Лекция 12 (1124339)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

45

Лекция 12(12 мая 2003 года).

Лемма. Пусть - область. Функция локально интегрируема в по площади, Обозначим: . Требуем, чтобы выполнялось следующее равенство: (выполняется теорема о среднем для достаточно малых кругов). Тогда гармоническая в

Доказательство. Если Рассмотрим приращение: . Обозначим симметрическую разность: рассмотрим интеграл: при в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.

Отсюда вывод: 1) непрерывна в точке А т.к. любая, тогда

2

шаг. Взяли круг в области Решим задачу Дирихле. решение задачи Дирихле в с граничной функцией Свойства Во-первых: Во-вторых: гармоническая в В-третьих: . Рассмотрим разность:

Свойства 1) 2)

Рассмотрим - они достигаются.

1. если точки гармоническая в , т.к.

2. Основной случай:

А) Пусть Можем записать, что существует точка есть некоторая окрестность, т.е. окрестность Т.к. непрерывна в Тогда про интеграл мы можем сказать: с одной стороны Следовательно, противоречие. Функция непрерывная в замкнутой области, на границе должна быть 0, а с другой стороны на границе должны быть положительное значение.

Б) аналогичный случай для Итак теорема доказана.

Утверждение. - область. Функции гармоничны в . Внутри : равномерно на компактах из .

Доказательство. Зафиксируем точку, т.е. пусть точка причём окрестность точки . Это компакт, лежащий в . На нём: Т.к. последовательность сходится равномерно, то можем переходить к пределу под знаком интеграла: . гармоничны в они непрерывны, а тогда при равномерной сходимости непрерывна в функция гармонична в (по лемме).

Теорема (Гарнака). некоторая область. Функции гармоничны в . монотонность. Тогда предел т.е. Причём а) либо гармонична в б) либо

Доказательство. а) Докажем, что гармонична в Фиксируем по теореме о среднем. Можем применить к этому равенству теорему о монотонной сходимости, получим: , точка произвольные, тогда функция локально интегрируема и для выполнена теорема о среднем, можно применить лемму, а по ней гармонична в

б) можем записать, что . Возьмём . Можем считать, что (если это не так, то ). Обозначим:

Свойства 1) не пусто, т.к.

2) открыто (если ).

Фиксируем точку Рассмотрим . По теореме о монотонной сходимости: . Таким образом получили открытость.

3) замкнуто относительно области

Пусть есть последовательность точек Надо проверить, что . Возьмём окрестность . В всегда попадает некоторая точка причём окрестность точки есть круг и .

А тогда (определение связности области ).

Пример (теорема отражения). Пусть некоторая область (на плоскости). Функция гармоническая в , непрерывна в . Пусть область симметричная относительно Будем считать, что область. гармоническая в .

Доказательство. Заметим, что (очевидно).

Кроме того,

3 случая: тривиально, и из выше написанных условий, по лемме следует гармоничность

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций