Лекция 11 (1124338)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 11(28 апреля 2003 года).

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ

1⁰. Постановка задачи.

Дано: - ограниченная область в , , функция действительно-значная

Н

айти: функцию гармоническая в

Утверждение. Если решение задачи Дирихле существует, то оно единственное.

Доказательство. Пусть существует область и функция т.ч. и решения задачи Дирихле, т.ч. 1) 2) 3) гармоническая в . Заметим, что - компакт а) если точки и т.к. на границе б) если (или ). Воспользуемся принципом максимума (минимума) для гармоничных функций

Пример. Не всегда существует решение задачи Дирихле (не для любой области существует решение) единичный круг. Область Функция

Пусть существует решение задачи Дирихле для такой области решения задачи Дирихле. Зафиксируем точку . Рассмотрим - сопряжённая гармоническая функция к может быть многозначной, т.к. область не является односвязной.

Обозначим: Если 1) - голоморфна в области (однозначная, аналитическая) 2) каждый обход что-то добавляет, логарифмическая точка ветвления для функции Рассмотрим вспомогательную функцию т.к. ограничена, т.е. функция ограничена в области точка - устранимая особая точка для , т.е. функция - голоморфная в в отличие от функции Положим станет голоморфной в т.к. модуль функция непрерывная т.к. ограничена снизу по определению. если возьмём функцию то она продолжается вдоль любой кривой в по теореме о монодромии продолженная функция голоморфна: функция аналитическая в т.е. функция - гармоническая функция в . Если - гармоническая функция в . , по теореме о среднем: С другой стороны, противоречие.

Определение. Рассмотрим ограниченные области в Область регулярная, если для любой функции задача Дирихле имеет решение.

Из примера нерегулярные области.

ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА

Рассмотрим функцию Проверим аналитичность . Хотим получить интеграл типа Коши: (*) – интеграл типа Коши для функции . Рассмотрим функцию непрерывную. голоморфна в т.к. интеграл типа Коши голоморфен всюду, кроме единичной окружности. можно рассмотреть гармоничную функцию в . Запишем в следующем виде: Пусть функция где периодична если периодична Рассмотрим функцию (гармоничную) можно записать , .

Обозначим: ядро Пуассона.

- интеграл Пуассона.

Свойства ядра Пуассона: 1) периодичная функция по . 2)

Доказательство. Под интегралом функции с двумя особенностями:

3) длина пути интегрирования. Чем меньше тем больше ядро. монотонно при , чётная по для аналогично.

Утверждение. Пусть

Д

оказательство. По теореме Вейерштрасса, т.к. периодична, то т.к. на периоде ограничена, то , равномерно непрерывна на периоде и на по теореме Кантора, т.е. Оценим , т.к. , . Возьмём интервал т.ч.

Теорема. Если функция точки при условии .

Доказательство. первое моло по доказанному, второе из непрерывности.

Согласно теореме, если функция задача Дирихле решается, т.е. функция решение Дирихле в при заданной функции Область односвязная функция голоморфная в определена с точностью до мнимой постоянной .

интеграл Шварца. можем решить задачу Дирихле решение.

Рассмотрим другой способ решения задачи Дирихле.

2⁰. Метод Фурье для решения задачи Дирихле.

Задана функция . Можно функции поставить в соответствие ряд Фурье: . Для непрерывных функций ряд Фурье может не сходиться в некоторых точках.

Теорема. Функция - решение задачи Дирихле в с функцией .

Доказательство. , Ряд сходится за счёт Умножим на равномерная сходимость не нарушится проинтегрируем.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций