Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 42
Текст из файла (страница 42)
и(х, «) = ае + Ьое 2"' + е "' ~ 0„(«) сов п=1 0„1«) = ап + Ь„«, 0„(«) = ап ейшп«+ Ьп вйшп«, ( ит пка — ) гт, 1 п = 1, 2, ..., (2) 0„1«) = ап сов шп«+ Ь„вш гоп«, 2 г птге ап = — ««тР(Я) СОВ Е«2, о Гтап = — «тР(2) СОВ Г«Я, '- Т/' о п=1,2, ( Ь, ~'фа 'я., —, ~,Р«я)'«6+2 «~М)<, о о о пк а тига «2 ( тт, шп = 1 пРи и'яа 2 пка т"тп «2 — 1 при — ) и.
пка =и, 121. и«х, «) = е "т ~ Отг(«) сов Лпх, п=1 Э,(т>=.п т,.ттт,.е „т, .=,У вЂ” РУ 0„1«) = а„+ Ьп«, шп = 1 пРи аЛп = и, в„тт)=,„„, „ттт„г .т, „= 'Рг*„-'~ т 2.,) (2) Лп положительные корни уравнения Л«яЛ« = 6, а„= / тр(я) сов Лпв е«в, 2 + «(Л2 + 62) 2 Ьпшп — ттап = ~ ~тР«2) сов Л„е г«в. 6 ««Лт -В 62) ') См. ответ к задачам 111 и 112. 1221).
и(х, «) = е ' ~ Опт«) вгп(Л„х+ тр„), 11) п=1 где 0„1«) и от„определяются по формулам (2) ответа предыдущей 225 1'л. 11. Уроененид гиперболического типа задачи, Лп положительные корни уравнения Л вЂ” 6 6 Л(6г -~- 6г)' Л грп — агс18 61' (2) аи — ~~гр(я) ийп(Лпя+грп) г(я, п = 1, 2, 3, 2 (Лг + 6г6~Н6~ г" 6г) 1+ (Лг ч 1гг)(Лг ч 1гг) Ьггго„— оа =, 1ьгР(Я) Яп (Л Я + гР,) г1г, 2 (Л"„т 6гбг)(1гг ~- 6г) ('" .-":'.".
,) п = 1, 2, 3, 123. Репгение краевой задачи о.. = СЬюгг+ СДи„О< т <1, О <1<+со, (1) (0,1) = .(1,1) =О, 0<1<+ (2) и(т, 0) = ио, иг(т, 0) = О, 0 < т < 1, (3) и==о где (2и+ Цгг С11~1~ 21,,гС1, Хггг(2п+ цг 4'оо .е(2п + 1) яп уг Б $3 гРп — — 2игп —. -~. гю 2ооя ог ч (2п Ч- 1) сое(иго1 — гргг) х БСг1г(Ь вЂ” о) ог„~/ю3 + о~ п=о (2и Ч- Ци(а г;Ь) . (2п+ 1)я(а — Ь) . (2п-е 1)тт х зич звч 81п при 0<и<а, 1 1'В СЛ (2 + 1)гяг 2 'ЛХ С/ ' ы" 41гСЬ о 13Рн = —. ог„ Скг1 ') Предполагается, что Б > 1З Б.М, Будак и др.
имеет вид гг(т, 1) = е гггдго1 ~~г ' а„Яп "' Яп(иггг1+ гР„), (4) 21 226 Ответы, указания и регаевия Ево ( ) Я е-.с С;" (2 с+1) о=о х гйп з|п соз(ос⫠— ср„) при 0 < х < хо, (2п+ 1)сгхо е (2и -Ь Цсгх где величины и, и, оса, сра определяются так же, как в ответе к предыдущей задаче. 3. Вынужденные колебания под действием распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления и в среде с сопротивлением. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний струны под действием непрерывно распределенной силы в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, имеет вид исс = а и.„— 2иис + У(х, С), причем г (х, С) = р((х, С) есть вынуждающая сила, приходящаяся на единицу длины, р линейная плотность массы струны, 1(х, С) --- ускорение, которое получила бы точка струны с абсциссой х в момент С, если бы на нее не действовали никакие другие силы, кроме вынуждающей.
Член — 2ссис, представляющий собой сопротивление, пропорциональное скорости, исчезает,. если колебания происходят в среде без сопротивления. Краевая задача исс = ази„— 2иис+ С(х, С), 0 < х < С, 0 < С <+со, (1) оси (О, С) + Дди(0, С) = О, ози (С, С) + ССзи(С, С) = О, 0 < С < +ос, (2) и(х, 0) = р(х), и(х, 0) = гсс(х), 0 < х < С., (3) может быть сведена к более простым ') задачам. Если удается найти какое-либо частное решение ю(х, «) уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2), то решение краевой задачи можно будет представить в виде и(х, С) = и(х, С) + гл(х, С). (4) где и(х, С) есть решение краевой задачи исс — — аяпхх — 2гис, 0 < т.
< С, 0 < С < +ос, (5) оспе(Ог С)+Яи(0, С) = О, озис(С, С)+Дзи(С, С) = О, 0 < С < +со, (6) и(х, 0) = оо(х) — ш(хг 0), ис(х, 0) = ф(х) — юс(х, 0), 0 < х < С, (7) которое рассмотрено в предыдущих параграфах. Аналогично обстоит дело в случае вынужденных колебаний под действием сосредоточенных сил, приложенных к концам или внутренним точкам струны. ') См. (7, с. 103); сведение рассматриваемой задачи к более простым может быть выполнено аналогично. 227 Рл. П.
Ууавненин еипедоолинееноео типа 126. Решение. Имеем краевую задачу иле =ахи„— 2иил+д, 0 <х < 1, 0<1<+со, (1) и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +со, (2) 77 г.'о 6(1 — х) 1 — хо 7л(х, 0) = 0 < х < то, хо<х<17 (8') (1), удовлетво- ил(х, 0) = О, 0 < х < й Ищем сначала стационарное решение ю(х) уравнения ряющее граничным условиям (2). Подставляя ю(х) в (1), получаем ~2 О=аз, +д, 0<х<1, откуда 7о х) = — —, х + Слх + Сг. У г 2ал Из граничных условий (2) находим Со = О, СЛ = + †,.
д1 2аг ле овательно. (4) С д ю(х) = — —,х + —,х. д г У1 2ал 2ал Теперь остается решить краевую задачу им=ах„— 2иил, 0<х<1, 0<1<+со, (б) (7) (8) и(0, 1) = и(1, 1) = О, 0 < 1 < +ос, х — х+ — (х - 1х), О < т < то, д г то 2ал о(х, 0) = ' + †' ( ' - 1х), х, < х < 1, 1 — хо 2ал и,(х, 0) = О, 0 < т < 1, (9) (10) и(х, 1) представится в виде и(х, 1) = и(х, 1) + ю(х).
(11) Выражение для и(х, 1) получается по формулам (7), (7'), (7н), (8), (9) введения к предыдущему пункту ответов и указаний настоящего параграфа. Заметим,что если бы член — 2иа,в уравнении (1) отсутствовал, то стационарное частное решение краевой задачи (1), (2) и, следовательно, начальные условия (9) и (10) для нахождения функции и(х, 1) остались бы прежними. В этом случае уравнение (7) не содержит члена — 2ии7 и и(х, 1) находится без труда. 1З* 228 Ответы, указания и решения 6 — х, 0<я<ха, 0 ( х ( 1 р ( х ) ха <х<1, Ф) ю(х, 0) = уа1х) — ю1х), ое1х, 0) = О, 0 < х < 1. ПУсть аЛн ) и, п = 1, 2, 3,...
Тогда с1х, 1) = е '~ ~ 1а„созшо1+ Ьнз1поао1)хнЯ, 110) где ня а о~н— о 12 — и2 Хазах) = сйп :,:х1ы имеем ао =, ~с1х, 0)хн1з) е1з = 1 ~~Х,.!Р и бн = — а„, ш„ = — / ~фя) — ю1я))Х„Я ~Ь = — ~~рЯХ„1х) еЬ вЂ” — ~юЯХоЯ еЬ 2 2 2 о о о Первый интеграл в последней разности равен нвхха 2 21 Ьв1п — ' в /уа1я)Х„(х) еЬ = о Второй интеграл может быть вычислен с помощью уравнения Х„"1х) + Л'„Х„<х) = О и интегрирования по частям — тГ-~) -~)'=Й/-~)х ~)'= о "Ь = — „', ~ (Ох'„(Е/',— Зехве/',е / ох„в,~ а ') См.
)7, с. 104-106). При отыскании с1х, 1) можно не пользоваться явным выражением для ю1х) ). Пусть ю(х) есть стационарное решение уравнения 11), удовлетворяющее граничным условиям 12). Тогда решение краевой задачи 11), 12), 13) может быть найдено в виде 111), причем с(х, 1) является решением краевой задачи иее =азгхе — 2исе 0 «*1, 0 <1<+со, (7') е(0, 1) = с<1, 1) = О, О < 1 ( +ос, 18') Рл. П. Уравиеиин гиперболического типа 229 Так как Хп(0) = Хп(1) = О, ш(0) = ш(1) = О, агюи(х) + д = О, то — — ) ю(х)Хп(х) г(х = — ) Хп(х) г(х = — ' (1 — ( — 1)"). 1) Лгаг1 ) " ипЛгаг о о Таким образом, 717ГХо 2Р г в'и ( — 1 ( — 1) "] гг' г ( пгхо(1 — хо) ипоаг п=1 и . 1 . 7ИГх х (созш„1+ — згпш„1) згп .
(12) шп Воспользовавшись найденным ранее явным выражением (6) для ю(х), можно теперь написать выражение для решения задачи (1), (2), (3), (3') и(х, 1) = — †,' (х — (х) + 2аг 21 п=1 77 . 1 . пггх к (созшп1+ — з1пш771) з1п . (13) 7) Мы видим, что при 1 — 1 +ос и(х, 1) — 1 ю(х), где ю(х) = — — '(х — 1х), 2аг есть положение равновесия под действием силы тяжести. При и — 1 0 из (13) получим решение задачи для случая, когда колебания происходят в среде без сопротивления. 127. Решением краевой задачи им=а и,„+д, 0<х<1, 0<1<+ос, и(х,О)=0, иг(х,О)=ио, 0<х<1, и(0.,1) =07 их(1, Е) =О, 0<1<+со, является дх /1 х1 с ( 1617 (2п+1)лаг соз аг (, 2) ( (2п -Ь 1)гяг 21 п=в 8ооР . (271+1)иае) .
(2п+1)гх +, сйп 1 сйп (2п+ 1)гггга 21 ) 21 128. Решением краевой задачи иге=ахи„, 0<и<1, 0<1<+со, и(0, 1) = О, иг(1, 1) = — о, 0 < 1 < +ос, и(х, О) = О, иг(х, О) = О, О < х < 1, является йо 8Ро1 к ( — 1) . (2п -ь 1)ях (2п -~- 1)наг .=о 230 Ответы, указания и решении 0<х<1, 0<1<+со, дз =авд, — 2и —, 0<х<1, 0<1<+ос, (1п) ш,(0, 1) = О, ш~1, 1) = А, О < 1 < +со, (2') (3') сов ш,е -~- = взпю 2 21 п=е где ОЕП = где Ц р- = =.
шп (6) и= — ( — + — ), ') См. задачу 5. 129. Решение. Из краевой задачи') — — = — + 2рш, др дш дх де др,д — — =а де дх ' р(0, 8) = О, ш(1, 2) = А, 0 < 1 < +оо, ш(х, 0) = О, р(х, 0) = О, 0 < х <1, исключая р(х, 1), получаем краевую задачу ш(х, О) = ше(х, О) = О, О < х < 1, откуда находим -~-ъ ш(х,1) =А — — е 4А — ые Давление р в сечении х = 1 находим с помощью (1) р(), 1) = р(0, 1) — / ( — — 2иш) еХх О А ес 4аА пе ч — з вйз(ш„в — 2~р„) — 2р1А + — е к ~ 12п+1)сов1е„ п=а 130.
О(х 1) = Е ОЫ зееСЛ ее (2 -ь 1) п=е и ка В С 1яезп = —, причем предполагается, что — > Ь С (2) Р) 231 Кл. !й Уравнения гиперболичеснвго типа ( ), вй(х — 1) чгСЛ вЫ чгСЙ в-сю Ы, могут быть как действительными, так и мнимыми. 132. Решением краевой задачи ии = а'и„, 0 < х < хе; хв < х < 1, 0 < 1 < +ос, (1) и(0,1) = О, и(хе — О, 1) = и(хе+О, 1),. То!и'.(хе+О, 1) — и'.(хо — О, 1)) = — Ке, и(7,1) =О, 0<1<+ос, и(х., 0) = О, иг(х, 0) = О, 0 < х < 1, (2) (3) является -~-вв 2Юо ч 1 . пнхв .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
