Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(9) Аналогично интеграл Фурье может быть использован для решения других задач, связанных с уравнением колебаний. Более широко распространена следующая схема применения интеграла Фурье к решению краевых задач на прямой — со < х < +со и полупрямой О < х < +ос. 1) Здесь интеграл понимается в смысле главного значения. 1. Метод интеграла Фурье. Напомним, что при известных ограничениях на 1(х) справедлива интегральная формула Фурье 256 Ответы, указания и решения Образом Фурье функции 7(и) на прямой — со < и < +со с ядрОМ Е е~о НаЗЫВаЕтСя фуНКцИя о 7(Л) = /,((с)е е~~е7с.
(10) В силу формулы (1) «оригинал», т. е. функция 7'(и), может быть восстановлен по своему образу с помощью формулы Д(т) = — / 7(Л)е' 'еКЛ. Переход от 7" (т) к 7'(Л) по формуле (10) называется интегральным преобразованием Фурье; очевидно, преобразования (10) и (10') являются взаимно обратными. На полупрямой 0 < и < +со можно рассматривать косинус-образ Фурье ) для функции 7"(х) 7" О = 77-' 7ееа - М вВ, (11) о переход от которого к оригиналу осуществляется по формуле (10') /(*)=уг-'7"Унр) ьвн о (11') и синус-образо) 7н(о = д 7ее(е) ые«, о (12) ') Интегральное преобразование Фурье с ядром сов Лб. о) Интегральное преобразование Фурье с ядром з7п Лс.
переход от которого к оригиналу выполняется по формуле Г э ,((*) = ~(2 ~У00(Л) 1 Л 7Л. (12') о Можно рассматривать преобразования Фурье с другими ядрами. За подробностями отсылаем к специальной литературе. Чтобы решить краевую задачу для и(т, 1) с помощью интегрального преобразования Фурье, по переменному х переходят к задаче для образа Фурье этой функции., находят этот образ. После этого с помощью обратного преобразования Фурье «восстанавливают оригинал», т. е, находят функцию и(т, 1) по ее образу Фурье. В качестве ядра интегрального преобразования Фурье для задач на полупрямой нужно брать такое частное решение Х(т, 1) уравнения, получающегося разделением переменных из основного уравнения заданной краевой задачи, которое удовлетворяет граничному условию задачи, если это условие однородно, или соответствующему однородному граничному условию, если граничное условие задачи неоднородно.
Гл. 11. Ураененид гиперболического типа 1Т4 (2) е'е — е *е ') з1л1о = 22' 17 Б.М, Будке и др. *4. Π— ) .( ')=Ы" 1 ~( (1) о Указание. Подставляя в уравнение (1) условия задачи и(х, 1) = — ~ о(Л / 11(~, 1)егх~х г111с., 2я 1 = — 1дл 1у(е,~ приходим к уравнению ~2 17 + а Л 11 = 1(с., 1).
Л1К, О) Решая его при начальных условиях 11(~, О) = О, ' = О, получаем сЫ Уф 1) = — / ((~, т) з1п а(1 — т) 117. 1 о Подставляя з1п а(1 — 7) в комплексной форме ) и подставляя полученное выражение с7(С, 1) в интеграл ) = 2 1 1Л ~ и(Е, 1)е"х " К в силу (3) введения к настоящему пункту, получаем формулу (1). р(х — аг) + у(х + аг) 1Т5. и(х, 1) = 2 ,,„1г с 12— 2а (. е)2 аг + — '~1о - 1 — '," фкцб~: (1) где 1о(х) и 11(х) --- «видоизмененные» функции Бесселя нулевого и первого порядков; они могут быть представлены рядами 2Я-~-1 1о(2) = 7о(22) = ~' .. 2 ( — ) 1=О -~-оо 21-~-1 11(е) = — гн11(12) = ~,, ( — ), (3) и=о 258 Ответы, унвванав и решения причем (5) Решение. Решение краевой задачи игг=ази„+си, — оо<х<+оо, О<«<+ею, и«х, О) = гр(х), иг«х, О) = г)г«х), -ос < х < +ос, (7) (8) ищем в виде и1х,«) = — ' ««Л 1П(~, «) (9) 2я,/ Подставляя 19) в (7), получаем уравнение «5'') +« 'Л' — Р) «««5 «) =0.
е«« Его решение, удовлетворяющее в силу (8) и (9) начальным условиям Г«(~, 0) = р®,. ««,«5, 0) = ф®,. (11) (10) имеет вид Подставляя 112) в (9)г получим е е и*, )= —,',«вг«Ю- /Ря-е,.е*- ее. 2гг,« Из теории цилиндрических функций известно, что — «,«о (г зцг гр зцг 8) е'г еевге еве В зпг а г«а (14) г 2,« в Сделаем в атом равенстве замену гсозгр= — аЛ«, гз1пгр = «с«, тз = «з(азиз — сз). «15) ') Подробнее см. [7, с. 649-б51). 1о(я) — вг(в). (4) Видоизмененная функция Бесселя и-го порядка -~-х 2 я .~- е 1. ( ) = ~ я-г Г(й+ 1)Г(д+ и+ 1) (2) в=о является ограниченным при х — г 0 решением дифференциального уравнения дн+-д' — 1+ — ", у=о'). (6) 260 Ответы, указания и решения Сопоставляя выражения (19) и (18) для из(х, 1), мы получим, интегрируя (20) по 1, т е /1ллл(х, т)ей~ = — /1 ИЛ / ул(~) ' ...
е'Ц' ОллС = о — уо®1 [с 1з —, ~ 1С. 2а ./ [, ал Дифференцирование последнего равенства по 1 дает: оо(х — ал) + оо(х -ь ал) ил1х, Ц) = 2 + 1,, д ( з (х — С)о ) „Их — ал)+ р(х+аЛ) + 2 (х — ~)о ..<- л 11 с Лов 2а,Л о (х — о)о ао Складывая (18) и (21), получим формулу (1) ответа. 176. с)о Л Н*.О= — '/л. / л~л, )л(ч О-О -'*," )лл. о — лл — Л Указание. Для получения формулы (1) ответа можно воспользоваться мотодом решения задачи 175.
з -~-И Оз(х+ ал) -Ь~рЦх — аЛ~) вл8п(х — аЛ) 1 1 177. и(х, 1)— 2 2а,/ я Г2 Решение. Умножим уравнение ии = а-игл на ~ — яшЛС, проинтегрируем по с от 0 до +оо, проделаем то же с начальными условиями; зто и приведет к уравнению ) + азЛзй~') (Л, 1) = 0 Ж л11з с начальными условиями йл'л(Л,. О) = / '(Л), лз~'~(Л, О) = фл'л(Л), (2) где Г2 с йлл'л (Л, 1) = л/ — / иЯ, 2) я1п ЛС л1С, о 7" (Л) = ~/ — /,Я) яшЛ~ал~, фф"'(Л) = ~/ — / ф(~) ялп Л~ал(. о о Рл. /б Ураеиеиин гиперболииееиого типа 261 Решая уравнение (1) при начальных условиях (2), получим ибб(Л, 1) = 7' (Л) сов аЛ1 +сЛс'О(Л) (3) Б Умножая обе части (3) на 11 — сйп Лх и интегрируя по Л от 0 до +со, получим и(х, 1) = с(/ — / йрб(Л, 1) в1пЛхс/Л = )/ — тс / сов(аЛ1) з1пЛхс/Л+ /2 'с /2 с' — с в с о о 1 /г2 /' — рб( )сйп(аЛс]сйп(Лх)с/Л +.),~ Л Л о -„/-,/'У'(и (.
) ° м- и + 1 /2 2 1/я,/ о 1 / 2 /' — ОО ) (соо Л(х — аС) — соз Л(х -С- аг)) 2а 1/ я,/ Л о если х > ай Учитывая, что т / с/с(е) асн = ~/С вЂ” / с/ссвс(Л) с/Л / з1п Лес/и = о е 2 /'у,~( )соеЛ(х — аС) — созЛ(х-еаС) Л о получим и(х, 1) = ' + — / с/с(н)с/з при х > а1.
(4) 2 2а у Если же х < а1, то под знаком синуса и косинуса нужно заменить х — а1 на а1 — х, что приведет к изменению знака перед синусом и для и(х, 1) получится выражение И-в и(х, 1) = + — / ус(н) с/н при х < вб (5) 2 2а с— Объединяя (4) и (5) в одну формулу, получим приведенный выше ответ. ср(аг -Ь х) -Ь ссв(~х — аф 178.
и(х, 1) = 2 ( -~- 1 — /восо*- /в.(*-.о / в(ов*~ 2а ( о о У к а з а н и е. Применить косинус-преобразование Фурье. 262 Ответы, указания и решения 179. и(х, 1) = 0 при 0 < 1 < †, Х 1с (1 — — ) пРи 1 ) —. У к а з а н и е. Применить синус-преобразование Фурье. Решение. Умножим обе части уравнения им = а игг ) на 2 сз 2 — яспЛ~ и проинтегрируем по с от 0 до +ос, применяя интегрирование по частям 2) и используя граничное условие и(0, с) = р(1); это дает: с12нс~'~(Л, Ю) 2 /2 Г д'и . 2 /2 ди =,Гу „, = аз с — с, яспЛС асС = а с — — яспЛ( 'у х д4 с=о о 2 72 à — а~сус — Л(соя Л~)и — а Л ~/ — / ияшЛ(й~ = сг я=о о = — а Л ис'с(Л, й) -~- а Л вЂ” 7с(с).
ди(6 с) При этом мы пользуемся тем обстоятельством, что сс(~, с) и д( стремятся к нулю при с — с +со. Так мы приходим к уравнению а"Нсс'с(Л, 1) 212 ссс~Л с) 2 „ /2 (1) Так как искомоо решение сс(х, г) = сус — 71 ис'с (Л, с) яшЛх НЛ Г2 г о должно удовлетворять нулевым начальным условиям и(х,О)=ис(х,О)=0, 0<т<+со, то, решая уравнение (1), для ибб (Л, й) следует взять нулевые началь- ные условия с7ссс'с(Л, 0) ис'с(Л, 0) = ' = О. (2) ссс Решение уравнения (!) при начальных условиях (2) записывается в Виде с и~"~(Л, 1) = а ~/ — ~7ссс)ясссаЛсс — г) с1т, о следовательно, с и(х, с) = а — у с1Л ~16,,т) яспЛхя1ссаЛ(с — т) с1т.
2 о о ') В исх, с) заменим вс на (. 2) Ср. с решением методом распространяюсцихся волн, задача 73. Рл. П. Урааненин гиперболического гнила Меняя порядок интегрирования, вычислим сначала интеграл 2 г 1 — у япЛхяппЛ(1 — т)2Л = — ( совЛ[х — о(1 — т)]и†о е > о 1 à — — сов Л [х + а(1 — т)] е)Л = б(х — а[2 — т]) — б (х + а [1 — т]) . о Поэтому и(х, 1) = п ~р(т)6(х — а[1 — т])Йт = ~р [2 — — ') д(х — в)гЬ = а о 0 при р [1 — Ч при 1< —, и х 1>-.
о 180. и(т., 1) = — о / н(в) дв. о У к а з а н и е. Применить косинус-преобразование Фурье; см. точное решение предыдущей задачи (ср, с решением задачи 74). 181. а) и(х, 1) = — ~г]т / 1"(в, т) еЬ; а ~ — о — и Р -го — 1 б) и(х, 1) = — ~е1т / Дв, т)г]ив о о — ь-.о-.а ) л,ае ~ а Указание. В случае а) применить синус-преобразование Фурье и в случае б) косинус-преобразование Фурье. Воспользоваться в случае а) также равенством 2 яп иЛ(à — т) зш Лх соз Л[х — а(1 — т)] — сов [х + а(1 — т)] Л Л е Π— 1 сов Л[а(1 — т) япЛвеЬ— — х] — сов[а(1 — т) + х] Л 1~ — Н- / япЛвеЬ .Π—.1 — ' и аналогичными соотношениями воспользоваться в случае б). Так как О < т < 1, то б(х + а[2 — т]) = О при х > 0; следовательно, 2 — яп Лх сов аЛ(1 — т)йЛ = б(х — а[1 — т]) о при О<т<1, 0<х<+оо.
264 Ответы, указания и решения 182 .(*, г) = — /.(.) ). (.,'(г - В:*') е.. (1) о Указание. Можно искать решение краевой задачи в виде (*, г) = / е( ) г. ( '(г — )' — *') е, (2) о где (р/т) есть функция, подлежащая определению из граничного условия. 1((с (/ — т) о — хо) 183. и(х, 1) = /г/1 — х) — сх / /г/т) г/т (' — )' — *' о У к а з а н и е. Воспользоваться решением предыдущей задачи. 184. Решение и(х, 1) краевой задачи удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (/и(х, /) г 1((с / — т)о — хо) — Ьи/х, г) = /е(1 — х) — сх / /е(т) Йт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
