Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 28
Текст из файла (страница 28)
99. Определить поле, излучаемое вертикальной магнитной антенной, находящейся на плоской земле (см. задачу 95). 100. Решить задачу о распространении волн, излучаемых горизонтальной электрической антенной, находящейся на поверхности земли (см. задачу 96). 101. Найти электромагнитное поле,. создаваемое горизонтальной магнитной антенной, лежащей на поверхности плоской земли (см. задачу 97). 102. Вертикальный электрический диполь расположен в среде 1, постоянная распространения которой равна кы в точке з = зо, г = О. Среда 2 имеет вид плоскопараллельной плиты с постоянной распространения к и границами з = а < яо и з = О.
Полупространство з < 0 ицеально проводящее. Найти поляризационный потенциал вторичного поля П„„р. 103. Найти электромагнитное поле, возбуждаемое линейным током в неограниченном пространстве, .и вычислить поле в волновой зоне. Определить сопротивление излучения.
104. Определить сопротивление излучения полуволнового диполя в неограниченном пространстве, а также реактивную часть входного сопротивления (реактанц) полуволнового диполя. 105. Внутри цилиндрического волновода, рассмотренного в задаче 78, помещен точечный диполь, параллельный оси волновода и гармонически колеблющийся по закону е Найти средний за период поток энергии, излучаемой диполем. Вычислить сопротивление излучения. Решение искать для волновода произвольного сечения и затем рассмотреть волновод круглого сечения, предполагая, что диполь находится на оси волновода.
Гл. Ъ7. Уравнения гипероолииеекого типа 106. Найти выражение для электромагнитного поля внутри волновода, возбуждаемого линейным током длиной 21, параллельным оси волновода, и вычислить поток энергии через поперечное сечение трубы для частного случая полуволнового диполя, лежащего на оси радиоволновода круглого сечения. Найти активную и реактивную составляющие входного сопротивления.
Задачу решать в приближении заданных токов, пренебрегая влиянием вторичного поля на распределение тока в диполе. 107. Использовать решение задачи 106 для отыскания сопротивления излучения и реактанца полуволнового диполя, лежащего на оси волновода круглого сечения и направленного вдоль этой оси. 108. Вычислить поле, возбуждаемое внутри бесконечного прямоугольного радиоволновода с идеально проводюпими стенками электрическим диполем, перпендикулярным к оси волновода и параллельным одной из сторон перпендикулярного сечения, и найти сопротивление излучения для: а) бесконечно малого диполя; б) полуволнового диполя. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШКНИЯ Глава 1 КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВКДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 3 1.
Уравнение для функции двух независимых переменных апти + 2аззи „+ аззи„„+ Ьги + Ьяи„+ си = 21х,у) 1. Уравнение с переменными коэффициентами. 1. Пискриминант уравнения (1+ х) и,, + 2хуи,,„— узи„„= О равен о~з — о11азз = у (х + х з- 1) = у (х — х3)(х — хз), где 1 — за — 41 1 4- ч'Т вЂ” 41 хз хз— 2 ' 2 Пусть 1 < —, тогда хз и хз действительны, и при х < хм а также .1 ' при х > хз уравнение гиперболично, .а при хз < х < хз оно эллиптично, прямые х = хз и х = хз, у = О состоят из точек параболич- 1 ности. При 1 = — область эллиптичности исчезает, так как при этом 4 х1 = хз = — —, прямая х = — — состоит из точек параболичности. 2' 2 При 1 > — уравнение гиперболично всюду.
4 у 2. Уравнение их„, + хиз „= О при х < О принадлежит к гиперболическому типу и 3 з заменой С = — у+(~à — х)з, у = — у — (~à — х)з 2 2 приводится к каноническому виду 1 игл — ~ )(иà — ия) = О, С > О. О При х > О уравнение и„-~- хия„= О принадлежит эллиптическому типу и заме- 3 ной С' = — у, ц' = — ъ'хз приводится к каноническому виду 1 Рис. 13 иве + и,'з' + —, ил' = О у ( О. Зг1~ Гл.
й Уравнения в наетнььх производных второго порядка 133 Характеристиками уравнения являются полукубические параболы 1рис. 13) ~2 ~ Л--х)з 3 причем ветви, направленные вниз, задаются уравнениями 4 = сопз1, а ветви, направленныс вверх, уравнениями ь1 = сопки 3. Уравнение и, + уиво — — 0 при у < 0 гиперболично и заменой 4 = х + 2зл — у, ь1 = х — 2злс:у приводится к каноническому виду 1 иев+ (ис — и„) =О, ( >ь1. 2(С вЂ” ьЛ) При у > 0 уравнение эллиптично и заменой 4л = х, ь1' = 2 лу приводится к каноническому виду 1 илч +ион — —,ин —— О, у >О.
лЛ Характеристиками уравнения являются параболы (рис. 14) 2 у= — — (х — с) . 4 Ветви, идущие от оси х влево, задаются уравнением 4 = сопз1, а идущие вправо О = сонэк Рис. 14 1 4. Уравнение иах + уи„+ — ио — — 0 имеет всюду такой же тип, 2 как уравнение их, + уьлкв = О, .рассмотренное в предьлдущей задаче. Теми же заменами, что и уравнение ьл, + уи„„= О, оно приводится к дзи каноническому виду = 0 в области гиперболичности (у < 0) и д( дьл дхьл дзи к каноническому виду, +,,' = 0 в области эллиптичности (у > 0). Характеристики уравнений и„+ уи„о -~- — ив — — 0 и и, + уи, в — — 0 2 совпадают. Замечание.
Сопоставление уравнений и ., + уио — — О, их + 1 + уи„„+ — и, = 0 показывает, что наличие членов с младшими про- 2 изводными существенно сказывается на уравнении, так как в одном случае коэффициенты уравнения после приведения его к каноническому виду имеют особенности, а в другом нет. 5. Уравнение уи + хи„, = 0 во второй и четвертой четверти гиперболично и приводится к каноническому виду дзи дзи 1 ди 1 ди + — — — — — =0 д~л дтЛ' 3~ д~ Зл ду 134 Отвенгм, указания и решения путем замены ~ = ( — л)з7г, О = (д)згг во второй четверти, ~ = лз7г, г1 = ( — д) ~г ~ в четвертой четверти.
В первой и третьей четверти урав- нение эллиптично и приводится к каноническому виду дги дги 1 ди 1 ди —,+ — + — — + — — =О, дСг дц'г 3~' д4' Зп' дг1' путем замены С = из г~, г1 = дгк~г в первой четверти, С = ( — т)~7~, г1 = = ( — гд)~г~ в третьей четверти. Оси и и д состоят из точек параболич- ности.
Как известно г), переход от одной канонической формы гипер- болического уравнения к другой д и д и — (- ди ди 1 ( д~' дуг ~ ' ' ' де' дб( осуществляется с помощью подстановки — с+ц — с — л г1 = 6. Уравнение ти„+ ди, „= О в первой и третьей четвертях эллиптично и приводится к каноническому виду да да 1 да 1 да + — — — — — — =О дсг дг1г ~ д4 1 дд подстановкой ~ = т~г~, г1 = д"г~ в первой четверти, С = ( — л)~г~, О = = ( — д)ь~я в третьей четверти. Уравнение гиперболично во второй и четвертой четвертях и приводится к каноническому виду дги да 1 да 1 да — — — — + — — =О д~г днг 4 д4 г1 дн путем замены ~ = ( — т)~7~, г1 = (д)~гг во второй четверти, = (т)~7г, г1 = ( — д)~7~ в четвертой четверти.
Оси л и у состоят из точек параболичности. 7. Уравнение и ., + иди„„ = О в первой и третьей четвертях эллиптично и приводится к каноническому виду 1 1 иве+и„+ — ие — — и = О л' 34 г1 Ч 2 2 зг заменой С = — тзгг, .г1 = 2дггг в первой четверти, С = — ( — т)згг, 3 3 г1 = 2( — д)ггг в третьей четверти.
Уравнение гиперболично во второй и четвертой четвертях и приводится к каноническому виду 1 1 иве — и,, + — ив+ — и = О 3~ ц ') См. )7, с. 16). Гл. й Уравнения в чаетнвьх производных второго порядка 135 2 з 2 путем замены ~ = — ( — х)зтз, ьт = 2уьдз во второй четверти, 3 2 з 2 = — хзтз, 21 = 2( — у)212 в четвертой четверти. Оси х и у состоят из точек параболичности.
8. Уравнение и„яка у+ 2иа„+ и„„= 0 в первой и второй четвертях параболично и заменой 1=х+уь п=х — у приводится к каноническому виду д'и =О. де 2 В третьей и четвертой четвертях оно гиперболично и заменой ~ = (1 + ~/2)х + у, т~ = (1 — иГ2)х + д приводится к каноническому виду — = О. дс де 9. Уравнение из + 2иао + (1 — яоп у) и„„= 0 в первой и второй четвертях гиперболично и заменой ~ = у — 2х, у = у приводится д и к каноническому виду — = О, а в третьей и четвертой четвертях дс дц оно эллиптично и заменой ~=х — д, п=х дза ди приводится к каноническому виду — + — = О. д12 дт)2 10. Уравнение и„яяььу+2и,а+ива яках = О в первой и третьей четвертях параболично и заменой С = х+у, тт = х — у приводится к д и д и каноническому виду, = 0 в первой четверти и к, = О в третьей дц' четверти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
