Лекция 10 (1124337)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

39

Лекция 10(28 апреля 2003 года).

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1⁰. Напоминание определения гармонической функции.

Определение. Пусть - область на плоскости. Функция называется гармонической, если

1) - дважды непрерывно диффеоморфна.

2) Удовлетворяет Условию Лапласа, а именно: в .

Утверждение1. Если функция голоморфна в , то функции и - гармонические в области .

Доказательство. Пишем условие Коши-Римана у ещё раз их дифференцируем.

Определение. , если и связаны такими условиями, то они называются сопряжёнными гармоническими функциями.

Утверждение2. Если гармонична в односвязной области , то существует функция - голоморфная в , т.ч.

Доказательство. Задача состоит в нахождении сопряжённой гармонической функции , тогда Надо доказать, что формула определена корректно – формула Грина.

Следствие. Гармоническая функция – бесконечно дифференцируема, т.к. этим свойством обладает голоморфная функция.

Замечание. 1) Функции и определены однозначно с точностью до константы.

2) Функция всегда определена формулой, но может быть многозначной.

Пример: . - была однозначной, а - многозначной многозначна.

2⁰. Свойства гармонических функций.

Теорема (о среднем). Пусть функция гармоническая в круге т.е. значение в центре круга гармонической функции = среднему арифметическому её значений на окружности.

Доказательство. - голоморфная в Для голоморфной функции теорема о среднем: Возьмём от обеих частей: утверждение.

Следствие. Справедлива формула: мера Лебега на плоскости, т.е. значение в центре круга = среднему арифметическому её значений в круге.

Доказательство. Проинтегрируем от по получим:

Гармонические функции – те, которые удовлетворяют теореме о среднем.

Теорема (единственности для гармонических функций). Если:

1) гармоническая в области ,

2) в некотором круге . То в

Доказательство. Обозначим: множество внутренних точек множества .

Тогда обладает следующими свойствами: 1) (по условию теоремы, т.к. )

2

) - открытое (как и любое множество внутренних точек – по определению)

3) - замкнутое (относительно ). Из 1)-3) следует, что по определению

связного множества ( область связное множество). Осталось доказать 3) свойство:

Дано: Надо доказать: окрестность , т.к. открытое множество. т.к. - окрестность , т.ч. в голоморфная в окрестности (по утверждению2).

Н

апишем условие Коши-Римана: в в Тогда по теореме !-ти для голоморфной функции во всём круге , таким образом во всём круге , т.е. является внутренней точкой.

Замечание. Теорема !-ти здесь не такая: нули гармонической функции

это кривые на плоскости:

Н

ули голоморфной функции – изолированные точки, т.к. они получаются так:

Теорема (принцип максимума и минимума для гармонической функции). Если:

1) гармоническая в области .

2) То не может достигать в своего локального максимума и локального минимума.

Геометрическая формулировка теоремы «график гармонической функции всегда седло»

Доказательство. Рассмотрим случай максимума. Для минимума то же самое (возьмём ). Доказательство от противного: Пусть окрестность т.ч.

Воспользуемся связями с голоморфными функциями: голоморфная в Рассмотрим функцию она тоже голоморфная в вещественная часть. Тем самым: имеет максимум в точке по предположению. По принципу максимума модуля для голоморфной функции в (везде, где определена). Тем самым в По теореме !-ти для гармонической функции во всей пришли к противоречию

Все свойства общие в пространствах любой размерности. Сейчас будет теорема Лиувилля – только на плоскости.

Теорема (Лиувилля для гармонической функции). Если:

1) гармоническая во всей .

2) ограничена сверху (или снизу) Т.е. , то

Доказательство. голоморфная во всей Возьмём и для определённости рассмотрим функцию, ограниченную сверху, тогда - ограничена. По теореме Лиувилля для голоморфной функции

Замечание. Что означает, что Значения функции некоторой полуплоскости конформным (дробно-линейным) отображением перевести полуплоскость на круг ограниченность.

Задача. Показать, что в теорема Лиувилля не верна.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций