Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 52
Текст из файла (страница 52)
тоо Ехр)— =о з) По поводу обозначений см. задачи 3 и 32. Ряд, стоящий в правой части последнего равенства, удовлетворяет условиям теоремы Лейбница о знакопеременных рядах; поэтому погрешность, допускаемая при замене его суммы частичной суммой, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. ЗОО Ответы, указания и решении У к а з а н и е.
г с1(1) = и / и(х, 1) е(х, Эквивалентность этих двух выражений легко проверяется с помощью интегрирования обеих частей основного уравнения ~йг, ~иЯ, т)е)т = аа~дт~гг . (г„т) г1г, о о о о с использованием граничных условий. Выражение для и(х, 1) может быть получено как частный случай решения задачи 27. г г г Н ' Х 42 1„1(1) = Ноа 1 — ~ о е а'л'„е Н (созЛ х-~- — сйвл„х) йх Л о где Л„--- корни трансцендентного уравнения срйЛ„1 = — ", Л„ аН коэффициент, входящий в граничное условие аа = Н(и — (1о) при х = О. Указание.
См. указание к предыдущей задаче. Выражение для и(х, 1) может быть получено из решения задачи ЗО. 1л1Р (2н+ 1)гага л/Д а а1 ~-~ е~Р( ( 41г +д) 1 1иН яг ~ 41г,З сй н=о (2н+1)г (1-Р а (2и + 1) гягаз / ее'(1) = (1оа Указание. См. указание к задаче 41. 44. а) 1„р — — —, б) 1„р — — —, 2лОг' в) при любой длине цилиндра процесс нарастания концентрации имеет лавинный характер; здесь 1г коэффициент размножения, входящий в уравнение — =й —,+ди, д>О. ди дги дг дхг о где и(х, 1) концентрация диффундирующего вещества в цилиндре в момент времени й Заметим, .что 1,)(1) можно определить также с помощью потока диффундирующего вещества через открытый конец: ()(,) .г, )1 да(0 т), дх о г) Задачи эленпгродггналгггни. 0<1<+со, где Ео --- постоянная электродвижущая сила, приложенная к концу х = 1, а Л и С сопротивление и емкость единицы длины провода.
46. о(х, 1) = хч хн 1 Соо вгпа (1 — — ) — С1сово (1 — -) п=1 а Ео . —. постоянная электродвижущая сила, приложенная к концу х = = 0 провода. 47. о(х, 1) = 1 Еоп(1 — *) 2Е НЯ ч вгп гг„(1 — х) Ло .~. И ~.~ 1 ЙС / ап(В(Во + Л1) -г Ыозоо(совоп1 + 2ЕоН ~ ~ехр~ ~— — "1~~ п=1 где Н и С сопротивление и емкость единицы длины провода, а о — положительные корни уравнения Л1яо1+ оВо — — О. 0<1<+ос аз — г 4над' является (2й + 1)о а~ а Ягл 2й+ 1 1=-0 О« 1, 0<1<+ . (4) В точке х = — имеем 2 4Н е ( 1)1 (2й -'г 1) нза Гл. 1П. Уравненггн параболичееноео типа , гп 4(Ео — оо) ~ ~( — 1)' н 2п — 1 п=1 (2п. — 1)оггг 1 (2п — 1)ггх где оп корни уравнения С1 агр;о = —, Со ' 48. Решением краевой задачи Нг = а'На„О < х < 1, Н(0, 1) = Н(1, 1) = Но, О < 1 < +ос, Н(,О)=О, О<х<1, (2) (3) 302 Ответы, указания и уеигевия Остаток ряда (5) можно оценить по признаку Лейбница: (1 ) 4Но Е ( — 1)' 1 (2И+1)гягаг ) я=;-г 12е + 3)г аг В силу (6) имеем (-' 1 < — ехр( — 1~ < е 1г при 1 > 1* = —,, 1пЗж (7) 8кеаг с(х)р(х) — = — [Л(х) — ~], 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, (1) и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < -уос, (2) и(х, О) = уг(х), О < х < 1, Р) где (рг 0<х<хо, р( ) ~1г, х <х<1, (4) О < т < хо, ) хо<х<1,~ (с, 0<х<хо, с(х) = ~- ')-~=8 х,<х<, 1л, Л(х) = '= 1Л., с,.
с, р, р,. Л, Л константы, характеризуюшие свойства стержней, и(х,1) =~ а„е "'Х„(х), 0 <х<1, 0<1<+ос, (5) а=-1 где аг вш — х 0 < х < хо: сйв — хв а вгв вш = 11 — х) а Ха (х)— (6) хо <х<1, вгп =11— а (7) аг„ -. корни уравнения вг Л аг — се8 — хо = — с18 = (хо — 1), а а а а (8) 2.
Неоднородные среды и сосредоточенные факторы. Уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения. 49. Температура в стержне является решением краевой задачи зоз Гп. 1П. Уравнения нарабопи|ееноео типа с(х)р(х)|р(х)Хп(х) |1х о оХ ог сзпЛ х яшЛ хо' вшЛ (1 — х) 0<.я<хо, 1 ХО<Х<Х1,/ Хп(х) = а = 1, 2, 3, ..., (2) .
опЛ (1 — ) Лп собственные значения краевой задачи являются корнями уравнения Со с16 Лпхо — с16 Л, (1 — хо) = — ' Л„„ (3) ср ер~ср(х)Хп(х) дх -|- Со|р(хо)Хп (хо) о срхо ер(1 — хо) Со ' 2 я|и Лпхо 2яш Л„(1 — хо) г + .. 1 . + где и(х, 0) = |р(х) начальные значения температуры. Указание. См. решение задачи 167 2 3 гл. 11. 51. и(х, 1) = ~ ап ехр( —, 1) яш п=1 0 < х < 1, 0 < 1 < +ос, (1) (4) а„= — 11 (А — я)|р(я)ягп — а|я, и = 1, 2, 3, ..., (2) 2 и|се 1/ о где через Ь обозначена длина полного конуса, усечением которого получается рассматриваемый стержень длины 1. 52. и(х, 1) = ~ а„ехр( — ( + — )а 1 ~яш п=1 0<х<1, 0<1<+ос, где ап = — ~ ср(я)е '"'я|п с(з.
о ПХп!~г = ~ (од( )Х„'( )а — ',Р*'„+ 'Р,, *" . (1О) 2яш| —" хо 2 я|в~ =п(1 — хо) о а а Указание. См, решение задачи 164 я 3 гл. 11. и-оо 50. и(х, 1) = ~ апе "' 1"1Хп(х), О < х < 1, 0 < 1 <+ос, (1) п=1 Л а = —, где Л коэффициент теплопроводности, с теплоемкость ср' и р плотность массы материала стержня; 304 Ответы, указания и решения 53. Дпя скорости частиц жидкости и(х, 1) и скорости движения пластины и(1) получаем выражения ( Л,',И и —.,Лг Л +2 а аг 1 — х в1п ˄— йп Л„ О<х<1, 11) Г Лгиз 4 р1г ~~ ехР1 г ) и=г Лг„~ Лг, -Ь 2 — Ь 4, ) а пг (2) где 1 половина расстояния между граничными пластинами, р— плотность жидкости, и кинематический коэффициент вязкости, поверхностная плотность пластины, д — ускорение силы тяжести, Л вЂ” положительные корни уравнения Л18Л = 'Р' Р) (Л вЂ” собственные значения краевой задачи, умноженные на 1).
У к аз а н и с. Для и (х, 1) имеем краевую задачу ив=пи„, — 1<х<0, 0<х<1, 0<1<+ос, (4) и( — 1, 1) = и(1, 1) = О, и(0, 1) = и(1), О < 1 < +со, и(х, О) = О, О < х < 1. (5) (6) Дпя скорости движения пластины имеем (7) и(0) = О. (8) Так как распределение скоростей частиц жидкости симметрично относительно движущейся пластины, то достаточно определить гг(х, 1) на интервале 0 < х < 1. Функции 1 — х Х„(х) = сйп Лев обобщенно ортогонапьны на отрезке 0 < х < 1.
(См. решение зада- чи 167 ~ 3 гл. П.) 2 3. Метод интегральных представлений и функции источников 1. Однородные изотропные среды. Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полу- прямой. Определение интегрального преобразования Фурье и общая схема применения к решению краевых задач даны в гл. 11 (с. 255, 256). 305 Га. 1П. Уравнепггя параооаипееноео типа 54. Решение.
Умножим обе части уравнения ди(«, «) г дгиК, «) 1 ~,л« д«дбг Гйк — л + из — ъЛие 'л« вЂ” а Л вЂ” / ие 'л«еК = — а Лги(Л, «), л(2я «= — ос ъ'2я т. е. — +а Л и=О. 4« Из равенства и(Л, «) = — / и(с, «)е '~~ («с при « = О получаем и(Л, 0) = — / и(С, 0)е '~о («С = — / «(С)е '~ее«С =,('(Л). (2) Решение уравнения (1) при начальном условии (2) имеет вид «(Л)е — гл-"г Применение обратного преобразования Фурье дает е и(я, «) = «гг(Л, «)е'ла(«Л = Г~(Р)(«Р / е-аал"е(л(а-«>(«Л = ъ'2п / л«2~г l е =-. 1~(о <Г;"'"'- (*-б) о з' к)г / 1(С) ехр( —,, ~ е«Сг (3) так как г ( л л(й ( д е соз(1Ле(Л = — ехр« — — 'г. 2~ 1 4~~1 (4) о Последний интеграл легко вычисляется дифференцированием по параметру.
20 Б.М, Булак и яр. и проинтегрируем по б от — со до +со, предполагая, например, что функция и и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю при б -з тоо. Применяя интегрирование по частям, мы получим Хи(Л, «) г 1 г д и гл«а- з 1 ди — гл« е««л(2я .I дбг л(2я д««= — оо 302 Га. 1П. Уравнен(лн нарабовичееноео типа ."(Л ):.Г'Тд" созЛ„, о Г2д с=тео г Г2 т ди . г Г2 = а (/ — — соз Лс + а ((/ — Л / — яп Лб ((б = — а (/ — (р(2) + ')/ дб е=о ')/. / дб к о г 22, с=еоо г + а~ л)/ — иЛ яп Лб — а Л (/ — / и(с, й) соз Лс (гс = с=о о = — аг — (р(е) — а Л~й(')(Л, ц), т. е.
( ' ) + агЛги(е)(Л 1) = — а' — р(1) л( ) где .-"(, )= ~-'/.((.о- (в( о (2) Из (2) находим о(*'а, о) = )/-' 1 ы, о) ив(. о (3) Решение уравнения (1) при начальном условии (3) имеет вид Г2 е и(Ц(Л 1) аг е — 'л'(( — )(р(т) е1т. о Применяя обратное косинус-преобразование Фурье (в силу равенст- ва (4) из решения задачи 54), получим и(т, г) = (/ — / и('~(Л, г) сов Лл(1Л = Г2 г о г = — — /(р(т) йт / е о ) ') созЛт(4Л = о о л1й.)' л/à — т ( 4аг(4 — т) 1 о 60. и(т, 8) = 2а лрн / ./ л1'( — т о о ') При этом предполагается, что и и производныс и по б стремятся достаточно быстро к нулю при 1 — э -)-оо.
59. Применяя косинус-преобразование Фурье л) и используя граничное условие и (О, 1) = д(1), получим 308 Ответы, указания и решения 2а ~/я,/ / ,Я вЂ” т о о 62. Указание. Установить сначала, что для косинус-образов атее~(Л) = е ол', д~'~(Л) =,, оригиналами являются Ло -Ь йо Дх) = — охр( — — ), д(х) = — ~е уе2о 4о ' 6 2 63. Указание. Установить сначала, что для косинус-образов )~'~(Л) = е '~, д~'~(Л) =, оригиналами являются Лз -ь ае у)х) = ехр( — — ), д(х) = Ле' — е 64. и(х, 4) = о о е « ( -ь6' о о Указание. Воспользоваться результатами задач 62 и 63.
( — )' ( +О' 65. и)х, 4) = ~~ф ~ехр( — ., ) +ехр(— о 2 о Указание. Воспользоваться результатами задач 62 и 63. 2. Однородные изотроцные среды. Построение функций влияния сосредоточенных источников. а) Неоераниненная прямая. 66. и(х, е) = — С(х, С, 4), — со < х, С < +ос, с) сра 0<2<+со, х~ с, где есть так называемая функция источника для уравнения ие — — а и... 2 в случае неограниченной прямой или «функция влияния мгновенного точечного источника тепла для неограниченного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью».
309 Рл. 1П. Уравнения парабоаинесиоео типа Указание. Можно предположить, что количество тепла Щ, мгновенно выделившееся в точке с в момент 1 = О, мгновенно же равномерно распределяется по малому интервалу (с — д, с + 5); тогда начальная температура стержня будет равна О, — оо<х<с — д, и(х, 0) = 75(х) = . 8 — 5 < х < 4+ о, 2бсрп ' О, 8+д<х<+со. Решая задачу иг = и и„, — оо < х < +со, 0 < 1 < +со, (1) (2) и(х, 0) = Ях), — со < х < +ос, с помощью формулы (3) из решения задачи 54 и переходя в полученном решении к пределу при д — > О, получим ответ. Лля разыскания температуры в стержне можно воспользоваться также дельта-функцией г), решая либо задачу ие — — а'и„, — оо < х+ оо, 0 < 1< +ос, (3) и(х, 0) = — д(х — Д), -со < х, С < +ос, Я сро с помощью упомянутой формулы (3) из задачи 54г либо задачу ис = а иаа + — б(х — С)д(2), — оо < х, С < +ос, 0 < 1 < +со, (5) 2 Ю срп (6) и(х., 0) = О, — оо < х + оо, с помощью формулы (1), приведенной в ответе к задаче 55.
Лпя решения краевых задач (3), (4) и (о), (6) можно не прибегать к формулам (3) и (Ц, а воспользоваться интегральным представлением для дельта-функции (см. [7, с. 268 — 275]). Функции источника для уравнения иг — — а и. „.. на прямой — оо < 2 < х < +г может быть также получена на основании соображений подобия (см. (7, с. 268 — 275]) или с помощью предельного перехода в выражении функции источника для отрезка 0 < х < 1 при 1 — г +оо (см.
(7, с. 268-275]). Примечание. Если мгновенное выделение тепла в точке х = С произошло не в момент времени 1 = О, а в момент времени 1 = т, то и(х, 1) = — С(х, С, 1 — т), — оо < х, С < +ос, х ф. С, т < 1 < +ос, сра сг(х, с, 1 — т) = ехр) —, ). 1 5)г 2а и(1 — г) 1 4аг(1 — г) ') См, ответы и указания к задачам 56 и 63 3 2 гл. П и к задаче 153 3 3 гл. 11. зрд Отвесим, указания и решения 67. и(х, 2) = — С(х, С, 2), — оо < х, С < +со, Я сра х ~ ~, О < 2 < +ос, (1) где (2) есть функция источника для уравнения ис = а и, — Ии в случае нег ограниченной прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
