Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4

Лекция 1(10 февраля 2003 года).

ПРИНЦИП АРГУМЕНТА

1⁰ Логарифмический вычет.

Определение. Пусть функция : 1) голоморфна

2) в некоторой проколотой окрестности точки а. Тогда логарифмическим вычетом функции в точке а называется (вычет логарифмической производной).

Утверждение. 1) Если функция имеет в точке а ноль порядка , то .

2) Если функция имеет в точке b полюс порядка , то .

Доказательство. 1) где голоморфна в точке а и где h – голоморфная в точке а функция. Следовательно .

2) Рассмотрим Она имеет ноль порядка , а

Замечание. Логарифмический вычет считает нули функции.

Определение. Функция называется мероморфной, если она голоморфна в этой области, за исключением некоторого конечного числа полюсов.

Определение. Правильная область – это область, граница которой состоит из конечного числа простых попарно не пересекающихся кривых.

Теорема. (о логарифмическом вычете) Если 1) правильная область с границей Г.

2) - мероморфна в

3) и на Г.

То где число нулей, число полюсов функции в области

Замечание. Число нулей и число полюсов считается с учётом кратности. В условии теоремы и нулей, и полюсов конечное число по теореме о единственности и определению мероморфности.

Доказательство. Пусть ноль порядка и все нули. Пусть полюс порядка и все полюсы. - голоморфна в причём в она имеет простые полюсы. Считаем интеграл: по теореме Коши о вычетах

Следствие1. Если 1) правильная область с границей Г.

2) -голоморфна в

3) на Г, где А – фиксированное комплексное число.

То где число А-точек функции в области D, А-точками функции называют нули в точке А, с учётом кратности (порядка нулей).

Доказательство. Применим теорему о логарифмическом вычете к функции .

Следствие2. (основная теорема алгебры) Любой многочлен степени n имеет ровно n нулей с учётом кратности.

Д

оказательство. Пусть есть многочлен степени n, т.е. число нулей. Возьмём круг радиуса т.ч. все нули внутри, применяем теорему о логарифмическом вычете к кругу и к внешности круга. Вычислим:

2⁰. Принцип аргумента.

кривая на С. .

Пусть кривая не проходит через начало координат, т.е.

Рассмотрим задачу Ф. Требуется найти функцию т.ч. она: 1) непрерывна на

2) , комплексное число.

Определение. Приращением аргумента вдоль кривой называют число:

Докажем корректность определения:

Утверждение. 1) Задача Ф имеет решение. 2) Если Ф₁ и Ф₂ – решения задачи Ф, то для некоторого целого n. (т.е. корректность).

Доказательство. 1) Обозначим он всегда достигается по теореме Вейерштрасса, По теореме Кантора функция равномерно непрерывна, т.е. Пусть произвольное разбиение отрезка с параметром . Рассмотрим круг центр и радиус. Круг не содержит начальных координат, в нём определена непрерывная функция . Дуга кривой лежит в Рассмотрим круг Аналогично в И т.д. за конечное число шагов определяем функцию

2) Рассмотрим непрерывную на функцию и принимающую значения дискретное множество. по теореме о промежуточном значении она принимает одно из этих значений.

Задача L. т.ч. 1) непрерывна на 2) , комплексное число.

Определение. Приращением логарифма вдоль кривой называется следующая величина: где L – любое решение задачи L.

При этом определение корректно: 1) Задача L имеет решение 2) решения, тогда

Доказательство. Следует из предыдущего утверждения и того, что

Следствие. Пусть спрямляемая кривая, не проходящая через начало координат. Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница:

Доказательство. Пусть разбиение отрезка с параметром . Тогда fix L – любое решение задачи, тогда по аддитивности интеграла по формуле Н-Л для односвязной области, а именно круга =

Определение. Пусть замкнутая кривая, не проходящая через начало координат, тогда индексом кривой называется следующая величина: (число оборотов, которое осуществляет кривая вокруг начала координат со знаком «+», если против часовой стрелки).

Теорема. (принцип аргумента) Если 1) внутренняя область для простой, замкнутой, спрямляемой кривой Г. 2) -голоморфна в 3) на Г. То число функций f в области D равно .

Доказательство. по теореме о логарифмическом вычете вычисление интеграла с помощью параметризации кривой по определению.

3⁰. Теорема Руше.

Теорема. Если 1) внутренняя область для простой, замкнутой, спрямляемой кривой Г. 2) -голоморфны в 3) на границе Г. То число нулей функции f в области D равно числу нулей функции f+g в области D. Т.е.

Д

оказательство. т.к. с точностью до , но на Г, т.е. меняется в пределах круга с центром в 1 и радиусом <1. приращение = 0, т.к. не обходится начало координат.

Пример. Надо найти число нулей, лежащее в кольце

Решение. 1)Применяем теорему Руше к кругу: тогда . Тогда на единичной окружности условия теоремы Руше выполнены, тогда Ноль 3его порядка.

2) Применяем теорему Руше к кругу: тогда . Тогда на окружности радиуса 2 условия теоремы Руше выполнены, тогда Ноль 5ого порядка. В кольце 5 – 3 = 2 нуля.

4⁰. Теорема Гурвица.

Теорема. Если 1) внутренняя область для простой, замкнутой, спрямляемой кривой Г.

2) -голоморфны в некоторой области 3) внутри G. 4) на Г. То в области D.

Доказательство. Возьмём круг с центром в Утверждается, что начиная с некоторого номера все функции имеют один ноль. Если ноль кратности 2, то функция имеет 2 нуля. голоморфна в по 1ой теореме Вейерштрасса. Рассмотрим по теореме Вейерштрасса минимум достигается, тогда . По определению равномерной сходимости: . Сравним 2 функции и . Рассмотрим их значения на границе Г. на Г выполнены условия теоремы Руше

5⁰. Устойчивые многочлены.

Теорема. Пусть многочлен степени n, не имеющий чисто мнимых нулей. Тогда число нулей многочленов, лежащих в левой полуплоскости вычисляется по формуле: где (iR – мнимая ось).

Д

оказательство. Рассмотрим замкнутый контур (центр в 0, радиус R). R – любое большое настолько, что все нули внутри. переходим к пределу при

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций