Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 54
Текст из файла (страница 54)
102. и1х, 1) = е хр( — — ", (х — иоГ) — — а Г) )1 ехр( — а 4) Г(Д х о Гх — вое — 3 ) + ( Гх — аое+ Д ) г оо 1 Г Гх — оое + 4 4- Ч) ва — — ехр(— — — ) „~гав 2аа 1 4аге Заг о ~ У ~ ~"р( ..' —.)) 2 'оа 1 Г Гх — ггое) ао — — Г'.,нг- — — „)го~о.г 2аг г 1 4агГà — т) 2аг о а Д~ 4- оот, т) вхр( — а, с 4- — а т) 2аьгп.l 1 Я вЂ” т (- ) (- )- 4аг Гà — т) 4аг Гà — т) г юо 1 Г 1х — ггое -- С т гГ) ва — — *аГ- ' — — 9)Ф/ гг) 2аг 1 1 4агГà — т) 2а' а Указание.
См. указание к задаче 99. в) Конечный отрезок. Функцией влияния мгновенного точечного источника тепла Г«функцией источника») для конечного отрезка О < х < Г, соответствующей данным граничным условиям, называется температура ГГ(х, Сг Г) в произвольной точке х, О < х < 1, в произвольный момент времени Г > Ог вызванная выделением Ц = ср ) ы единиц тепла в точке 4, 0 < 4 < Г, 4 ф х этого отрезка в момент времени Г = О, если концы отрезка поддерживаются при соответствующих однородных граничных условиях. ) Здесь с -- удельная теплоемкостга а р -- линейная плотность масСы.
320 Ответы, указания и решения Таким образом функция источника С(х, о, 1) должна быть: 1) решением уравнения теплопроводности; 2) удовлетворять соответствующим однородным граничным условиям; 3) обращаться в нуль при 1 -о 0 и х ф с; 4) удовлетворять предельному соотношению ев-л 1пп / С(х, С, 1)срдх = 1;), е — ео з е>о е — л или,. что то же самое, в ьл 1пп / С(х, ~,1)е1х =1 „о/' г>о в-л при любом Л > 0 л) . Функция источника ехр~ (х - 4) 2а лЯ 1 4аг1 1 для уравнения иг =а и„ (2) на неограниченной прямой удовлетворяет требованиям 1), 3) и 4).
Если к (1) прибавить такое непрерывное решение д(х, <, 1) уравнения (2), обращающееся в нуль при 1 = О, чтобы сумма 4)г С(х, ~, 1) = ехр~ —,, ) + д(х, ~, 1) (3) удовлетворяла граничным условиям 2), то (3) будет удовлетворять всем требованиям 1), 2), 3), 4), т.е. будет функцией источника для уравнения (2) на конечном отрезке, соответствующей граничным условиям 2).
Слагаемое д(х, ~, 1) может быть построено для некоторых типов граничных условий методом отражений; этим методом решаются задачи 103 — 106. 103. Решение. Продолжим стержень 0 < х < 1 в обе стороны неограниченно и будем считать его поверхность всюду теплоизолированной. Пусть в точке с, 0 < с < 1, в момент 1 = 0 выделилось 1,) = ср единиц тепла. Повышение температуры вызванное в неограниченном стержне — со < х < -~-оо действием этого мгновенного источника, не равно нулю при х = 0 и х = 1. Если же, кроме того, и в точках — е,~~ х 2п1, и = 1, 2, 3, ...
г), в момент 1 = = 0 подействовали мгновенные тепловые источники мощностью Щ, распределенные, как указано на. рис. 35, то температура ') Предполагается, что О < 4 — Л < 4 + Л < й г) Точки — 4, хс, х2и1, и = 1, 2, 3, ..., получаются из точки 4 последовательными симметричными отражениями относительно х = О и х = 1. 321 1л. 111.
Уравнения параболинееноео типа ео — — (2) О СВ х (Б (е — 21 — 4 — 21 — 2и5 — 1 — 5 О 1 1 21 — б 21 2!в-с Рис. 35 источник мощностью — й), и обратно., каждому источнику мощ- ностью — С соответствует симметричный относительно х = О ис- точник мощностью +1„), так что их действия в точке х = О взаимно уничтожаются. То же самое можно сказать и о точке х = 1. Представим С(х, с, 1) в виде С(х, С2 1) = ехр( — ~ + д(х, С, 1), (3) где .(-оо — 4 -)- 2 1) 2 (* (+2 О')) () 4а21 -ьсо Символом 2 ( ) обозначен ряд (2) за вычетом члена (1). 2а игя1 Члены ряда (4) имеют производные всех порядков по х и 1 всюду при О < х < 12 О < 1 < -~-оо.
Ряд (4) сходится абсолютно и равномерно при О < х < 1, О < 1 < 1*, где 1* произвольное положительное число:, так же ведут себя и ряды, получая)щиеся из (4) почленным дифференцированием. При 1 — о 02 1 > О каждый член ряда (4) стремится к нулю. Таким образом, С(х2 С, 1) удовлетворяет всем требованиям 1), 2), 3), 4) определения функции источника. Оценим погрешность, допускаемую при замене суммы ряда (4) его частичной суммой 2 ' при О < х < 1, О < 1 < 1". Рассмотрим и=- — Х сначала ряд из членов с положительными п.
Если раскрыть скобки2 то он станет законопеременным рядом, удовлетворяющим условиям теоремы Лейбница. Поэтому для остатка ряда получаем оценку ~Л~н(х, С, 1)~ = ( (.-( 2.2*) ( (.+(+(.вз)), 21 Б.М. Будак и др. вызванная в неограниченном стержне — оо < х < +ос действием всех этих источников, будет равна все время нулю как в точке х = О, так и в точке х = 1. Действительно, каждому источнику мощностью +Я согласно рис. 35 соответствует симметричный относительно х = О 322 Ответы, указания и решении при О < т < ), О < ~ < 1. (5) Аналогично для остатка ряда из членов с отрицательными и получаем оценку ~ ) г ~Л,(т, С, 1)~ < ехр~ — ~.
(5') Таким образом, для остатка ряда (4) имеет место оценка ~Лч(т, с, 1) ~ < ехр~ —, ~, 0 < т, ( < 1, 0 < 1 < +ос. ре 1) г1г (6) 1 е (Ае — 1)г1г з ) Для этого в функции уг11) = ехре —, г перейдем к а,/ 1 1 аге (гУ вЂ” 1)1 новому независимому переменному г = . Мы получим а уЛ з Ф = —. = Ф'г) (АŠ— 1)1уея е (гу — 1)1у'я г ф( )= —,. 1 — 2т 1 'Ф'(г) =, < О прн г > —, в' уГ2 где Так как 1 то г)г(г) монотонно убывает на отрезке — < т < 4-оо; следовательно, р11) ~/2 2ЕАе 1)г1г монотонно возрастает при О < 1 <, . Значит, при всех гг', удав- а,г (1У-1)г летворяюших неравенству 2, Р > 1" (т.е, неравенству (7)), будет аг выполняться неравенство (8).
Нетрудно установить, что при (7) будет выполняться неравенствог) 18) Следовательно, при Ае, удовлетворяющих неравенству (7), будет удовлетворяться неравенство ~К;(х, ~, 1)~ < ехр( ) при О <1<1*, О < т, г, <1. (6) Решая методом разделения переменных краевую задачу иг — — агие„О < т <1, О <1<+со, (9) 1'л. 1П. Уравненггк параболического типа и10, 1) = и11, 1) = О, О < 1 < +со, и1х,О)=о1х), 0<х<1, получим для функции источника выражение г г 2 Г пк а 1 . пях . пко С(х, С, 1) = — ~ехр( —, 2) гйп — гйп —.
112) — ) н=1 Хотя ряды 112) и 14) формально преобразуются друг в друга г), однако их роль в представлении функции источника различна; если ряд 14) сходится тем быстрее, чем меньше 1, то ряд 112), .наоборот, сходится тем быстрее, чем больше й Нетрудно получить оценку погрешности, допускаемой при замене суммы ряда 112) его частичной суммой. Мы имеем 110) 111) Его г г ~Лиях, С, 1)~ = — ~ ехр( — ", 1)з)пи *зшп < п=.гч-~-г -~-х пг гаг -~-оо г г < — ~ ~ехр( — 1) < — ~ ~ехр( — х —,, 1) еЬ = гг г )" е„~ ~ (в ~)~ 0 < и, ( <1„0 < 1<+со. (13) Выгоднее, однако, выполнять оценку не остатка ряда, представляющего функцию влияния, а оценку остатка ряда, представляющего решение краевой задачи, полученное с помощькг этой функции, так как интегрирование, вообще говоря, улучшает сходимость радах). 104.
Методом отражений получаем -~-го — 2 1 и= — ж Схема соответствующего расположения мгновенных источников тепла мощностью Ц = ср изображена на рис. 36. — 21 — б —.21 — 2Иб — 1 — б 0 б 1 21 — б 2) 21+8 Рис. Зб ') См. ~7, с. 474 — 476). г) См. оценки, выполненные при решении задач 22, 27, 28, 29, 48 настоящей главы. 324 Ответы, указания и решения (6) Соответствующее распределение мгновенных точечных источников мощностью Я = ср и — 1,1 изображено на рис.
37. — 21 — 6 †. 21 — 21-ье — 1 — е 0 6 1 21 — 6 21 21 е6 Рнс. 37 Метод разделения переменных дает 2 +я~ 1 (2пг-1)гхгаг 1 (2пч-1)хб (2п-~-1)ях ~~х~ 6 1) = 1 2 ехр) 41г ~~ сов 1 соз (2) Оценка погрешности, допускаемой при замене суммы ряда (1) его частичной суммой, выполняется либо с помощью неравенств, аналогич- В силу соотношений (7) и 18) решения предыдущей задачи для членов ряда (1) имеем 0(х,~(1, 0(1(1*, и) — е — +1. Р) Таким образом, для остатка ряда (1) имеет место оценка тса г1г ~Лж(х, С, 1)~ < ~ ~ехр( —, ) < а=Юг-1 »р1 — —,)г*= — ~1 — Ф ( — )), (г) 0<х,С<1, 0<1<1', 7У) — е — +1. Методом разделения переменных для этой же функции источника получается выражение г г 1 2 х Г пап 1 гаях пхб Сг(х, 8, 1) = — + — гэ ехр1 — 11 соз — соз —.
(6) — 12 '1 1 ) а=1 Для остатка ряда (6) получается оценка ~йж1х, 6, 1)~ ( 1 — Ф, (7) 0<х,с<1, 0<1<тес. (8) 105. Методом отражений получаем — -Ь 2 1)г ) а.~~~.е*)),г) 325 Гв. 1П. Уравненпя парабовинееноео ганна ных неравенствам (4) и (5) из решения предыдущей задачи (грубая оценка), либо аналогично тому, как это было сделано в решении задачи 103 (более точная оценка). Лля остатка ряда (2) получаем оценку ~Л (х,с.1)~< 1 — Ф ( Ц Т 106.
а) Если М удовлетворяет неравенствам Х> — — +1, (1) ог > — 1* 1п(2еа зггяс*) + 1, (2) то для остатка ряда (2) решения задачи 103 будет выполняться неравенство )Лм(х,е,с)(<в при 0<х,С<1, 0<1<1'. (3) б) Если йг удовлетворяет неравенству Ф ™ 2 > 1 еяаъ~7-, (4) то для остатка ряда (12) решения задачи 103 будет выполняться не- равенство ~йм(х, ~,1)~ <е при 0 <х, ~ <1, 1* <1<+оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
