Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 47
Текст из файла (страница 47)
( — )' — *' о 185. / У(Л)д(Л) е '~"а)Л = 1 ~(Л)е '~едЛ / дЯе'~е(/в = з/2гг,/ / д/в) г/в / ~(Л)еы(* ')г/Л = / д(в)(х — в) а/в. 186. / 7/'В(Л)дйд(Л) совЛхг/Л = о / о = ~/ — / 7/'/(Л) сов Лхе/Л / д(в) совЛве/в = о о = $ /' г( )е ((/-' /" /'"'О)(- г(п. †.) + - Ч. гт ))а = о о =-',/ ()~~(~*- ~) ~(- )) ' о 187. Указание. См, решение задачи 186.
188. и/х, /) = — / (р(х — 2Лз/а/)(в/пЛ + сов Л ) (1Л— з/2~г ./ — — ! г/)(х — 2Л;ГаЯвш Лз — сов Лз) г)Л. (1) о/2в,/ //ри во(х) = Ае ~ //ов /, ф(х) = 0 получим Ай / ождЗ /х~в(~д 1 265 Рл. П. Урввявнвн яиперболичевквго типа где Лсояд = 1~, Ля1пО = аа У к аз а н и е. Применить преобразование Фурье с ядром е'"л на прямой — оо < х < +со.
Воспользоваться соотношениями / соя(о4) е '~*45 = — / яш(ос) е и* вы = ~/2~г / соя(а® вв(5)е '~* с(5 = 2ъ/1 / с х соя — + яш — ), (1) 2~/а 4о 4а) ' — [соя — — яш (П) 2зУа [ 4о 4о) ' — я) соя — + яш — ) Йя, (П1) в' . в 4а1 4а1) / я1п(а® ф(~)е '~л И5 = / в в 1 в .
в Ях — я) [ соя — + я1п — ) в1я. (1Ч) 2чЯ 4а1 4а4) Соотношения (Ш) и (1у) получаются с помощью соотношений (1) и (П) и теоремы о свертке, доказываемой в решении задачи 185. Соотношения же (1) и (П) могут быть получены из известных интегралов (см. [1)) / соях Их = ~ и / я1пх <Ес = )(' — ". (3) А именно, подстановка х = у — 1 дает сояхк = соя(у +1~) соя 21у+ сйп(у~ -~-1Я) я1п21у, яйпх~ = я1п(у'+1з) соя21у — соя(у~+ 1~) я1п21у. Подставляя соя и яш от у~ + 1' через соя и яш от у' и 1~, получим два уравнения (из (3)) для разыскания интегралов е е сову соя21удр и / я1пузсоя21ув(у.
(4) Так как сояузя1п21рдд = О и / я1пу я1п21рв1р = О, (5) то мнимая часть искомых интегралов (1) и (П) равна нулю. Лля получения формулы (2) при начальных условиях ~р(х) = Ае ' ~1~Я 1, 1в(х) = О не стоит пользоваться общей формулой (1); лучше воспользоваться формулой обращения 266 Ответы, унвввния и решения и(х, 1) = — / и(Л, 1)е 'л' ИЛ, л/2я подставив в нее значение лг~ — лге и(Л, 1) = у(Л) сов аЛ~1 = уг(Л) где г ~р(Л) = / ехр( — —, +гЛ~~еКС = Айл/2е Следует заметить, что последнее равенство имеет место как при действительном, так и при комплексном Й.
189. илх, 1) = — / 1е)1 —,) ~зш — + сов — ~ ИЛ. ,гг о Указание. См, решение предыдущей задачи. Следует заметить также, что интеграл / С зш (аС)г сйп (Сх) о1С получается дифференцио рованисм по х интеграла / з1п (аС) соз (Сх) е~~. о 190. Указание. Воспользоваться тем, что: 1) если Ф(х) и Ф(х) функции нечетные, то функция Ф(х — аг) Ф Ф(х Ф а1) 1 )', 2 2а У равна нулю при х = О, 2) если и(х, 1) есть решение уравнения ии = ага... то и Ю Г(х, 1) = ~~~ Ая дх' ь=о также является решением этого уравнения.
191. Указание. Воспользоваться тем, что: 1) если Р1х, 1) есть функция нечетная по х, то функция е и — г ср(х, 1) = — /е1т / Г1С,т) е)С о равна нулю при х = О; 2) если и(х, 1) сеть решение уравнения ии = аги„+ 1(х, 1), то М д и(х, 1) ь — о 268 Ответы, указания и решения пользуя граничные условия (2) получим ««(.О(: )*:е) Йт = дг (1), '(' — )' — " (6) «у( 'о'-')'р р) е1т = рг(г). ,~( — )' — ~' (6) Положим 2. Метод Римана.
Пусть требуется найти решение уравнения Ци) = и ., — и„„+ а1(х, у)и + 5г(х, .у)ив+ с((х, у)и = 1(х, у), (1) удовлетворяющее начальным условиям и = (р(х), — = )р(х) (2) ди на кривой с, где — производная по нормали к этой кривой. Предди полагается, что кривая с задана уравнением у = 1(х), где 1(х) дифференцируемая функция, причем ~~'(х)~ < 1. Тогда значение и в точке М (рис. 30) находится с помощью формулы и(М) = о + — ~[и(иСс61+иое16) — и(иСе1ц+по(16) + + ии(а(10 — Ь(«<)] + Ои(М, М') У(М') дом,.
г1(тм = еКе1тй (3) м~о причем и! = (р(х), р (1) = Ф(1) — р(1): Ф (1) =Ф(1) +Ф1). (7) Из (5) и (6) найдем '(с 'В- ) — ') «(с)««(1 — О«()'«,() «, =«(г)««(г), (8) ('- )' —" о П(., )~) -«и()+«О-О+г(1" «(),, « =« «)-. () (в) (' — )г-" о Из (8) и (9) в силу равенства (р(т) = ())(т) = 0 при т < 0 находим (рг(1) + уп(1) = 1(г(1) 'Фг(1) = )гг(1) — уи(1), О < 1 < 1, (10) затем «О (- )'-О) «(о =«(о«0 о)-«о-о-..(1"„(.) (с — )' — Е' о е ю = «о) — «(и+ «а о — ()+ ( 1(ь ( ) « . '( О((- )* — (г) (' — )( — е о (10') 269 Рл.
П. Уравнения гиперболического типа Рис. ЗО фу~~ц~я "(М М') = 'о(я, у., ье, )1) функция Римана для оператора Х (и), определяемая из соотношений Л(и) = и — пю — (ази), — (бги)о+ сзи = О в области РЯМ, (4) до 5) — а) — и на характеристике МР, де 2з)(2 (5) до Ь) +а) — о на характеристике МЯ, де 2з)(2 (6) и(М, М) = 1. Операторы 1 (и) и Х(и) называются сопряженными. Если исходить из другого канонического вида для гиперболического уравнения 1*(и) = д д + аг,~ + 5г,~ '+ сги = ((т, у), д и ди ди (8) д ду д ду то решение уравнения (8), удовлетворяющее начальным усло- виям и~ = (р(х), — = ф(я) (9) на кривой у = Д(т), ('(т) ( О.
(10) находится с помощью формулы (рис. 31) Рис. 31 270 Ответы, указания и решения и(М) = (но)г -~ (ию)О Г ( (1 1' до ди'1 + / ) ~ — (и — — ю — ) — Ьгию 11(— 2 / ((2(, дх дх) — ~ — (и — — е — ) — аги21~ ей1)2+ / / е(М, М )Х(М ) ейтм, (11) '(2 \, ду ду) где функция ю функция Римана для оператора Х'(и) ется из соотношений определя- 11'*(е) = д2' ду дв — = Ьгс дх до — = аг21 ду д(ага) д(Ьго) + +его=0, дх ду на характеристике РМ, (12) (14) на характеристике о,)М, 199. Функцией Римана: а) для оператора г дгг дх2 является и=до с (1 — т)г+ ( а- б) для оператора 2 2 ди гди Х(и)= — — а, — си дгг дх2 является и=Хо с (1 — т)г —,, /, (х -62 '1 гДе Хо(г) = зо(12) виДоизмененнаЯ фУнкниЯ Бессели нУлевого поРЯДка. Решение краевой задачи соответственно принимает вид; а) и(х Х) = 22(х — ае) -ь 1р(х + ае) 2 1 71 с ~ 2 2,( (х -6' аг и(М, М) = 1.
(1') Таким образом, если функция Римана для гиперболического оператора Х, или Х,*(и) найдена, то можно сразу написать в интегральной форме решение широкого класса краевых задач, связанных с этим гиперболическим оператором. 198. Функция Римана е = 1. Решение краевой задачи имеет вид и(х, 1) = Зо(х — аг) -т 1р(х 4- аг) 2 + — / ф(х) Йх+ — ) 11т / Х(х, т) еХх. о 271 Рл. П. Ураоиеиин гиперболического типа + — )Йт ),Ус~с (1 — т)г — )Д~, .т)д~; 1 т т / (х — с) 2а,/,/ аг / )о ог(х — а1) -1- р(х 4- ае) 2 ( г ( -6' *е е1г(с ег— 2 „/ ( — ~)г аг — ) ь( о-е -'," )леоге.
о 200. и(х, у) = — ог(ху) + —:р( — ) + 1 у /х1 2 2 (у) Лч р р(г),( итху р Ф(г),( а1 ае З 201. и(х,. 1)— , ( ".) ъ'7 — х — — Зг(~х+ иг1:хоае — — ) 4 2 4г1 х :( — -") а1 а~ее з ие1:х х4- — р(х-Ь ъг):ха1 — ) т — '.о Мг +, +, / Ф(х1 х)еЬ, 2 4 ) 1 207: х л оз —. — Пг гег ~г г 11 4 Ф(х, 1, я) = — ф(Š— хг)Š—, —, 1, 4 + а ~2 2 ' 4г~7 — х — (. — Л:х)' + уг(1 — яг)го —, —, 1, 8 гг(1 — х)г г 2 2 4г е( — х где К( д ) 1+о'гг +О(о+1)Ю+1) г+ 1 7 1 2 тЬ+1) есть гипергеометрический ряд ).
У к а з а н и е. Воспользоваться для гиперболического оператора канонической формой со смешанной производной. В характеристических координатах функция Римана имеет вид (х — хо)(у — Р ) ( г) См, справочные таблицы в конце книги. 272 Ответы, указания и решения 202. и1х, у) = + ах=-.).в-(--и вн).).в-'(-~ в 2ъ'я1пш 'еу + / Ф(ш, у, х) Их,. 2иЯп ш где Ф1х, у, х) = у11совх)~/в1пяР ~-, —, 1, ) + / 1 1 сов ба — х) — сов у 1 ~ 2' 2' ' 2япш в!их 1,, вш у, (1 1 сов)ш — х) — сову + — ~р11совх) ' г' (-, —, 1, вшюиев1пв '2 2' ' 2япш япе )' ю = агссов —.
'Т Указание. Воспользоваться для гиперболического оператора канонической формой со смешанной производной. Функция Римана в характеристических координатах имеет вид ,/1 1 яп1х — ха)вш(у — уа)1 12 ' 2 ' яп(ха — уа) яп (х — у) ) Глава П1 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА З 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач Уравнения и граничные условия рассматриваемых здесь краевых задач теории теплопроводности являются следствием: а) закона сохранения энергии; б) закона внутренней теплопроводности в твердых телах (закона Фурье); в) закона конвективного теплообмена между поверхностью твердого тела и окружающей жидкой или газообразной средой (закона Ньютона).
3 ак он Фурье в одномерном случае выражается формулой д = — пЛ вЂ”, ди (1) дх' где д †.. количество тепла, протекающее в единицу времени в направлении оси х через площадку щ перпендикулярную к оси х, и температура в рассматриваемом месте тела; Л коэффициент теплопроводности г). Закон Ньютона выражается формулой д = та(и — ио), (2) где д --- количество тепла, протекающее в единицу времени через площадку и поверхности тела в окружающую среду, и --. температура поверхности тела,. ио температура окружающей среды, а коэффициент теплообменаз).
В краевых задачах диффузии количество диффундирующего вещества и его концентрация играют такую же роль, как количество тепла и температура в краевых задачах теории теплопроводности. В частности, если под и понимать концентрацию, под Л коэффициент диффузии, а под д количество вещества, диффундирующее в единицу времени в направлении оси х через площадку и, перпендикулярную к оси х, то закон диффузии (закон Нернста) выразится ) Л зависит от физических свойств тела и от температуры и, но в достаточно широких пределах зависимостью Л от температуры пренебрегают, беря Л для среднего значения температуры.
') Все, что сказано в предыдущей сноске о зависимости Л от температуры, в известных пределах распространяется и на о; подробнее см. [41, с. 21). 1В Бак Будак и др. 274 Отаегаьи указаиия и ретеиия формулой (1), а формулой (2) выразится закон диффузии через полу- непроницаемую перегородку. О параболических краевых задачах движения вязкой жидкости и электродинамики будут сделаны соответствующие замечания непосредственно при их рассмотрении. 1.
Однородные среды; уравнения с постоянными коэффициентами. 1. Температура точек стержня является решением краевой за- дачи ис=а их„О<х</, 0<1<+ос, и(х,О) = ~(х), 0<х<1, (2) и(0, 1) = ~ад(С), иО', 1) = рз(1), 0 < й < +ос, (3) — Лпи„,(0, 1) = дз(й), Лпи„ц', 1) = дз(С), 0 < 1 < +ос, (3') их(0, 1) = 6~и(0, 1) — аа1(1)], иД, С) = — Ь~иц*, С) — рз(1)), 0 < Х < +оо, (За) Л где а коэффициент температуропроводности, а = —, Л коэфср фициент теплопроводности материала стержня, с удельная тепло- емкость, р плотность массы, и площадь поперечного сечения, 6 = —, где о — коэффициент теплообмена, ~(х) начальные значе- Л' ния температуры, ~рзф и уз(1) в случае (3) — температуры концов стержня, а в случае (3') значения температуры окружающей сре- ды у концов стержня; цг(г) и дз(1) тепловые потоки, поступающие в стержень через его концы (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
