Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 49
Текст из файла (страница 49)
14. Если в момент 1 = 0 печь находилась в точке х = 0 стержня, то краевая задача об определении температуры в стержне может быть записана в виде дгн гдиг г д а д г со < х < /01 дг д.г ~ диг г дгиг — =а г, со1<х <+со, дг д*г ' иг(по1, 8) = иг(по1, 1), Ли[и~,,(оо1, 1) — иге(ио1, 1)] = Ю О < 1 < +со иг(х, О) = гг(х), — оо < и < О, иг(Х, 0) = гг(Х), 0 < Х < +ОО, где 1,) -. количество тепла, выделяемое электропечью в единицу вре- мени, Л коэффипиент теплопроводности, а площадь поперечного сечения стержня. диг дг диг дг а) иг(0, 1) = б) иг(0, 1) = г д'и, О <1<+ос; =аг, 0<х<+оо, иг(0, 1), Лдиг (О, 1) = Лгиг,(0, 1), О < 1 < +со,'.
иг(0, 1), Л иг (О, 1) — Лгиг (О, 1) = = Соим(0, 1) = Соим(0, 1), 0 < 1 < +ос, аг(х, 0) = 1(х), -оо < х < О, 'аг(х, 0) = гг(х), 0 < х < +ос. 280 Ответы, указания и решении С помощью импульсной дельта-функции краевая задача может быть сформулирована более компактно; ди г дги — = и + — д (х — ллоС), .— оо < х < +со, 0 < С < +со, дС дхг ср и(х, 0) = у(х), -оо < х < +со. 15. Помелцая начало координат на поверхности металла и обозначая через ~(С) глубину, на которую распространилось затвердевание к моменту С,получим краевую задачу О < С <СС, да =,гд",, И<х<С, дС дхг ' ил(0, С) = ССл — — сопзС, днл днг лСС Лл — Лг =лерг —, 0< С<СС, е=ССлЛ дх а=Цап лСС ил(~ф, С) = игСсеСС), С) = О, О < С < Сл, иг,(С, С) = О, 0 < С < Сл, иг(х, 0) = ССо, 0 < х < С.
Здесь за нуль температуры принята температура плавления (темпе- ратура затвердевания) металла. Лл и Лг — коэффициенты тепдопро- водности твердого и жидкого металла,. агл и агг - их коэффициенты температуропроводности; ле скрытая теплота плавления, рг .- плотность массы расплавленного металла, Сл время, при котором АСС) = С. Если температура меняется в очень широких пределах и нельзя пренебречь зависимостью коэффициентов теплопроводности, тепдоем- костей и плотностей масс от температуры, то уравнения (1) должны быть заменены уравнениями 0 < С < Сл. С1') 16. Помещая начало координат в плоскости пластины, направляя ось х перпендикулярно к свою, а ось ц вертикально вниз, дця опреде- пения скорости частиц жидкости получаем краевую задачу ил = ии„,, -Сл < х < 0,1 0 < С < -еоо, ил=ив„, 0<х<Сг, и(-Сл, С) = О, и(Сг, С) = О, лл(0 — О, С) = п(0+ 0, С) = ш, ) 0<С<+со, где ш — скорость движения пластины, — = — )лл,,(0+ О, С) — и,(0 — О, С)] + д, 0 < С < +со, л' 281 Го.
1П. Уравнения ниробооиэесноео тини ю(0) = О, и(х,О)=0, — 1з<х<0, 0<х<1з. Здесь у масса единицы площади пластины, р — плотность массы жидкости. 1Т. Для определения температуры в стержне получаем краевую задачу х 0<~<+оо, ии(0, 1) = О, ия(1, С) = О, 0 < 1 < +ос, и(х, О) = (уо; О < т < 1, Л а о/ Здесь Е, высота полного конуса, получающегося продолжением дан- ного стержня, у - - половина угла раствора конуса., го —. радиус большего основания усеченного конуса, 1 .. его высота, Л, с, р-- коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость и плотность массы материала конуса, о коэффициент конвективного теплооб- мена между поверхностью конуса и окружающей средой.
где г' = ц1о, и 2 а = — 'и Й. й~ ' и 1о Решение. Установление аналогии является жем необходимость и достаточность условий (4) и Необходимость. Пусть и'(х', 1') = Ииио(х", 1и) при х' = Ихх", (б) очевидным. Дока- (3). 3. Подобие краевых задач. 18. Краевая задача о нагревании стержня с теплоизолированной боковой поверхностью задача (1) д' д'' аз и а = —, 0<х'<1' 0<1'<+со, (1) д1 дх со и'(О, 1) = у'(1) ~ О, и'(1', о') = О, 0 < о' < +со, (2) и (х~., 0) = О, 0 < х~ < 1~, (3) аналогична краевой задаче 10 задаче (П) о движении слоя вязкой жидкости (1') ии(х", 0) =О, 0< хи <1о. (3') Для того чтобы задача (1) была подобна задаче (П) с коэффициентами подобия й,, Лэ, й„, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись ~р~(1~) = йи~р~~(1'~) при 0 < 1о < +ос, (4) 282 Отвеьам, указания и решения причем (х', 1') пробегает Р~ [О < х' < 1', .0 < д < +со), когда (хн, 1н) Рп ~0 < хн < 1", О < Ха < +со). (6) Тогда должно выполнЯтьсЯ Равенство и'(О, г') = капе(0, 1н) пРи 0 < 1н < +со, т.е, в силу (2) и (2') должно вьпюлняться равенство (4).
дифференцируя равенство и'(х', 1') = Й ин(хв, 1н) по хн и 1н и используя равенства х' = к,,хн, д = ке1н, получим ди' дие кз р'ин дзив дп " дев ' '"' дх" "дхв' Так как пн(х", 1н) должно удовлетворять уравнению (1'), то, следовательно, должно выполняться равенство ~, дйв дхнз( дг™ дх" т. е. для а'(х', 1') должно выполняться уравнение ди' кз д и' — =р — *, 0<х <1, 0<1 <+со.
др /. д.~з' Таким образом, и'(х, д) должно быть не только решением задачи (1), (2), (3), но и решением краевой зада еи ди' 1е~ д и' — =р — * —, 0<х <1, 0<1 <+со, др й, дх"' и (О, е~) = ~р~(е~), 0 < 1~ < +ос, и'(х~, г) = О, О < х' < 1. краевой (1е) (2н) (Зн) Отсюда заключаем, что выполняется соотношение 2 а =р — '. ве действительно, вычитая (1н) из (1), получим: О= (а — Л) д и Если бы мы предположили, что „= О, то в силу уравнения (1е) д ' (или (1)) было бы — = О, но это невозможно, так как и(0, 1') = уз'(1'), дд причем уз'(д) ф О. Следовательно, 2 а — р — *=О, ке что и требовалось доказать. достаточность.
Перейдем к безразмерным величинам С, т, У в краевых задачах (1) и (П) с помощью формул х' =1'С, 1' =1сг, и' = и„БЯ т), 283 Гв. 1П. Уравнения пороаовинееноео типа где константы 1„' и 1" имеют размерность времени, а а' и а" имеют соответственно размерности и' и и", причем эти константы выбраны так, что оо ио — '=йм оо и о иа Напомним, что, кроме того, выполняется соотношение 1о ' Краевые задачи (1) и (11) примут вид д11 га, д'11 — = — а д 1 дег ' 11(0, т) = —, уЩ, т), О < т < +оо, иа 11(~, О) = О, О < ~ < 1, 0 < ~ < 1, 0 < т < ч-со, (Н') Из (4) следует, что р (10т) = 'р (вот) иа иа 0 < т < -)-оо. Из (5) следует, что ра г ео — а = —,и рг т. е, у задач (1') и 1Н') тождественно совпадают уравнения, начальные и граничные условия; следовательно (в силу теоремы единственнос- ти), совпадают и их решения.
Таким образом, 11ф т) = —, и'(х', 1') = — „(хо, 1о), ио ио т. е. и (х, 1') = Й„и (х'', 1' ), что и требовалось доказать. 19. Краевая задача об определении температуры в стержне, на боковой поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю, г ди яд и' ар, г Л вЂ” =а — — — и, а = —, 0<х <1, 0<1 <+со, (1) / г дн дх'г арт ' ер' и'(О, 1') = ~р'(1'), 0 < 1' < +со, —,~ = О, и(х',0)=0, 0<х'<1' д11 оа д — = — и дт Р д4 ' 11(0, т) = — о ~ро(10, т), 1 иа 11(~, 0) = О, 0<с<1, 0<т<+оо, 0 <т <+ж, 0<с <1. 284 Ответы, указания и решении аналогична краевой задаче об определении концентрации диффундирующего вещества, скорость распада которого пропорциональна концентрации, — = 11 — и, — 11и ', 0 < х ' < 1', О < 1' < +ос, 11') двв дхв' а и"(О, 1а) = ~рв(1в), 0 < 1а < +со, — „= О, (2') дхв а =г и~'(х~~, 0) = О, 0 < хн < 1в.
(3') Для того чтобы первая задача была подобна второй с заданными коэффициентами подобия й„йе, й, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения (6) (3') ') По поводу обозначений см. задачу 2 гл. П1 и задачу 19 гл. П. ~р'(1') = йв~ре(1п) при 0 < 1а < +ос, где $' = йеса, (4) (5) ор 1 — = — Р срп йв Указание. Доказательство необходимости и достаточности условий (4), (5), (6) проводится аналогично тому, как это делалось для условий (4) и (5) в решении предыдущей задачи.
20. Задача (1) «Найти напряжение электрического тока в проводе конечной длины с пренебрежимо малой самоиндукцией, если к одному его концу приложена электродвижущая сила, меняющаяся по заданному закону, а другой конец заземлен через сосредоточенное сопротивление Ло» аналогична сформулированной выше 1см.
условие задачи) задаче (Н) об определении температуры в стержне, так как задача (1) может быть записана в виде з) д ' 1 д — —, — — и', 0<х'<1', 0<1'<+со, (1) дд йС дх" С д ' и'(О, 1') = уз'(1'), ~ †, + — и'~ = О, 0 < 1' < +оо, (2) 1дх' Но и1х~,О)=0, 0<х~<1~, (3) а задача (11) -- в виде е дз и д1в д.еез сра ср д и 1е =! и~~(хв, 0) = О, 0 < хвв < 1в .
Для того чтобы задача (1) была подобна задаче (Н) с коэффициентами подобия й„йе, .й„необходимо и достаточно, чтобы выполнялись 285 Гл. 1П. Уравненвм параболического типа соотношения вг (1 ) = йв~ро(1о), 0 < 1о < +ос, где нг г к,=— ДС А С 1 ар С й~ сра В 1 о Ло ЕЛ Х' = Ц1в, (4) (5) (б) (7) (4) 3 2. Метод разделения переменных 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
