Лекция 6 (1124333)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

24

Лекция 6(31 марта 2003 года).

П

ример. 1) Плоскость .

2) Круг .

3) Сфера .

4) Цилиндр.

5) Тор.

6) Крендель (сфера с двумя ручками).

7) Лист Мёбиуса.

8) Бутылка Клейна.

9) Проективная плоскость.

Замечание. 1) Плоскость и круг – одна и та же топологическая поверхность (они гомеоморфны). Все остальные разные. 2) Примеры 4-9 называются диаграммами Пуанкаре.

Пусть локальные параметры и окрестности, где они заданы пересекаются.

Тогда существует гомеоморфизм и - функция перехода.

Определение. Абстрактной римановой поверхностью или двумерным

аналитическим многообразием называется топологическая поверхность, в которой все функции перехода голоморфны (т.е. комплексно дифференцируемы).

Замечание. На абстрактной римановой поверхности можно определить голоморфную функцию также, как на плоскости (определение корректно). Можно определить голоморфное отображение одной римановой поверхности в другую.

Пример (римановой поверхности). 1) Плоскость , локальный параметр .

2) Любая область на плоскости с той же системой локальных параметров.

3) Расширенная комплексная плоскость . Та же система в конечной плоскости и параметр для бесконечности.

4) Цилиндр. Его можно определять как фактормногообразие по подгруппе , т.е.

5) Тор. Аналогично: целочисленная решётка.

6) Крендель. Диаграмма Пуанкаре определяет локальный параметр.

Замечание. 1) разные римановы поверхности (т.к. они не конформно эквивалентны).

2) Лист Мёбиуса, бутылка Клейна, проективная плоскость – НЕ римановы поверхности, т.к. они не ориентируемые (а риманова поверхность всегда ориентирована из определения, все функции перехода имеют положительный якобиан поверхность ориентируема, а у римановой поверхности якобиан: всегда положительный (условие Коши-Римана)).

2⁰. Риманова поверхность ПАФ (полной анлитической функции).

Определение. Римановой поверхностью называется накрытие плоскости, т.е. внутреннее отображение нормальное топологическое пространство.

При этом отображение называется внутренним, если: 1) оно непрерывное (прообраз любого открытого - открыт).

2) открыто (образ любого открытого множества открыт).

3) дискретное (прообраз дискретного множества – дискретное, достаточно того, что прообраз точки – дискретное множество).

Т.е. риманова поверхность фиксирует некоторое многолистное накрытие плоскости.

Замечание. Риманова поверхность определяет на Е структуру абстрактной римановой поверхности. В качестве локального параметра можно взять само внутреннее отображение

Пример (римановой поверхности). 1) Поверхность есть: т.е. однолистное накрытие плоскости. 2) двулистное накрытие плоскости. Они реализуют одну и ту же модель, но это разные РП.

риманова поверхность для данной функции (однозначная аналитическая

функция). Можно ли для любой аналитической функции построить риманову

поверхность (однозначно)? Можно.

Построение римановой поверхности ПАФ.

Дана ПАФ. Что это такое? Класс эквивалентных между собой элементов (элементы только круговые).

1 шаг. точки множества

2 шаг. База топологии: окрестность точки множество всех элементов, подчинённых

3 шаг. Определяем внутреннее отображение:

4 шаг. Определяем саму функцию на поверхности: (центр ).

Задача1. Доказать, что определение корректно. (Связность топологического пространства, счётность базы, для отображения тоже проверяются все свойства, для функции проверяется голоморфность).

Задача2. Доказать формулу Римана-Гурвица: Пусть Е – компактная поверхность (любое компактное многообразие – сфера с ручками, где род поверхности). суммарное разветвление поверхности. число листов. формула Римана-Гурвица: . Пусть в некоторой окрестности точки некоторое отображение: листно, тогда: порядок ветвления. - порядок разветвления. суммарное разветвление поверхности.

Д

ля решения задачи: Разбить поверхность на треугольлники с вершинами в точках ветвления и применить эйлерову характеристику, связывающую число рёбер, граней и вершин.

ПРИНЦИП СИММЕТРИИ.

1⁰. Принцип симметрии Римана – Шварца.

Определение. Возьмём любой круг, соединяющий 2 граничные точки жордановой кривой, тогда по теореме Жордана круг разбивается на 2 области: любую из них назовём обобщённым полукругом с диаметром

Теорема1. Если 1) Функция мероморфна в некоторой области

2

) Область обобщённый полукруг с диаметром при этом - либо отрезок прямой, либо дуга окружности.

3) Функция непрерывна в

4) , где Г - либо прямая, либо окружность. То Функция аналитически

продолжается до мероморфной функции в области симметричной области

относительно

Замечание1. не требуется чтобы лежала на границе области . Теорема верна и в этом случае.

Если - окружность, то симметрия относительно окружности. На рисунке: переводит (прямолинейный участок) в прямую, тогда существует продолжение в (симметричной области относительно ).

Замечание2. «Хитрая область» (к теореме).

из плоскости вырезается график такой функции и предельный отрезок Тогда слева можно построить полукруг, принадлежащий области (нарушается 2 условие) не позволяет геометрия области.

Замечание3. Области и могут пересекаться. Но в пересечении функции и продолженная могут не совпадать. Противоречия здесь нет, т.к. об однозначности продолжения не говорится.

Доказательство теоремы.

1 шаг. Применяя ДЛО и на плоскости , и на плоскости можно свести условия

теоремы к следующим: отрезок вещественной оси. обычный полукруг с

диаметром лежащий в верхней полуплоскости (например)

и Г- вещественная ось. Достаточно доказать теорему для голоморфной функции.

2 шаг. Определим функцию с помощью симметрии. Симметрия относительно Г, симметрия относительно вещественной оси, т.е. комплексное сопряжение. И докажем, что голоморфна в это очевидно: берём точку т.к. по условию голоморфна в раскладываем в степенной ряд: сходится в некоторой окрестности точки По свойствам комплексного сопряжения: итак, функция раскладывается в степенной ряд, тогда голоморфна в

3 шаг. По условию непрерывна в (замыкание ) Тогда функции непрерывна в Т.е. надо взять замкнутый симметричный полукруг, при этом на но по условию вещественна, тогда можно написать на то корректно определена следующая функция: и непрерывна в где склеенный из круг.

4 шаг. Возьмём и рассмотрим 2 случая: 1. или - по усиленной теореме Коши. 2. пересекает диаметр разбивается на 2 треугольника; но тогда всё равно: Т.о. 1) непрерывна в 2) удовлетворяет условию треугольника в теорема Мореры: голоморфна в

5 шаг. Мы построили цепь элементов: которые осуществляют искомое аналитическое продолжение.

Определение. Кривая называется аналитической, если функция голоморфна на и её производная не равна 0 на всём .

Теорема2 (локальный вариант). Если 1) Функция голоморфна в обобщённом полукруге с диаметром причём аналитическая кривая.

2) Функция непрерывна в

3) , где Г – аналитическая кривая. То Функция аналитически продолжается в некоторою окрестность любой точки (каждой точки, исключая концы).

Доказательство. Фиксируем точку но по условию теоремы: конформно отображает некоторою окрестность точки в окрестность точки по критерию локальной однолистности: осуществляет конформное отображение окрестности (+) точки в окрестность (+) точки Аналогично для Г. функция определена в полукруге, тогда определена на в некоторой полукруговой окрестности .Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы1 аналитически продолжается в полную круговую окрестность . аналогично для точки ( на диаметре на , с вещественную ось, т.е. распрямили аналитическую кривую).

Следствие (граничная теорема !-ти). Пусть выполнены условия 1) и 2) теоремы2 и на , тогда в

Функцию продолжили и применили обычную теорему !-ти.

2⁰. Формула Кристофеля – Шварца.

Т

ребуется построить конформное отображение верхней полуплоскости на произвольный многоугольник Обозначение: вершины многоугольника. внутренние углы при этих вершинах, тогда

1 шаг. По теореме Римана: Зафиксировали это отображение.

2 шаг. Теорема Каратеодори: продолжается до гомеоморфизма замкнутых

областей (непрерывно вплоть до границы): . Обозначение:

- прообраз

3 шаг. Применим принцип симметрии Римана – Шварца: образы лежат на границе многоугольника.

Итак, функция аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость, причём разными способами (через любой интервал, на которые вещественная ось делится точками ) Повторяя этот процесс до бесконечности, получим полную аналитическую функцию (может быть многозначную) с особыми точками .

4 шаг. Исследовать поведение функции в окрестности точек , надо брать любую ветвь функции. Рассмотрим главную ветвь (которая была определена в верхней полуплоскости). Определим: Но существует голоморфная ветвь этой функции в некоторой полукруговой окрестности точки . Функция действует в сектор (по условию), а в таком секторе ветвь выделяется, а в образе снова полукруг. Снова применяем Римана – Шварца к функции она продолжается в полную круговую окрестность она голоморфна в точке . её ряд Тейлора: При этом функция - голоморфная, (по принципу аргумента ноль – первого порядка). - так устроена функция в окрестности точки .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций