельных случаев коротких и длинных волн (см. задачу 59). Найти силу, действующую на цилиндр. 62. Построить решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны на сферическом препятствии. 63. Пользуясь решением задачи 62, вычислить интенсивность рассеянной волны и полную рассеянную мощность для случая ка «1, 2я ы где Й = — = —, Л длина волны, а радиус сферы.
Л с' Вычислить силу, действующую на шар. 64. Решить задачу о рассеянии плоской волны на шаре радиуса р = а, если шар совершенно свободен и движется под действием воздуха. 65. Решить задачу о движении шара радиуса а под действием падающей плоской волны, если шар закреплен упруго, т.е. возвращающая сила равна Х = — Мззез(, где с координата центра шара, М масса шара.
Трением воздуха пренебречь. 2 4. Установившиеся электромагнитные колебания 1. Уравнения Максвелла. Потенциалы. Векторные формулы Грина — Остроградского. 66. Написать уравнения Максвелла в ортогональной криволинейной системе координат (ты тз, тз), в которой квадрат элемента длины Гл. Гй Уравнения гиперболического осипа 125 дается формулой ССе — 7С1 ССХ1 + 1С2 6Хо + 63 АЗ где 6ы 6з, 6з метрические коэффициенты. 67.
Показать, что решение уравнений Максвелла 1дР 4п гоС Н = — — + — у, с11и В = О, .Ю = рН (Сс = сопзС), е дС е 1аВ гоСЕ = — — —, ЖиР =4кр, Р =еЕ (е = сопят), с дС' можно представить в виде 1 дА Е = — ягае1 ~р — — —, е дС , ер скалярный потенциал, связанные Ю = гоСА, где А векторный потенциал между собой условием Лоренца с11иА+ —" — ' = О е дС и удовлетворяющие уравнениям 1 д'Со 4я з ео Ьзо — — — = — — р, а аг дег е ' ер 1 да А 4я С6А — — = — — Ссз1 аг дег е Здесь с6А оператор Лапласа, дойствующий на криволинейные компоненты вектора А. Найти выражение для ЬА в криволинейных ортогональных ко- ординатах.
Показать, что при р = О, у = О уравнения Максвелла допускают решение вида 1 дА' Р = — гоС А', Н = — кгаеС у' — — —, с дС где А' и зо' -- так называемые антипотенциалы. Рассмотреть случай, когда зависимость от времени имеет вид е 68. Ввести скалярный и векторный потенциалы для уравнений Максвелла в однородной проводящей среде.
69. Ввести поляризованный потенциал П (электрический век- тор Герца) для уравнений Максвелла в вакууме, пользуясь соотноше- ниями 1 дП А = — —, зо = — СССУН, е дС где А . - векторный потенциал, ео - скалярный потенциал. Рассмотреть случай, когда зависимость от времени имеет вид е ' с. Аналогично ввести магнитный вектор Герца П'. Опреде- лить векторы Герца в проводящей среде.
70. Если метрические коэффициенты удовлетворяют условиям д /6а1 6с — — 1, ) — ) = О, а электромагнитное поле в вакууме зависит д, 1,6з,) от времени как е ', то его можно представить с помощью двух ска- лярных функций бс и Г (функций Боргниса): 126 Уелсгеин задач а) для поля электрического типа (Н1 = 0) имеем дги 1 дгН 1 дги Е1 й зУ + г Е2 , Ез [й ) Дхг ' йг Дхз Дхз ' Ьз Дхс Дхз [ с ) гй ДН зй ДН Н1=0, Нг=, Нз= Ьз Дхз 62 Дх2 б) для поля магнитного типа (Ес — — 0) имеем зй ДГ, гй ДН' Е[ =О, Ег = — ',, Ез — — —— йз дхз' йг Дхг' Дйс', 1 ДН', 1 ДН' 1 — Дхг: 2 = йг ДхсДхг з = 11 Дх Дхз: 1 где 1У и Гс --- функции, удовлетворяющие уравнению д Н+ 1 ~ Д (йз Дсз)+ Д (йг ДсУ)1+й211=0. По~азата это у~~ержде~~е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
