Лекция 9 (1124336)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

36

Лекция 9(21 апреля 2003 года).

Доказательство теоремы1. Предположим, что - целая функция, , . Для удобства введём: тогда целая функция и Можно добавить, что (конечная). Зафиксируем к-н элемент функции функция обратная к модулярной. По свойству 1 функции этот элемент Аналитически Продолжается вдоль любой кривой на комплексной плоскости, тогда по теореме о монодромии голоморфная во всей С однозначная функция. Вспомним свойство 2 функции все значения функции лежат в единичном круге ограничена. Вспомним теорему Лиувилля: ограничена и голоморфна в С тем самым

Если она не принимает 2 значения, то она константа.

Доказательство теоремы2. Пусть - мероморфная в С функция. Пусть не принимает 3 значения: различные. Рассмотрим функцию - двойное ангармоническое отношение. Функция не принимает значения: - функция не имеет полюсов, т.е. голоморфна в С. Т.е. мы свели теорему2 к теореме1, а тогда по теореме1 функция 1

Задача1. Функция принимает все комплексные значения (доказать, используя только малую теорему Пикара).

Задача2. Решить уравнение в целых функциях: (т.е. описать все функции, голоморфные в С, удовлетворяющие уравнению).

НОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА И БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ПИКАРА

1⁰. Нормальные семейства.

Определение. Пусть область на С и пусть некоторое семейство функций, голоморфных в области т.е. голоморфные в . Семейство называется нормальным, если из любой последовательности этого семейства функций можно выбрать подпоследовательность, т.ч. либо равномерно сходится, где конечнозначная функция голоморфная, либо равномерно сходится к бесконечности.

(расширение понятия компактности).

Замечание. Если семейство предкомпактно, то оно нормальное (по определению). Обратное не верно (пример: возьмём не компактен, не ограничен).

Теорема (Критерий Нормальности). Если 1) голоморфные в .

2) Все функции этого семейства не принимают 2 комплексных значения одинаковые для всех . То нормальное семейство.

Это условие не является необходимым (добавим в качестве ). Это наиболее общие достаточные условия.

Замечание. Без ограничения общности односвязная область (можно доказать только для односвязной). Достаточно доказать теорему для круга (а переход от круга как в теореме Монтеля).

Доказательство. 1.) Без ограничения общности функция не принимает значения . Зафиксируем любую последовательность

2.) Зафиксируем любую точку и рассмотрим числовую последовательность . Она имеет предельные точки в т.к. - компакт. Пусть предельная точка. Без ограничения общности сама сходится к

3.) Рассмотрим 4 случая: а)

Обозначим: круг с центром в точке не содержащий точек в можно выделить однозначную ветвь функции (Обратной к модулярной). В силу условия точки для всех достаточно больших (пусть для всех). В силу непрерывности окрестность точки т.ч.

Тем самым определена композиция 2х функций: в - т.е. это элемент аналитической функции. Будем его Аналитически Продолжать. Утверждается, что АП вдоль любой кривой в . - односвязная область по теореме о монодромии - однозначная АФ, т.е. функция голоморфная в .

2 свойство все значения лежат в единичном круге т.е. последовательность - равномерно ограничена. Итак, - голоморфна в , равномерно ограничена в , теорема Монтеля - предкомпактна, т.е. существует сходящаяся подпоследовательность. Без ограничения общности: пусть сама голоморфная в и Докажем, что на самом деле Доказательство от противного: пусть существует Но по принципу максимального модуля тогда в частности но пределу т.е. есть т.е. , но противоречие. Итак, . Рассмотрим модулярную функцию . Тогда определены следующие композиции: непрерывная, а из следует, что но Обозначим: голоморфная в . Итак, доказали, что и требовалось .

б) Пусть .

Тогда возьмём круг с центром в точке , не содержащий точек т.е. круг, радиуса В определим однозначную ветвь причём главную ветвь, т.е. . Теперь найдём окрестность точки т.ч. теперь определена композиция: - голоморфна в (элемент АФ). Будем АП-ть, но АП вдоль любой кривой в По теореме о монодромии: однозначная функция, т.е. голоморфная в . т.к. голоморфна, если противоречие, противоречие.

Предельная точка последовательности таким образом свели к предыдущему случаю. Итак, подпоследовательность - голоморфная в . Теперь:

Итак, с случаем теорема доказана.

Докажем дополнительное утверждение: 1) либо

2) либо (по теореме Гурвица, если функция не константа, то начинаем с некоторого номера точка =1)

в)

Заменой сводим к предыдущему случаю. Таким образом причём 1) либо

2) либо

г)

Сводится к предыдущему подстановкой голоморфная, подпоследовательность (т.к. это уже рассмотренный случай) голоморфная в . Есть альтернатива: 1) либо

2) либо , если по определению:

Итак теорема полностью доказана.

2⁰. Большая теорема Пикара.

Теорема. В любой окрестности существенной особой точки АФ принимает все комплексные значения, за исключением, быть может, одного.

Доказательство. Пусть - существенная особая точка функции Без ограничения общности

От противного: Пусть существует окрестность: т.ч. в ней функция не принимает 2 значения Рассмотрим не всю окрестность, а кольцо Рассмотрим последовательность функции - голоморфную в Г и тогда по критерию нормальности нормальное семейство можно выделить подпоследовательность, т.е. где либо 1) голоморфная в .

Либо 2)

Рассмотрим 1) голоморфная в . Проведём внутри Г окружность радиуса , т.е. Имеем равномерную сходимость внутри Г, в частности на следовательно равномерная ограниченность, т.е. на , Рассмотрим кроме , Обозначим: перепишем так: на Теперь по принципу максимального модуля: между двумя любыми окружностями неравенство выполняется, но тогда перебором получим всю проколотую окрестность, т.е. в имеем: голоморфна и ограничена в . По теореме об устранимой особой точке устранимая особая точка противоречие с условием ( - существенная особая точка).

Рассмотрим 2) . Рассмотрим функции голоморфная в . (т.к. ) т.к. А тогда свели этот случай к 1)-му, т.е. можно утверждать, что устранимая особая точка для , а тогда либо устранимая особая точка, либо полюс для но не существенная особая точка (!) противоречие.

Задача. Уравнение Доказать, что оно имеет бесконечно много решений.

Следствие (из Большой теоремы Пикара). Если целая трансцендентная, функция, то для всех комплексных с, кроме, быть может, одного уравнение имеет бесконечно много решений.

Трансцендентная – любая функция (но не многочлен).

Целая – голоморфная в С.

Пример: решение точно одно , если любое другое значение, то решений бесконечно много, т.е. принимает все значения.

(сразу теорему нельзя применять).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций