Лекция 3 (1124330)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

12

Лекция 3(3 марта 2003 года).

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

1⁰. Непосредственное АП.

О

пределение. Пусть области в . функции голоморфные в Говорят, что функции, образующие непосредственное аналитическое продолжение, если непустая область т.ч. в . Обозначим в дальнейшем: НАП – непосредственное аналитическое продолжение.

Замечание. Определение не исключает следующую ситуацию:

Не обязательно совпадать везде, где области пересекаются, а должно быть обязательно

только где-то.

Пример1. - она определена и голоморфна. - она тоже определена и голоморфна здесь. Функции совпадают в (меньшей области). Вывод: функции образуют НАП.

Пример2. - правая полуплоскость. При этом в . Это равенство из формулы приведения для Г-функции. Вывод: функции образуют НАП.

2⁰. Полная аналитическая функция.

Определение. Пусть области в . функции голоморфные в Говорят, что функции, образующие аналитическое продолжение, если конечная последовательность областей и последовательность функций голоморфных в соответствующих областях, т.ч. 1) . 2) образуют НАП для любого к.

Пример. - голоморфна в области F. - голоморфна в области G. Утверждается, что образуют АП, хотя они не совпадают ни в одной области.

Доказательство. Введём ещё одну область и функцию: - определена и голоморфна в области Н. Видно, что в т.е. когда образуют НАП, в т.е. когда образуют НАП, тогда последовательность функций осуществляют НАП образуют АП по определению.

Определение. Элементом называется пара: где некоторая область в , голоморфная в G функция.

Определение. Цепью называется конечная последовательность элементов , т.ч. любые 2 последовательных элемента образуют НАП.

Тем самым определение АП можно переформулировать следующим образом: 2 элемента образуют АП, если их можно соединить цепью.

Утверждение. Отношение АП-ия есть отношение эквивалентности (рефлексивность, симметричность, транзитивность) множество всех элементов разбивается на попарно непересекающиеся классы эквивалентности корректность следующих определений.

Определение. Класс всех эквивалентных между собой элементов называется полной аналитической функцией по Вейерштрассу (ПАФ).

Определение. Каждый представитель этого класса называется однозначной ветвью ПАФ-ии.

Определение. Областью существования ПАФ называется объединение областей определения всех её элементов.

Пример. Сколько и каких ПАФ-ий определяет следующее выражение: ?

Ответ: 2 полных аналитических функции: 1) = 0 2) многозначная АФ.

Пример. 1) Область существования ?

2) многозначная АФ.

3) Ряд сходится в единичном круге и он не продолжается ни через одну точку на границе круга (все точки на границе - особые).

Задача. Доказать, что ПАФ-ии есть область (открытое, связное множество, связность надо доказать).

Определение. Элемент называется круговым, если область определения G –круг на , т.е. либо , либо .

Соглашение. Одной и той же буквой будем обозначать: элемент, область определения, и заданную на ней функцию. На множестве круговых элементов элементы будем различать: Например, канонический элемент.

Определение. Круговой элемент называется каноническим, если G –максимальный круг голоморфности функции g (т.е. объединение всех таких кругов).

Задача. Доказать, что у ПАФ есть не более чем счётное число

канонических элементов с центром в данной точке.

3⁰. Продолжение вдоль кривой.

Пусть т.е. - кривая на плоскости.

Обозначается: Пусть е (e’) – круговой элемент с центром в точке а (a’).

Определение. Говорят, что e’ – получен из элемента е продолжением вдоль кривой , если:

1) разбиение отрезка

2) последовательность круговых элементов с центрами в точках т.ч.

1. 2. образуют НАП для всех

3. Дуга кривой: для всех (ограничение на отрезок).

Замечание. Данное определение исключает следующую ситуацию:

АП есть, но оно никакого отношения к кривой не имеет (здесь нарушен 3. пункт).

Замечание. Из определения следует, что продолжение вдоль кривой есть

продолжение по цепи элементов. Верно и обратное: продолжение по цепи элементов

есть продолжение вдоль некоторой кривой, а именно, ломанной последовательно соединяющей центры кругов.

Утверждение. Результат продолжения вдоль кривой не зависит от выбора цепи, осуществляющей это продолжение.

Д

оказательство. Пусть и - две цепи, осуществляющие продолжение элемента вдоль некоторой кривой . Надо доказать, что . Для доказательства определим функцию непрерывно, которая действует следующим образом: . Рассмотрим (из 3.) тогда если - значение голоморфной функции в точке z, если . Что если (определение 2)) т.е. функцию определили корректно. Аналогично определяем функцию , используя вторую цепь. Докажем, что Заметим, что в окрестности т.к. по условию. Обозначение: Цель: доказать, что

От противного. Тогда возьмём

Пусть для определённости Найдём (аналогичным способом).

Эти 2 круга пересекаются, имея общую точку. Но по построению, функции совпадают на некоторой кривой (слева от точки z) по теореме о !-ти для голоморфной функции она совпадает во всём пересечении, в частности на некоторой дуге кривой (справа от точки z) функции совпадают в некоторой правой окрестности точки Т противоречие с выбором Т предложение верно Применим ещё раз то же рассуждение для точки функции совпадают там, где круги пересекаются.

Определение. подчинён элементу , если в . - это частный случай АП.

Лемма. Если круговые элементы, то 1) продолжается вдоль любой кривой, лежащей в е.

2) Результатом продолжение является элемент, подчинённый е.

Доказательство. центр в Обозначим:

(теорема Вейерштрассе о достижении верхней грани) По теореме Кантора

(если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нём),

кривую можно разбить последовательными точками: на дуги, диаметр которых . Обозначение: круг с центром в точке и радиусом и определим в нём функцию - сужение функции, определённой в е. Все условия выполнены эта цепь определяет АП (корректность определения).

Предложение. Дана кривая , продолжим до по цепи элементов . Другая кривая , начинается в и заканчивается в и обладает следующими свойствами: а) она последовательно проходит через все точки, лежащие в пересечении кругов, обозначим их б) дуги лежат строго в .

Утверждается, что 1) продолжается вдоль . 2) Результатом продолжения является элемент .

Т.е. при малых деформациях кривой продолжение не меняется.

Доказательство. Обозначим По лемме он продолжается от до Но точка и т.д. Снова лемму за конечное число шагов

Следствие. Дано: продолжается вдоль отрезка до е. т.ч. для любой точки элемент е продолжается вдоль ломанной снова до .

Доказательство. Возьмём цепь, осуществляющую АП вдоль отрезка.

Из точки проведём лучи через все пересечения, получившихся окрестностей. Обозначение: минимальный угол. Он не нулевой. Обозначение: через 0 – круг с центром в точке в z, вписанный в этот угол это искомая окрестность, т.к. выполнены все условия предложения.

4⁰. Теорема о монодромии.

Теорема. Если 1) D – односвязная область.

2) продолжается вдоль любой кривой в области D. То результат продолжения элемента в заданную точку области не зависит от выбора кривой.

Обсуждение. Т.е. существует функция f голоморфная в D, т.ч. любое продолжение элемента есть элемент , подчинённый f. Убедимся, что ни одно условие нельзя ослабить, а именно: 1) Для многосвязной области неверно. - ветвь, фиксированная условием .

Элемент продолжается, но область многосвязная. Продолжаем вдоль кривой

П

родолжаем вдоль кривой ,

2) тот же самый пример. Если существует кривая, через которую нельзя провести

продолжение выбросим её и получим многосвязную область.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций