Лекция 8 (1124335)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

32

Лекция 8(14 апреля 2003 года).

Общие свойства эллиптических функций.

Утверждение1. Эллиптическая функция имеет полюс.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что - целая функция и её периодами является группа Функция непрерывна в основном параллелограмме периода, тогда по теореме Вейерштраса ограничена на , тогда в силу двоякопериодичности ограничена в , но целая, тогда по теореме Лиувилля противоречие определению эллиптической функции.

(Целая – голоморфная во всей ).

Определение. Порядком эллиптической функции называется число её полюсов, лежащих в основном параллелограмме периода.

Замечание. Полюсы считаются с учётом кратности и периодичности. Если , то считается только один из них (т.е. цепочки отождествляются).

Задача. Доказать корректность определения (т.е. независимость от выбора основного параллелограмма периода).

Утверждение2. Сумма вычетов эллиптической функции во всех полюсах из основного параллелограмме периода равна 0, т.е. .

Д

оказательство. Напишем: (основная теорема Коши о вычетах, сумма вычетов 0, с другой стороны в силу двоякопериодичности функции). Если существует полюс на границе ,

то нужно сдвинуть на малый вектор и получим то же самое.

Следствие. Порядок любой эллиптической функции (не может быть одного

простого полюса).

Задача. Чему равен порядок эллиптического синуса

Утверждение3. Для любого комплексного числа А: число А-точек эллиптической функции, лежащей в основном параллелограмме периода, равно её порядку, т.е. в порядок

2⁰. Функция Вейерштрасса.

Пусть решётка на плоскости (аддитивная подгруппа ). Рассмотрим ряд: ( это без 0)

Замечание1. Ряд сходится равномерно на компактах, не содержещих узлов решётки, т.е. на

Задача. Доказать это (привести к общему знаменателю мажорируем).

Следовательно, мероморфная в и имеет полюсы 2ого порядка в узлах решётки.

Замечание2. Эта функция имеет группу периодов, совпадающую с (по построению).

Задача. Доказать это.

Вывод. Это эллиптическая функция 2ого порядка.

Определение. Функция называется функцией Вейерштрасса.

Утверждение. Функция Вейерштрасса удовлетворяет следующему нелинейному дифференциальному уравнению: где некоторые константы, удовлетворяющие следующему:

Доказательство. Напишем ряд Лорана для функции в окрестности 0: (*) равна 0 как сумма по центрально симметричному множеству. Далее: Теперь надо производную разложить в ряд Лорана: Далее надо возвести в квадрат: Рассмотрим функцию: Напишем её ряд Лорана: Отсюда: т.к. имеет решётку периодов, то и имеет решётку периодов . не имеет полюса в нуле не имеет полюсов во всём ( ).

Следствие. Обозначим: двумерный тор, а именно: , эллиптическая кривая, а именно: двумерная поверхность, вложенная в четырёхмерное пространство график многозначной аналитической функции: .

Итак, взаимно однозначное голоморфное отображение тора - эллиптическая кривая.

Доказательство.

Замечание. 1) Т.к. инвариантны относительно L, то отображение определено корректно на торе.

2) Т.к. функция удовлетворяет дифференциальному уравнению: то значение отображения принадлежат кривой Г.

3) Отображение голоморфно (как отображение многообразия), мероморфно в

4) Осталось доказать только взаимно однозначность:

Возьмём любое комплексное число принимает это значение в двух точках (как эллиптическая функция 2ого порядка) в точках Но в этих точках принимает значения разного знака, т.е. это нечётная функция, т.е. наше отображение принимает все значения и в любых точках.

Надо более подробно рассмотреть кратные точки: полюсы функции и нули функции . Но эти точки – точки ветвления кривой Г. А они для каждого - по одной.

П

остроим риманову поверхность Обозначим: корни многочлена, точки ветвления 2ого порядка, . На соединим точки попарно, непересекающимися разрезами в выделяются 2 однозначные ветви.

Однолистное накрытие плоскости. Суммарное разветвление = 4.

Итак существует взаимно однозначное и голоморфное отображение тора на эту

риманову поверхность

Униформизация кривой – это запись кривой в виде параметрических уравнений.

Задача1. Предъявить в явном виде обратное отображение (это абелев интеграл 1ого рода: - точка принадлежащая тору). Вместо подставить, тогда проверка.

Задача2. Любая эллиптическая функция есть рациональная функция

Задача3*. Выразить через функцию Вейерштрасса, т.е. написать

3

⁰. Модулярная функция.

Теорема. Существует ПАФ, т.ч. 1) её область существования есть вся

2) множество значений есть единичный круг.

Д

оказательство. Будем решать следующую задачу: построим конформное

отображение из верхней полуплоскости на треугольник Лобачевского.

Треугольник Лобачевского на единичной окружности:

1 шаг: Искомое отображение по теореме Римана.

2 шаг: продолжается до гомеоморфизма замкнутых областей по теореме Каратеодори. При этом мы можем потребовать, чтобы: отображение определено !-ным образом.

3 шаг: аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость по принципу симметрии Римана-Шварца, причём продолжается 3мя способами:

1. через (0,1) образом будет треугольник, симметричный треугольнику с нижней стороны:

2. через

3. через

Все симметричные треугольники снова будут треугольниками Лобачевского можно повторять этот процесс продолжения до бесконечности получим искомую функцию.

Задача. Мы не доказали, что множество значений заполняет весь единичный круг, т.е. что треугольники Лобачевского исчерпывают весь единичный круг.

Замечание. Риманова поверхность (топологически) – это открытый единичный круг, разбитый на треугольники Лобачевского, закрашенные в шахматном порядке. Белые изображают верхнюю полуплоскость, чёрные – нижнюю полуплоскость.

З

амечание. Обратная функция называется модулярной функцией. Она определена в единичном круге. Это однозначная голоморфная функция.

Определение. Обозначим следующую область:

Это треугольник Лобачевского в модели Пуанкаре.

Конформно отобразим на Потребуем, чтобы

соответственно, тогда по принципу симметрии функция отображается на всю верхнюю полуплоскость, т.е. . называется канонической модулярной функцией.

Автоморфные – функции, инвариантные относительно некоторой группы.

Определение. Пусть - дискретная подгруппа в группе дробно-линейных отображений. автоморфная, если

Автоморфные функции включают в себя эллиптические, периодические и модулярные.

Задача. Найти группу (отвечающую модулярная группа), относительно которой модулярные функции инвариантны.

4⁰. Малая теорема Пикара.

Теорема1. Любая целая функция, принимает все комплексные значения, за исключением, быть может, одного.

Замечание. Одно исключённое значение может быть, например:

Теорема2. Если мероморфна в , то принимает все комплексные значения, за исключением, быть может, двух.

Пример.

Замечание. Формально теоремы1 и 2 – одна и та же (если не различать конечные и бесконечные значения).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций