Лекция 2 (1124329)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

8

Лекция 2(17 февраля 2003 года).

Всё сводится к исследованиям кривой . Такая кривая называется годографом или амплитудно-фазовой характеристикой.

Пример. Надо найти число нулей, лежащее в левой полуплоскости.

Решение. Рассмотрим рациональную функцию: Рассмотрим график этой функции. В общем случае необходимо исследование этого графика. по модулю т.к. в полуплоскости.

Теперь рисуем график функции

Определение. Устойчивый многочлен – многочлен, у которого все его корни лежат в левой полуплоскости.

Определение. Пусть Матрицей Гурвица этого многочлена называется следующая квадратная матрица порядка n: (когда коэффициенты закончатся – пишут 0 в строках, если же их много, то пишем пока умещаются).

Теорема (Критерий Гурвица). Многочлен устойчив - положительно определена (все главные миноры > 0).

Задача1. Доказать критерий Гурвица.

Задача2. Дано: Рассмотрим уравнение Доказать, что это уравнение имеет ровно 2n простых корней на интервале

Задача3. Дано: функция на [0,1]. Рассмотрим: Доказать, что все нули этой функции вещественны.

Задача4. Рассмотрим уравнение . Доказать, что все корни уравнения вещественны.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1⁰. Принципы сохранения области.

Теорема. Если 1) -голоморфна в 2) . То образ также является областью.

Д

оказательство. Вспомним определение области – открытое связное множество. Связное – нельзя разбить в непересекающуюся сумму 2 не пустых, одновременно открытых и замкнутых. Заметим, что связность сохраняется при любых непрерывных отображениях, главное доказать, что образ – открытое множество. Фиксируем любую точку . Другими словами, Найдём окружность . Можно найти т.к. D –открытое множество. Обозначим: R – радиус окружности, возьмём . окружность с центром в и радиусом круг, ограниченный Утверждаем, что на .

В противном случае по теореме единственности для голоморфных функций , а это

противоречит условию теоремы. Обозначим: минимум достигается у

н

епрерывной вещественной функции на компакте, а тогда окрестность точки

с радиусом Имеем: на . Применим теорему Руше к функциям

и Они имеют в круге одинаковое число нулей. Но

1ая функция имеет по крайней мере один ноль (например в точке ). Тогда

точка принадлежит образу. Т.к. точка то теорема доказана.

Замечание1. Пусть топологические пространства.

Определение. Отображение называется открытым, если 1) непрерывна (т.е. прообраз любого открытого открыт) 2) Образ любого открытого множества открыт.

Пример. Если открытое отображение и биекция, тогда гомеоморфизм (т.к. есть обратное и оно тоже непрерывно).

Пример. Голоморфные функции, отличные от константы, есть открытые отображения.

Теорема (Стоилова). Любое открытое отображение плоских областей с точностью до гомеоморфизма является голоморфным отображением.

Доказательство. Без него.

Замечание2. Принцип максимального модуля есть простое следствие принципа сохранения области.

Д

оказательство. Смотри рисунок. Есть функция принимающая какое-то значение, то она принимает и большее значение. (принцип максимума модуля: 1) функция голоморфна в D. 2) достигает максимума в D, тогда ).

2⁰. Критерий локальной ортогональности.

Определение. 1) Функция однолистна в области D, если: а) она голоморфна в D. б) - инъективна в D (разные точки переходят в разные). 2) Функция локально однолистна в точке , если она однолистна в некоторой окрестности точки .

Теорема. Пусть функция голоморфна в точке , тогда локально однолистная в точке (для не голоморфной функции верно только ).

Замечание. Это есть теорема об обратной функции.

Доказательство. голоморфна в Обозначим: R – радиус окружности. локально однолистна. Возьмём: , соответствующий круг. Утверждаем, что существует и внутри и на границе круга, за исключением центра, т.е. в . В противном случае по теореме !-ти Далее те же рассуждения, что и в предыдущей теореме. А именно, . Обозначим окрестность точки с радиусом Имеем: на . Применим теорему Руше к функциям и Они имеют в круге одинаковое число нулей. Но имеет по крайней мере один ноль (только в точке , и 0 1ого порядка т.к. ). То же и для функции . Т.е. . Итак, каждая точка из круга V имеет ровно 1 прообраз однолистна, выясним где. В силу непрерывности функции окрестность точки , т.ч. . И в этой окрестности функция и будет однолистна.

Предположим, что голоморфна в точке , и локально однолистна . От противного: предположим, что и докажем, что не является однолистной ни в какой окрестности точки . Пусть U – любая окрестность точки . Рассмотрим 2 случая: 1) но константа не однолистная функция противоречие. 2) Обозначим: И рассмотрим разность . Она имеет в точке 0 порядка (конечного). Далее те же рассуждения.

Теперь 1) 2) в (по теореме о !-ти). Далее:

пусть . Обозначим: окрестность точки с радиусом

Имеем: на . По теореме Руше к функциям

и Они имеют в круге одинаковое число нулей. Но имеет нулей (только в точке , но порядка ). То же и для функции . Рассмотрим Во всех таких точках ноль первого порядка, т.е. все нули функции простые, т.о. . нули т.е. у каждой точки есть прообразов (кроме центра), т.е. функция не является однолистной.

Замечание. Из локальной однолистности не вытекает глобальной однолистности.

Пример. локально однолистна в каждой точке плоскости (производная не равна 0), но не является глобально однолистной (т.к. нет инъективности).

3⁰. Обратный принцип соответствия границ.

Теорема. Если 1) внутренняя область для простой, замкнутой, спрямляемой кривой

2) внутренняя область для простой, замкнутой, спрямляемой кривой

3) голоморфна в

4) то

Доказательство. Возьмём любую точку Обозначим: N – число нулей функции

Рассмотрим 3 случая: 1) точка Тогда принцип аргумента функции в области : т.к. Г - простая, замкнутая, спрямляемая кривая, выбираем + т.к. перед 1 должен быть .

2) точка Т.е. внешняя точка.

3) точка докажем, что у этих точек нет прообразов. Предположим противное, т.е. что Тогда по принципу сохранения области Но кривая жорданова, т.е. Г –общая граница двух областей, а тогда содержит точки противоречие (т.е. любая окрестность точки пересекает ). Итак и каждая точка имеет ровно 1 прообраз, т.е. отображение взаимно-однозначное.

4⁰. Предел последовательности однолистных функций.

Теорема. 1) однолистная в области D. 2) внутри D. 3) То функция однолистна.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что есть точки т.ч. По теореме Вейерштрасса: голоморфна в D. тогда предположим, что не выполнена инъективность отображения. Возьмём точки найдём окрестности т.ч. на (по теореме о !-ти, иначе функция равна константе). По теореме Гурвица: имеет ноль в кругах т.е. но другими словами но т.к. в разных окрестностях не является однолистной противоречит условию.

Замечание. Однолистные функции могут сходиться к константе.

Пример. Возьмём любую однолистную функцию и делим на n (например ).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций