Лекция 4 (1124331)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

16

Лекция 4(17 марта 2003 года).

Теорема. Если 1) D – односвязная область.

2

) продолжается вдоль любой кривой в области D. То результат продолжения элемента в заданную точку области не зависит от выбора кривой.

Доказательство. Предположим противное. Обозначим: - центр элемента .

Пусть существует точка и 2 кривые и , лежащие в и соединяющие

и т.ч. продолжается вдоль до , а вдоль до и

Обозначим - замкнутую кривую

- «плохая» кривая «плохая» замкнутая кривая. По теореме Кантора в кривую можно вписать сколь угодно близкую к ней ломанную из предположения (* - из предыдущей лекции) следует, что «плохая» замкнутая ломанная «плохой» многоугольник (точки самопересечения разбивают ломанную на многоугольники). Любой многоугольник разобьём на треугольники «плохой» треугольник. Пусть «плохой» треугольник. Проведём медиану «плохой» треугольник, хотя бы один из двух, в нём проведём медиану и т.д. по лемме вложенных отрезков к отрезку применим следствие (*) окрестность точки т.ч. «хороший», что противоречит построению, т.к. есть точки близкие к , тогда в будет лежать плохой треугольник.

Определение. Гомотопия в области соединяющая точки - это

любое отображение т.ч. - это

семейство кривых непрерывно зависящее от параметра .

Определение. 2 кривые гомотопны, если их можно включить в некоторую гомотопию.

Теорема (о монодромии). Если элемент продолжается вдоль любой кривой в области , то продолжение элемента вдоль гомотопных кривых совпадают.

Доказательство. и , гомотопные кривые Пусть По теореме Вейерштрассе Рассмотрим разбиения отрезков: По теореме Кантора существуют такие разбиения, что Введём обозначение: круг с центром в точке и радиусом

П

о лемме из пункта 3⁰. круги с одинаковым радиусом можно использовать для аналитического продолжения вдоль кривой (из условия теоремы (вдоль любой кривой)).

Рассмотрим 4 круга: По построению они имеют общее

непустое пересечение т.к. а радиус

Продолжение вдоль кривых и совпадают.

В односвязной области любые две кривые гомотопны следует предыдущая теорема.

5⁰. Изолированные особые точки.

Определение. Если элемент продолжается вдоль любой кривой в некоторой проколотой окрестности точки , то - изолированная особая точка для данного элемента. Обозначение: центр элемента.

Определение. Допустимые кривые – замкнутые кривые, которые начинаются и заканчиваются в точке и имеют положительный индекс относительно точки .

Возможны 2 случая: 1) При продолжении вдоль любой допустимой кривой элемент не меняется.

2) Существует допустимая кривая, при продолжении вдоль которой элемент меняется.

1) порождает голоморфную в функцию изолированная особая точка однозначного характера.

2) порождает многозначную аналитическую функцию точка ветвления.

1) устранимая особая точка.

полюс.

не существенная особая точка.

Пример. устранимая, полюс порядка , существенная особая точка.

Классификация точек ветвления.

А) При продолжении вдоль любой допустимой кривой элемент меняется.

Б) При продолжении вдоль некоторой допустимой кривой элемент не меняется.

А) логарифмическая точка.

Б) точка ветвления конечного порядка.

А) получается бесконечно значная функция.

Б) 2 подслучая: алгебраическая точка ветвления. не трансцендентная точка ветвления.

Определение. Порядок ветвления – наименьший индекс допустимой кривой, при продолжении вдоль которой элемент не меняется

Пример. А) Б) - это q-значная функция. точка ветвления порядка

Пример. алгебраическая точка ветвления порядка 2. трансцендентная точка ветвления порядка 3.

Разложение многозначных аналитических функций в степенные ряды.

точка ветвления порядка Пусть проколотый единичный круг. Рассмотрим - листное покрытие единичного круга. У точки прообразов. прообраз точки Элементу в соответствует в Допустимой кривой с индексом в соответствует кривая в с индексом 1 порождает однозначную функцию в Её можно разложить в ряд Лорана.

разложение по степеням ряд Пюнза. сначала посчитаем , а потом надо возвести в степень . В каждом слагаемом берётся одинаковое значение .

Утверждение. Продолжение элемента вдоль кривых с одинаковыми индексами совпадают определение корректно.

Можно доказать, что такие кривые гомотопны. Нужно рассмотреть универсальное покрытие единичного круга: если одинаковый индекс, то у кривой совпадают начало и конец.

Упражнение. Доказать.

Определение. Многозначная аналитическая функция называется алгебраической, если она удовлетворяет уравнению с полиномиальными коэффициентами.

Упражнение. алгебраический имеет только алгебраические точки ветвления.

6⁰. Пример. Решить уравнение: в целых функциях. Существует решение: целая функция т.е. голоморфная в С. Это всё решения данного уравнения.

Доказательство. Возьмём любое решение: . многозначная функция. Нужно доказать, что она однозначная, если решение. Решаем уравнение: 2 решения. , , . Рассмотрим функцию Изучим её. Это композиция двух многозначных функций. . Точки ветвления: 1) корень обращается в 0. Точки ветвления порядка 2. 2) на , если то если получим логарифмические точки ветвления на : 2 точки. Случай, когда рассматриваются отдельно (они подходят) окрестность с этим же свойством по теореме монодромии можно выделить в этой окрестности однозначную ветвь функции Продолжается ли она вдоль любой кривой? Рассмотрим: . не обращается в 0 на т.к. продолжается вдоль любой кривой порождает однозначную аналитическую функцию (целую) по теореме монодромии.

ТЕОРЕМА РИМАНА

1⁰. Конформная эквивалентность.

Определение. Пусть области в конформно эквивалентны, если конформное отображение областей 1) взаимно-однозначное 2) конформно в каждой точке голоморфна и конформно.

это отношение эквивалентности все области разбиваются на попарно не пересекающиеся классы эквивалентности. Если то односвязная (т.к. связность сохраняется). Верно ли, что любая односвязная область эквивалентна единичному кругу? НЕТ.

Пример. компакт, а - не компакт.

Не любая односвязная в область эквивалентна кругу.

Пример. гомеоморфна - это гомеоморфизм. Не существует .

Пусть ограниченная целая функция по теореме Лиувилля не является конформной.

2⁰. Теорема Римана.

Любая область т.ч. конформно эквивалентна кругу. - односвязная область.

Теорема. Если 1) - односвязная область. 2) - состоит более чем из 1 точки, то конформно эквивалентно кругу.

Все условия теоремы – необходимые.

Д

оказательство. 1 этап: Докажем, что в существует хотя бы 1 однолистная ограниченная функция. Рассмотрим 2 случая: а) имеет внешние точки. Пример: верхняя полуплоскость. б) не имеет внешних точек. Пример: с разрезом.

а) Возьмём внешнюю точку т.е.

Рассмотрим функцию ограничена,

однолистна .

б) По условию Рассмотрим многозначную аналитическую функцию Особые точки односвязная по теореме монодромии в можно выделить 2 однозначные ветви: в и , однолистные функции. Докажем это: решаем уравнение Возведём в квадрат: т.к. дробно-линейные функции взаимно-однозначны. Рассмотрим образы: Докажем, что решим уравнение открытые множества и не пересекаются внешние области друг для друга. Возьмём: и искомая однолистная ограниченная функция.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций