Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 48
Текст из файла (страница 48)
количества тепла, поступающие в единицу времени). У к а з а н и с. Если боковая поверхность однородного изотропно- го цилиндрического стержня теплоизолирована, а изотермические по- верхности в начальный момент времени совпадают с его поперечными сечениями, причем торцы стержня все время остаются изотермичес- кими поверхностями, то изотермические поверхности в стержне бу- дут все время совпадать с поперечными сечениями, т. е. температура в стержне все время будет зависеть лишь от одной пространственной координаты х. Уравнение (1) можно получить, приравнивая приращение за еди- ницу времени количества тепла в элементе (х, х+ Ьх) стержня, равное а српЬх —, дг' (4) сумме количеств тепла, поступивших в этот элемент за единицу вре- мени через сечения х и х + Ьх, — пЛ вЂ” +пЛ вЂ” ' ди Ои (5) дх х Ох х-,'-ах' а затем деля полученное равенство на Ьх и переходя к пределу при Ьх — г О.
Остановимся более подробно на выборе знака у членов сум- 1'а. 111. Уравнения парабоаичееноео типа 275 мы (5). Мы считаем и+ Ля > я, что, очевидно, не нарушает общности ди рассуждений. Если на торце я элемента (я, т + Ьл) будет — > О, то дя в точках, лежащих правее торца (т. е. внутри элемента), температура будет больше. чем в точках, лежагцих левее торца (т. е. вне элемента), значит, тепло будет вытекать из элемента и, следовательно, первый ди член суммы (5) нужно брать со знаком минус. Если же — < О, то дя температура левее торца больше, чем температура правее торца, поэ- тому тепло будет втекать в стержень, первый член суммы (5) должен быть положительным и, следовательно, перед ним снова нужно взять знак минус.
Аналогично проверяется выбор знака при втором члене. Для получения граничных условий (3') и (Зо) нужно провести такие же рассуждения для граничных элементов (О, Ьт) и (1 — Ьх, 1), используя в случае (Зо) закон конвективного теплообмена Ньютона. Замечание. Если коэффициент теплообмена а значительно больше коэффициента внутренней теплопроводности Л (ее — ~ со), то граничные условия (Зо) переходят в граничные условия (3). Если же, наоборот, о пренебрежимо мало (о — з 0), то граничные условия (Зо) превращаются в граничные условия (3'), где д1 (1) = оз(1) = О, т. е. мы приходим к случаю тепловой изоляции концов стержня.
2. Уравнение теплопроводности в данном случае имеет вид Л ор ие — — — и,, — — (и — ио), ср сро где р периметр поперечного сечения стержня, и коэффи- циент теплообмена между поверхностью стержня и окружающей сре- дой, температура которой равна ио, остальные величины имеют те же значения, что и в предыдущей задаче; начальные н граничные усло- вия записываются так же, как и в предыдущей задаче.
Указание. Рассматривая элемент (я, я+ Ьл) стержня, учесть в тепловом балансе не только потоки тепла через торцы элемента, но и потоки тепла через его боковую поверхность. 3. Лля определения температуры в кольце получаем краевую задачу ие = — и„ вЂ” — (и — ио), О < л < 1, О < 1 < +ос, (1) ср сра и(0, 1) = и(1, 1), и,(0, 1) = иа(1, 1), 0 < 1 < +со, (2) и(я, О) =1(л), О < х <1. (3) Здесь Л, с, р, и, сц р имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче.
Координата я длина дуги, отсчитываемая вдоль кольца. Если радиус кольца равен Л, то т = Лд, где В угловая координата; д 1 д следовательно, 1 = 2х11, — = — — и, переходя к независимым передя Лдо менным д, 1, краевую задачу (1), (2), (3) можно преобразовать к виду и,=,иов — — (и — ио), 0<д<2я, 0<1<+со, (1) Л ор срйе еро 1В" 276 Ответы, указания и решения (2') Р') (1) (2) (3) и(0,. 1) = и(2я, е),. ие(0, Х) = ие(2я, 1),. 0 < 1 < +со, и(0,0)=Р~д), 0<В<2я. ди г дги — = о г, оо1 < х < +ос, 0 < 1 < +оо, д1 дхг' и(по'е, 'е) = рЯ, О < г, < +со, и(х, О) = О, 0 < х < +ос. 5. Пля определения температуры и(х, 1) в проволоке получаем краевую задачу д1гй не= — и, — — (и — ио)+ —, 0<х<1, 0<1<+со, (1) ср срп сра сгие(0, 8) = — Лпи,(0, 1), огней, 1) = Лпи,'и', 1), 0 < 1 < +со, (2) гг(х, 0) = ~(х), 0 < х < Е, (6) где сг и сг теплоемкости клемм, 1 сила тока, Л вЂ” сопротивление Единицы длины провода, Д вЂ” - коэффициент пропорциональности в формуле а1г иае (4) выражающей количество тепла, выделяемое током 1 в единицу времени в элементе (х, х + гЛх) провода.
Коэффициенты Л, с, р, и, р., о имеют тот же смысл, что и в задаче 2. Указание. При выводе уравнения (1) нужно воспользоваться соотношением (4). 6. Пля определения концентрации и(х, 1) получаем то же уравнение и те же граничные условия, что и в задаче 1 для определения температуры, с той, однако, разницей, что в случае диффузии а, =Л=Р, г где В коэффициент диффузии, а о . коэффициент проницаемости каждой из граничных плоскостей. 7. Пля определения концентрации и диффундирующего вегдества получаем уравнение (1) ие = и,„— ои,, где В коэффициент диффузии, а о скорость движения среды. У к а з а н и е.
Для получения уравнения (1) нужно выделить элемент с постоянной площадью поперечного сечения, параллельный Рнс. 32 л а. 1П. Уравнения парабоаи леоново типа 277 оси х (рис. 32), и рассмотреть количества вещества, проходящие через сечения л и л+ лат за счет диффузии и за счет переноса движущейся средой.
8. Зля определения концентрации взвешенных частиц получаем уравнение д д ди дг дгг де ' где Р коэффициент диффузии, а и скорость оседания частиц, причем ось г направлена вниз. Условие непроницаемости плоскости г = го имеет вид ди Р— — пи=О при я=го. дг Указание. См. указание к предыдущей задаче. Вместо потока диффундирующего вещества за счет движения среды нужно учесть поток вещества за счет оседания частиц. 9.
а) ил = Ри„— дли, лЗд > 0; б) ил = Рива+ ллглл, луг > О, где Р .-- коэффициент диффузии, л3л --. коэффициент распада, а дг коэффициент размножения. Указание. В случае а) в единице объема в единицу времени разрушается количество диффундирующего вещества, равное дли, а в случае б) возникает количество диффундирующего вещества, равное Ллги. 10.
Если скорость подвижной плоскости сохраняет постоянное направление, то скорости частиц жидкости будут, очевидно, параллельны этому направлению. Направляя ось по толщине слоя и помещая начало координат на неподвижной плоскости, для определения скорости частиц жидкости получим краевую задачу ил — — ииаа, 0<к<1, О<1<+ос, (1) и(О, Х) = О, лл(Г, 1) = ио(1), 0 < 1 < +ос, (2) (*,О)=О, О«*1, (3) где 1 толщина слоя, ио(л) скорость движения граничной плоскости, и = — — кинематический коэффициент вязкости, р - плотность Р массы, лл динамический коэффициент вязкости, входящий в закон Ньютона для определения напряжения трения между слоями вязкой жидкости д.
т=лл —. дх Указание. При выводе уравнения (1) нужно пренебрегать градиентом давления по сравнению с градиентом сил трения, что можно сделать, если жидкость обладает большой вязкостью. 11. д (1) дН ' д'И дг 4яалл дь г (2) 278 Ответы, указания и уесаеиия Решение. Напишем систему уравнений Максвеллаг) при усло- вии, что в рассматриваемой области отсутствуют объемные заряды и сторонние электродвижущие силы: гогЕ+ — — = О, 1 дВ (1) е дс 1дР 4к. го1 Н вЂ” — — = — г, (П) с дг с йчН= О, (1П) йчР=О, (11,') у=пЕ, Ж) Ре вЕ, ( "ч'1) В=дН. ЖП) 1 дР Пренебрегая токами смещения — — в уравнении (П) (среда проводяс дг щая) и используя (У) и ('сгП), перепишем уравнения (1) и (П) в виде госЕ+ — = О, ~ дН с дг (П') Возьмем го1 от обеих частей равенства (1'), продифференцируем по 1 равенство 1П'), исключим из полученных результатов Н, воспользу- омся соотношениями (1Ч) и (Ъ'1) и известным равенством векторного анализа гоя гоуа = ягас) Йча — Йч 8тас1а ); это приведет к уравненикг — йч ягас) Е.
дЕ с (3) дс 4 гпд Аналогично получается уравнение дН ег й~ 8гас1Н. (4) дг 4яагг По условию Е = Е(б, 1), Н = Н(с„1), где з' --- расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированной плоскости. В прямоугольной декартовой системе координат (~, г), ~) оператор Лапласа записывается в виде дг дг дг йч рас1 = —. + — + —, дев дггг дбг ' а следовательно, д" Я . дгН Йч рас!Е =,, Йч 8гас)Н = дег' ' дг. Поэтому уравнения (3) и (4) преобразуются в (1) и (2). ') См. )7, с.
444). г) Это равенство справедливо для любого дважды непрерывно дифференцируемого вектора а. 279 Го. 1П. Урооненин поробооичетоео типа 2. Неоднородные среды, сосредоточенные факторы; уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения. 12. Если ось х направить по стержню, поместив начало координат в месте соединения стержней, то краевая задача об определении температуры в составном стержне может быть записана в виде 13. Направляя ось х по оси цилиндров и помещая начало координат в месте соединения цилиндров, получим краевую задачу диг д иг дг Р д диг да дг -Р' д. иг ( — Гг,1)=0, — 1, <х<0, 0 < х < Гг, 0<1<+ос, игг(1г,1) =О, 0<1<+ос; а) иг(0,1) = из(0, 1), Рдиг,(0, 1) = Ргиг,(0, 1), 0 <1 < -~-оо; б) — Ргиг (О, 1) = а[из(0, 1) — иг(0., 1)), 0<1<+со, —.Ргиг.,(0, 1) = а[из(0, 1) — иг(0, .1)), иг(х, 0) = 1(х), -Гг < х < О., иг(х, 0) = 1'(х), 0 < х < 1г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
