Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(2и и'-1)к Ао = — — ~и(с) гйп ~ е1с, о (2н+ 1) я а 138. Решением краевой задачи им=а и,, 0<х<хо, то<а<1, 0<1<нос, (1) и(0, 1) = О, и(хо — О, 1) = и(хо+ О, 1), Ти':их7хо+О, 1) — их(хо — О, 1)~ = Аз1пев1, и11, 1) =О, 0 < 1<+со, (2) и(х, 0) = ие(х, О) = О, 0 < х < 1, Р) является ) (х, 1) = 17(х,. 1) + ~ Ь. з' — "* з1 — "' ", (4) где ба = — 1 ах(Х, 0) З|В ЕЬ, 2 пих ика,/ о (б) Указание.
Найти сначала стационарное решение, потом вынужденные гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, а затем свободные колебания. 239 1'л. 11. Ураоненол гиперболического типа ог(1 — хо) Аа з'п огх з1п — ч1п агг, Тою . ш1 а яп— огхо Аа зсо ш(1 — х) еш ' ' ядаг1, Том . ог1 а яп— а 0 < х < хо, (6) Ьг(х, 1) = хо < т < 1.
(6') 139. Решением краевой задачи им=пи„, 0<х<хо, хо<х<1, 0<1<+ос, (1) и(0, 1) = О, и(хо — О, 1) = о(хо + О, 1), То[и,(хо+О, 1) — и,(хо — 0: 1)~ = АсозоЛ, и(1, о) = О, 0 <1 < +ос, (2) (3) является и(х, 1) = Г(х.,г) + ~ шаоян соз (4) о=1 где 2 г пхг а„= — -11 Ьг(х, 0) яп — Нз о (5) ог Аа егп а ( хо) . и~к яп — соз оЛ, зш а а (6) ппа и = 1, 2, 3, ... ~). 0 < х < хо, (1(х, 1) = яп — хо — яп — (1 — х) соз ог1, Тош з~п — 1 а а (6') хо 140. Решением краевой зада ги является и(х, Г) = Ьг(х51)+ ~ ~(а„соз +Ьпяп ' ) з1п ~~™, (1) п=1 где а, = — — 11 11(г., 0)зш дг, 2 г пзбг» 11 о 2 п7гг Ь„= — — 11 11г(х, О) з1п — з пна,l о г) Переходя к продолу при ш -о О, получим при А = Го стационарное отклонение, найденное в решении задачи 132. 240 Ответы, указания и решения ипритее~, ш,п=1,2,3, ПЫ ( т~ авш — (1 — хе) Те 2 ПЕ1 В1П вЂ” ~ п.=1 пых х вш (о„сояпв11+ Д, в1ппы1), 0 < х < хо, а (3) У(х, 1) = —.(т('-1)'К п=.1 те(~ — т) х яш ' (о„совпь1гп-,з„я1ппы1), хо < х < й а (3') Т 2 ( Я)' 0 < х < хо,.
хе <ы * ~ (1 141. Решением краевой задачи') иее — — ази — 2ние + (Ф(х)/р) я1по10 0 < т < 1, 0 < 1 < +со, и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +со, и(х, 0) = О, ие(х, 0) = О, 0 < х < 1, (1) (2) (3) является и(х, 1) = У(х, 1) + е т ~ (пасов — + д„вш п™1 гйп и 1 ) п=1 где 2 ппе ап = — — ~ У(х, О) гйп — сЬ, И 2 пв в дп = ап — ~ Уе(в, 0) гйп 1Ь, пка ппа з' (4) е (,, Г(х, 1) = 1ш,,', ( ( — ФеЫ)Х(1 — ~) Н~ ) Х(х) — е' ' / — Фе(С)Х(х — С) е1С ~~ ' (6) ') См.
введение к ответам наставшего пункта. в) Символ 1ш означает мнимую часть комплексного числа. Замечание. Первые слагаемые суммы (3) и (3') соответствуют ое стационарному прогибу под действием силы, равной —, и приложен- 2 ной к точке хо, именно эта сила вызывает прогиб о х[ г =о +'г*-со +юг*, ге;= а ,'о гоог ' го го'я— (7) а 2 а 2 Замечание. Пусть 1'(х) есть решение дифференциального уравнения у(О) = О, у'(О) = 1; тогда у = / у(с) У(х — с) гзс у(0) = Ог у'(0) = О. является Рл. П.
Ураененин гиперболического типа о'(хб 1) установившиеся колебания, до+ Ау'+ Ву = О, А = сопя1, В = сопв1г удовлетворяющее начальным условиям о является решением уравнения уо + Ау' + Ву = у(х) г удовлетворяющего начальным условиям 142. Решением краевой задачи иге=а и — 2ииг, О<х<1, 0<1<+ос, и(0, 1) = О, и.,(1, 1) = — сйпог1, 0 < 1 < +екг, А ЕЯ и(х,О)=Ог иг(х,О)=0, 0<х<1, и(х, 1) = Ьг(х, 1) + тго т т-г (2п -~- Циам 1 . (2п -~- Цяаг 1 . (2п 4- Цях +е ' у ) пасов +Ь„яш ' сбп и=о г а„= — -у1 С1(гг 0) айн 2 г .
(2п+ Циг 21 еЬ, о Ь„= — ( Ыг(г, 0) гйп ага 4о г . (2п+ Цггг (2п -> Цна,/ о Установившиеся колебания определяются формулой ( А(о — гог) е1ае *1* — е 1 хг' 1 гиг где о и В имеют те же значения, что и в предыдущей задаче. 16 Б.М, Будок и др. (1) (2) (3) 242 Ответы, указания и решении 143. Решением краевой задачи является и(х, 1) = гг(х, 1) + ог с гг (2п т Цяа1 Ь . (2п+ Цггаг 1 (2п Е- Цих + е ' л (аосов +Ьивш ) сов п=о а, = — — уг Ъ'(х, 0) соя дх, 2 Г (2п г Цее о Ь, = ао — р 1'г(я, 0) соя гЬ, (5) 2и1 4 г (2п -в Цяе (2п+ Циа (2п -В Цяа 1 о ег озег + е 1"ояаг ,.Ег=е/~:,-2у;, р=го, гг=еогог, =оя, СА+ Сй 2СЬ 144.
Решением краевой задачи —,, — СА дхо дг -(СЕ+СЕ) д"-СЕи=О, О < х < 1, 0 < 1 < +со, (1) и(0, 1) =О, и(1,1) = Еяшшв, 0 <1<+со, (2) и(х, 0) =О, иг(х, 0) =О, 0 <х<1, (2) является и(х, 1) = 1г(х, 1) + е ~г ~ (ап сов дп1+ Ьо втп1г Ц я1п и, (4) и=а где р(г -е Ло) — д~ „ггп ро и 2 с по по — — 11 'гг(х, 0) Яш — гЬ, 1/ ' 21 о и1 2 пое — а„— — ~ )гг(х, 0) сйп — гЬ, пгга пгга о (5) Ь„= —, — ЕС вЂ”, — (ЛС + СЕ) — — СЛи = О, 0 <х<1, 0<1<+ос, (Ц ие(0,1) = О, о(1, 1) = Еовйпогв, 0 <1< +со, (2) и(х., 0) =О, ог(х, 0) =О, 0 <х <Х, (3) 243 е~ е о' — е ~ ело' (6) СЛ+ С1 2СЬ 0<х<1, 0<1<+со, (2) в сече- р(1, 1) = АЛт(аг)Каг)ед' т г, (3) (4) (5) Л(аг)— 6 = — — дг — Вг, скдг — —— Ф 2 'Р является ( * е а, г) = — ', (~1гг /ф(ее*-*1гг(ф(ог*~г~ о о о о тгкх . ггнае + ~ ~Ь„згп — ейп —, (4) 16* рл.
П. ураененин гиперболического типа *[ ~Ее= ~ — -гг . е=ог, гг=ое-~ог, 145. Из краевой задачи — — = ( — + 2аю), др г днг — — =Л вЂ”, дг дх' р(0, 1) =О, ю(1,1)+Ь ' =Ае™, О<1<+со, дх находим установившиеся колебания давления с частотой иг нии х =1: о Ег 'зЫ Л 2 ' Л 2 зй 2Ф +дй сй 2Ф вЂ” соз 2'~ ейп 2ог сй 2ф — сое 2зг — дз 146.
Решением краевой задачи иге=а и,,+ — Ф(х)1, 0<х<1, 0<1<+ос, г и(0, 1) = и(1, 1) = О., О < 1 < +со, и(х, 0) = иг(х, 0) = О, 0 < х < 1, = СЛ. (7) (8) (1) (2) (3) 244 Ответы, указания и решения где о ь,= — ь,, ГГьГьг "ьв)ь* — Гьг/э(гьв~ ' °, ь.. ььь о о о о о (4) (5) 148. Решением краевой задачи им — — а их,+ — Ф(х)1 ь 0<х<1, 0<1<+со, т> — 1, (1) Р а(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +соь и(х, 0) = О, гье(х, О) = О, 0 < т < 1, является~) и(хь1) = ~~ и„фяш (4) а=1 (5) является Ах1 и(х, 1) = + ~ ~и„фгйп (2гь Ф Цях 14) 21 где (2гь+ Цаа г1) ао ~ т — 2 г1 ого,ь о ') См. указание к следуюнхей задаче.
147. Решением краевой задачи исс — — а и„, 0<х<1, 0<1<+ось и(0,1) =О, и 11ь1) = — 1, 0<1<+ос, А Яс и(х, 0) = О, ис(х, 0) = О, 0 < х < 1, является А с-~ . 12п+ Цггх . 12гь+ Цгга1 21 21 о=о 4 Г Ах . 12п+ Цьгх ~ — я1п г1х. 12п+ Цха,/ Ес 21 о гоп(1) = —" 1 т™ Гйп ого(4 — т) т, ого = о,.
/' о и— о 2 Г Ф12) . пггх гго = — / Р о 149. Решение краевой задачи иьг — — а и,„О<х<1, 0<1<+со, и(0,1) =О, и,(1ь1) = — 1""', 0<1<+со, т> — 1ь Ы и1х, 0) = О, иг(х, 0) = О, 0 < х < 1, <1) 12) Р) Ж (2) (3) Рл. П. Уравнения еиперболичееноео глина 245 (3') (12) где 150. а) При го у'. -гоп = , .п = 1, 2, 3,.,. г -~-ж и(х, 1) = 7, "., (иивш 1-ыз1пю„б)зшп *; (1) (ше — гоз)го о.= г попо б) при оо = гопо —— -~-Х и(х, 1) = ~ (гоо япго1 — го яп гонг) яп — -> (гоК вЂ” гоз)го„ о=1 + "' (з1пгоио1 — ыоо1созгоио1) яп, (2) 2ы о 2Агп(гп — Ц р . (2п -~- 1)не (6) ЕЯ 21 о У к а з а н и е.
Чтобы освободиться от неоднородности в граничном условии, ищем решение краевой задачи (1), (2), (3) в виде и(х, 1) = и(хг 1) + что приводит к краевой задаче Ахе"" гп(гп — 1) ип = а и,, —,, 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, (8) и(0, й) = О, и, (1, 1) = О, О < 1 < +ос, (9) и(х, О) = О, иг(х, О) = О, О < х < Е. (10) Частное решение краевой задачи игг = а'и„+1(х, 1), О < х <1, О <1<+со, ади. (О, 1) + Да(0, 1) = О, аз и (1; г) + Дзи(1., г) = О, 0 < 1 < +ос, можно искать в виде и(х, 1) = ~~ ии(1)Х„(х), и=-Ъ где ио(1) --.
функции, подлежащие определению, а Хн(1) -- собствен- ные функции краевой задачи Х" (х) + ЛзХ(х) = О, 0 < х < 1, азХ'(0) + )3зХ(0) = О, азХ'(1) +,3 Х(1) = О. При этом вынуждающий член г(х, 1) также нужно разложить в ряд по собственным функциям этой задачи, т.е. представить в виде -~-оо г" (х. 1) = ~ 1„(1)Х„(х), и=г 1п(1) — о ) з (я 1)Хо (е) ож (13) о 246 Ответы, упования и решения 2 Г Ф(я) . пя» оп = — / з1п сЬ. 1/ р о (3) 151.
и(х, 1) = ~ ип ® яп (1) п=-г и„(1) = = /е 'г '1з1повтяпаг„(1 — т) гГт, (2) з о 2 Г Ф(х) . ггах оп = — / — яп — Ых, 1,/ р о 7~ыз г,з (3) Здесь пРедполагаетсЯ, что игп ) Р. Нахождение выРажениЯ ип11) для аг < и не прЕдставляет затруднений. пя6 х т, пяхо 16Р т6 Еоо 1 соз сов Яп "' "' -" -'=-[-(1') 1[-(-;-)1' х зш япго где юга гвп— 153. Решением краевой задачи ии — — азиа + 6(х — хо)6Я ~) 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, (1) Р и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < -~ оо, и(х, О) = иг(х, О) = О, О < х < 1, является: 21 к 1 .. пяхо . пвх гг(х, 1) = — яу — зшагпСзш зш РГ огп 1 1 п=г ппа аг„= .
14) 154. Решением краевой задачи 1 иго=а ия,— 2иис+ — Ф(х)1, 0<х<1г 0<С<+со, Р и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +со, и(х, 0) =иг1х, 0) =О, 0<1<+со, (1) 12) (3) г) 611) -- односторонняя дельта-функция )О, — <в<О, 6(1) = 1шг гР„ГГ), гр„Я = п, О < 1 < 1/п, О, 1!и <1<+ос; подробнее о дельта-функции см. г7, с. 267-272). 3 а м е ч а н и е. Здесь в отличие от решения задачи 133 колебания с частотой вынуждагощей силы даны не в замкнутой форме, а в виде ряда. -~-оо 247 1"л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
